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Chapitre VIII : COMPLÉMENTS SUR LES VARIABLES ALÉATOIRES RÉELLES
I – Compléments sur les variables aléatoires quelconques
Les variables de ce paragraphe sont des variables discrètes ou à densité.
Les résultats qui suivent sont valables quel que soit le type de variable aléatoire.
1) Indépendance de deux variables aléatoires quelconques
Définition 1 : Deux variables aléatoires réelles 𝑋 et 𝑌 sont indépendantes lorsque, pour tous intervalles 𝐼 et 𝐽, on a : 𝑃([𝑋 ∈ 𝐼] ∩ [𝑌 ∈ 𝐽]) = 𝑃(𝑋 ∈ 𝐼)𝑃(𝑌 ∈ 𝐽)
Théorème 1 : Deux variables aléatoires réelles 𝑋 et 𝑌 sont indépendantes si, et seulement si, pour tous réels 𝑥 et 𝑦 : 𝑃([𝑋 ≤ 𝑥] ∩ [𝑌 ≤ 𝑦]) = 𝑃(𝑋 ≤ 𝑥)𝑃(𝑌 ≤ 𝑦)
Définition 2 : Les variables aléatoires réelles 𝑋 , 𝑋 , … , 𝑋 sont mutuellement indépendantes lorsque, pour tous intervalles 𝐼 , 𝐼 , … 𝐼 , on a :
𝑃 [𝑋 ∈ 𝐼 ] = 𝑃(𝑋 ∈ 𝐼 )
Définition 3 : Une suite de variables aléatoires réelles (𝑋 ) ∈ℕ est une suite de variables aléatoires indépendantes lorsque, pour toute partie 𝐼 de ℕ, on a :
𝑃 [𝑋 ∈ 𝐼 ]
∈
= 𝑃(𝑋 ∈ 𝐼 )
∈
Remarque 1 : Ces résultats sont les généralisations des définition 4, définition 10 et définition 11 du chapitre 6.
Théorème 2 : Lemme des coalitions
Si les variables aléatoires 𝑋 , 𝑋 , … , 𝑋 sont mutuellement indépendantes, alors toute variable
aléatoire fonction de 𝑝 d’entres elles (𝑝 < 𝑛) est indépendante de toute variable aléatoire fonction des 𝑛 − 𝑝 autres.
Autrement dit (plus simplement) : toute variable aléatoire fonction de 𝑋 , 𝑋 , … , 𝑋 est indépendante de toute variable aléatoire fonction de 𝑋 , 𝑋 , … , 𝑋 .
2) Moments d’une variables aléatoire quelconque a) Espérance
Théorème 3 : Linéarité de l’espérance
Si deux variables aléatoires X et Y admettent chacune une espérance alors, pour tous réels a et b, la variable aléatoire 𝑎𝑋 + 𝑏𝑌 possède une espérance et :
𝐸(𝑎𝑋 + 𝑏𝑌) = 𝑎𝐸(𝑋) + 𝑏𝐸(𝑌) Théorème 4 : Généralisation du théorème précédent
Soient 𝑋 , 𝑋 , … , 𝑋 des variables aléatoires discrètes, possédant chacune une espérance, alors, toute combinaison linéaire de ces variables aléatoires possède une espérance et on a :
∀(𝑎 , 𝑎 , … , 𝑎 ) ∈ ℝ , 𝐸(𝑎 𝑋 + 𝑎 𝑋 + ⋯ + 𝑎 𝑋 ) = 𝑎 𝐸(𝑋 ) + 𝑎 𝐸(𝑋 ) + ⋯ + 𝑎 𝐸(𝑋 )
2 Théorème 5 : Croissance de l’espérance
Si deux variables aléatoires X et Y admettent chacune une espérance et si 𝑃(𝑋 ≤ 𝑌) = 1 alors : 𝐸(𝑋) ≤ 𝐸(𝑌)
Remarque 2 : 𝑃(𝑋 ≤ 𝑌) = 1 signifie que la variable aléatoire 𝑋 prend presque sûrement des valeurs inférieures ou égales à celles de la variable aléatoire 𝑌.
Théorème 6 : Espérance et indépendance
Si deux variables aléatoires X et Y sont indépendantes et admettent chacune une espérance, alors la variable aléatoire 𝑋𝑌 possède une espérance et :
𝐸(𝑋𝑌) = 𝐸(𝑋)𝐸(𝑌) Théorème 7 : Généralisation du théorème précédent
Soient 𝑋 , 𝑋 , … , 𝑋 des variables aléatoires discrètes, possédant chacune une espérance. Si elles sont mutuellement indépendantes, alors :
𝐸(𝑋 𝑋 … 𝑋 ) = 𝐸(𝑋 )𝐸(𝑋 ) … 𝐸(𝑋 )
Définition 4 : Une variable aléatoire est dite centrée lorsque son espérance est nulle.
Théorème 8 :
Si 𝑋 est une variable aléatoire possédant une espérance, alors la variable aléatoire 𝑋 − 𝐸(𝑋) est une variable aléatoire centrée, appelée variable aléatoire centrée associée à 𝑿.
b) Variance
Théorème 9 : Si 𝑋 et 𝑌 sont deux variables aléatoires, indépendantes et admettant une variance, alors la variable aléatoire 𝑋 + 𝑌 admet également une variance et :
𝑉(𝑋 + 𝑌) = 𝑉(𝑋) + 𝑉(𝑌)
Théorème 10 :
Si les 𝑛 variables aléatoires 𝑋 , 𝑋 , … , 𝑋 sont mutuellement indépendantes et possèdent chacune une variance, alors leur somme admet également une variance et on a :
𝑉(𝑋 + 𝑋 + ⋯ + 𝑋 ) = 𝑉(𝑋 ) + 𝑉(𝑋 ) + ⋯ + 𝑉(𝑋 )
Théorème 11 : Si 𝑋est une variable aléatoire admettant une variance, alors, pour tous réels 𝑎 et 𝑏, la variable aléatoire 𝑎𝑋 + 𝑏 admet également une variance et :
𝑉(𝑎𝑋 + 𝑏) = 𝑎 𝑉(𝑋)
Définition 5 : Une variable aléatoire est dite réduite lorsque sa variance vaut 1.
Théorème 12 :
Si 𝑋 est une variable aléatoire possédant une espérance et une variance non nulle, alors la variable aléatoire 𝑋 − 𝐸(𝑋)
𝑉(𝑋) est une variable aléatoire centrée et réduite, appelée 𝐯𝐚𝐫𝐢𝐚𝐛𝐥𝐞 𝐚𝐥é𝐚𝐭𝐨𝐢𝐫𝐞 𝐜𝐞𝐧𝐭𝐫é𝐞 𝐫é𝐝𝐮𝐢𝐭𝐞 𝐚𝐬𝐬𝐨𝐜𝐢é𝐞 à 𝑿.
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II – Compléments sur les variables aléatoires à densité 1) Rappels
Définition 6 : Une variable aléatoire est dite à densité lorsque sa fonction de répartition est continue sur ℝ et de classe 𝐶 sur ℝ sauf éventuellement en un nombre fini de points.
Définition 7 : Si 𝑋 est une variable aléatoire à densité de fonction de répartition 𝐹, alors toute fonction 𝑓 positive sur ℝ telle que 𝑓(𝑥) = 𝐹’(𝑥), en chaque réel où 𝐹 est de classe 𝐶 , est appelée densité de 𝑋.
On a alors :
∀𝑥 ∈ ℝ, 𝐹(𝑥) = 𝑃(𝑋 ≤ 𝑥) = 𝑓(𝑡)𝑑𝑡 Théorème 13 :
Une fonction 𝑓 est une densité de 𝑋 si, et seulement si :
1) 𝑓 est définie sur ℝ et continue sur ℝ sauf éventuellement en un nombre fini de points ; 2) 𝑓 est une fonction positive sur ℝ ;
3) L’intégrale 𝑓(𝑡)𝑑𝑡 converge et vaut 1.
Remarque 3 : La densité 𝑓 d’une variable aléatoire réelle n’est pas unique. En effet, toute fonction 𝑔 égale à 𝑓 sauf en un nombre fini de points est encore une densité de 𝑋. C’est pourquoi on dira « une densité » de 𝑋 et non « la densité » de 𝑋.
Propriété 1 : Si 𝑋 est une variable aléatoire de densité 𝑓 et de fonction de répartition 𝐹, alors : 1) ∀𝑥 ∈ ℝ, 𝑃(𝑋 = 𝑥 ) = 0
2) ∀𝑥 ∈ ℝ, 𝑃(𝑋 ≤ 𝑥 ) = 𝑃(𝑋 < 𝑥 ) = ∫ 𝑓(𝑡)𝑑𝑡 = 𝐹(𝑥 )
3) ∀𝑥 ∈ ℝ, 𝑃(𝑋 ≥ 𝑥 ) = 𝑃(𝑋 > 𝑥 ) = ∫ 𝑓(𝑡)𝑑𝑡 = 1 − ∫ 𝑓(𝑡)𝑑𝑡 = 1 − 𝑃(𝑋 ≤ 𝑥 ) = 1 − 𝐹(𝑥 ) 4) Pour tout couple de réels (𝑎; 𝑏) tel que 𝑎 < 𝑏 :
𝑃(𝑎 ≤ 𝑋 ≤ 𝑏) = 𝑃(𝑎 < 𝑋 ≤ 𝑏) = 𝑃(𝑎 ≤ 𝑋 < 𝑏) = 𝑃(𝑎 < 𝑋 < 𝑏) = 𝐹(𝑏) − 𝐹(𝑎) = 𝑓(𝑡)𝑑𝑡 Exemple 1 : La fonction 𝑓 définie sur ℝ par 𝑓(𝑥) = 𝑒 si 𝑥 ≥ 0
0 si 𝑥 < 0 est une densité de probabilité.
Exemple 2 : La fonction 𝑔 définie sur ℝ par 𝑔(𝑥) =
0 si 𝑥 < 0 si 𝑥 ∈ [0; 2]
0 si 𝑥 > 2
est une densité de probabilité.
Remarque 4 : Si 𝑋 est une variable aléatoire de densité 𝑓, alors on peut choisir comme support de 𝑋 : 𝑋(Ω) = {𝑥 ∈ ℝ/𝑓(𝑥) ≠ 0}.
Définition 8 : Sous réserve de convergence absolue de l’intégrale, l’espérance de 𝑋 (de densité 𝑓) est le réel noté 𝐸(𝑋) est défini par :
𝐸(𝑋) = 𝑡𝑓(𝑡)𝑑𝑡
Exemple 3 : La variable aléatoire 𝑋 de densité la fonction 𝑓 définie dans l’exemple 1 admet une espérance de valeur 1. De même pour la variable aléatoire 𝑌 de densité 𝑔 définie dans l’exemple 2.
4
Remarque 5 : L’espérance d’une variable aléatoire à densité n’est pas toujours définie : La fonction 𝑓 définie sur ℝ par 𝑓(𝑥) =
1
𝑥 𝑠𝑖 𝑥 ≥ 1 0 𝑠𝑖 𝑥 < 1
est une densité de probabilité d’une variable aléatoire 𝑋.
L intégrale 𝑡𝑓(𝑡)𝑑𝑡 est divergente donc la variable aléatoire 𝑋 n admet pas d espérance.
2) Régularité de la fonction de répartition Théorème 14 :
Si 𝑓 est une densité de probabilité, alors la fonction de répartition associée 𝐹 est de classe 𝐶 en tout point où 𝑓 est continue et, en chacun de ces points, 𝐹 (𝑥) = 𝑓(𝑥).
Théorème 15 : Généralisation du théorème précédent Soit 𝑓 est une densité de probabilité.
Si 𝑓 est continue à droite (respectivement à gauche) en 𝑥, alors la fonction de répartition associée 𝐹 est dérivable à droite (respectivement à gauche) en 𝑥.
3) Exemples simples de transfert
On a vu que tout variable aléatoire fonction d’une variable aléatoire discrète reste une variable aléatoire discrète. Ce résultat ne se généralise pas aux variables aléatoires à densité. Ce paragraphe donne des exemples où le résultat se généralise.
a) Loi de 𝑌 = 𝑎𝑋 + 𝑏 (𝑎 ≠ 0)
Soit 𝑋, une variable aléatoire de densité 𝑓 et de fonction de répartition 𝐹.
Notons 𝐺 la fonction de répartition de 𝑌 = 𝑎𝑋 + 𝑏.
∀𝑥 ∈ ℝ, 𝐺(𝑥) = 𝑃(𝑌 ≤ 𝑥) = 𝑃(𝑎𝑋 + 𝑏 ≤ 𝑥) = 𝑃(𝑎𝑋 ≤ 𝑥 − 𝑏) =
𝑃 𝑋 ≤𝑥 − 𝑏
𝑎 si 𝑎 > 0 𝑃 𝑋 ≥𝑥 − 𝑏
𝑎 si 𝑎 < 0 Ainsi, ∀𝑥 ∈ ℝ, 𝐺(𝑥) =
𝐹 𝑥 − 𝑏
𝑎 si 𝑎 > 0 1 − 𝐹 𝑥 − 𝑏
𝑎 si 𝑎 < 0
Par composée de fonctions, 𝐺 est continue sur ℝ et de classe 𝐶 sur ℝ sauf éventuellement en un nombre fini de points et en chacun de ces points :
𝐺 (𝑥) = 1
𝑎𝐹 𝑥 − 𝑏
𝑎 si 𝑎 > 0 0 −1
𝑎𝐹 𝑥 − 𝑏
𝑎 si 𝑎 < 0
= 1
𝑎𝑓 𝑥 − 𝑏
𝑎 si 𝑎 > 0
−1
𝑎𝑓 𝑥 − 𝑏
𝑎 si 𝑎 < 0
= 1
|𝑎|𝑓 𝑥 − 𝑏 𝑎
Conclusion : 𝑌 = 𝑎𝑋 + 𝑏 est une variable aléatoire à densité de densité 𝑔 définie par : 𝑔(𝑥) = 1
|𝑎|𝑓 𝑥 − 𝑏 𝑎
5 b) Loi de 𝑌 = 𝑋
Soit 𝑋, une variable aléatoire de densité 𝑓 et de fonction de répartition 𝐹.
Notons 𝐺 la fonction de répartition de 𝑌 = 𝑋 .
∀𝑥 ∈ ℝ, 𝐺(𝑥) = 𝑃(𝑌 ≤ 𝑥) = 𝑃(𝑋 ≤ 𝑥) = 0 si 𝑥 ≤ 0
𝑃 −√𝑥 ≤ 𝑋 ≤ √𝑥 si 𝑥 > 0 = 0 si 𝑥 ≤ 0
𝐹 √𝑥 − 𝐹 −√𝑥 si 𝑥 > 0 Par composée de fonctions, 𝐺 est continue sur ]−∞; 0] et ]0; +∞[.
Continuité en 0 : lim
→ 𝐺(𝑥) = 0 et lim
→ 𝐺(𝑥) = 𝐹(0) − 𝐹(0) = 0 et donc lim
→ 𝐺(𝑥) = 0 = 𝐺(0) 𝐺 est donc continue sur ℝ et, par composée, de classe 𝐶 sur ℝ sauf éventuellement en un nombre fini de points et en chacun de ces points :
𝐺 (𝑥) = 0 si 𝑥 ≤ 0
𝐹 √𝑥 − 𝐹 −√𝑥 si 𝑥 > 0=
0 si 𝑥 ≤ 0 1
2√𝑥𝑓 √𝑥 − −1
2√𝑥𝑓 −√𝑥 si 𝑥 > 0
=
0 si 𝑥 ≤ 0 1
2√𝑥 𝑓 √𝑥 + 𝑓 −√𝑥 si 𝑥 > 0
Conclusion : 𝑌 = 𝑋 est une variable aléatoire à densité de densité 𝑔 définie par : 𝑔(𝑥) =
0 si 𝑥 ≤ 0 1
2√𝑥 𝑓 √𝑥 + 𝑓 −√𝑥 si 𝑥 > 0 c) Loi de 𝑌 = exp(𝑋)
Soit 𝑋, une variable aléatoire de densité 𝑓 et de fonction de répartition 𝐹.
Notons 𝐺 la fonction de répartition de 𝑌 = exp(𝑋).
∀𝑥 ∈ ℝ, 𝐺(𝑥) = 𝑃(𝑌 ≤ 𝑥) = 𝑃(exp(𝑋) ≤ 𝑥) = 0 si 𝑥 ≤ 0
𝑃(𝑋 ≤ ln(𝑥)) si 𝑥 > 0 = 0 si 𝑥 ≤ 0 𝐹(ln(𝑥)) si 𝑥 > 0 Par composée de fonctions, 𝐺 est continue sur ]−∞; 0] et ]0; +∞[.
Continuité en 0 : lim
→ 𝐺(𝑥) = 0 et lim
→ 𝐺(𝑥) = lim
→ 𝐹(𝑡) = 0 et donc lim
→ 𝐺(𝑥) = 0 = 𝐺(0)
𝐺 est donc continue sur ℝ et, par composée, de classe 𝐶 sur ℝ sauf éventuellement en un nombre fini de points et en chacun de ces points :
𝐺 (𝑥) = 0 si 𝑥 ≤ 0
𝐹(ln(𝑥)) si 𝑥 > 0 =
0 si 𝑥 ≤ 0 1
𝑥𝑓(ln(𝑥)) si 𝑥 > 0
Conclusion : 𝑌 = exp(𝑋) est une variable aléatoire à densité de densité 𝑔 définie par : 𝑔(𝑥) =
0 si 𝑥 ≤ 0 1
𝑥𝑓(ln(𝑥)) si 𝑥 > 0 d) Loi de 𝑆 = 𝑀𝑎𝑥(𝑋, 𝑌) et de 𝑇 = 𝑀𝑖𝑛(𝑋, 𝑌)
Soit 𝑋 et 𝑌, deux variables aléatoires indépendantes de densité respective 𝑓 et 𝑓 et de fonction de répartition respective 𝐹 et 𝐹 .
Notons respectivement 𝑓 et 𝐹 une densité et la fonction de répartition de la variable aléatoire 𝑆 = 𝑀𝑎𝑥(𝑋, 𝑌).
∀𝑥 ∈ ℝ, 𝐹 (𝑥) = 𝑃(𝑆 ≤ 𝑥) = 𝑃([𝑋 ≤ 𝑥] ∩ [𝑌 ≤ 𝑥]) = 𝑃(𝑋 ≤ 𝑥)𝑃(𝑌 ≤ 𝑥) = 𝐹 (𝑥)𝐹 (𝑥)
Le reste du calcul dépend des lois de 𝑋 et de 𝑌 et de leurs fonctions de répartitions respectives.
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De même, notons respectivement 𝑓 et 𝐹 une densité et la fonction de répartition de la variable aléatoire 𝑇 = 𝑀𝑖𝑛(𝑋, 𝑌).
∀𝑥 ∈ ℝ, 𝐹 (𝑥) = 𝑃(𝑇 ≤ 𝑥) = 1 − 𝑃(𝑇 > 𝑥) = 1 − 𝑃([𝑋 > 𝑥] ∩ [𝑌 > 𝑥]) = 1 − 𝑃(𝑋 > 𝑥)𝑃(𝑌 > 𝑥)
= 1 − 1 − 𝐹 (𝑥) 1 − 𝐹 (𝑥)
Le reste du calcul dépend des lois de 𝑋 et de 𝑌 et de leurs fonctions de répartitions respectives.
4) Moments d’une variable aléatoire à densité Théorème 16 : Théorème de transfert
Si 𝑋 est une variable aléatoire admettant une densité 𝑓 nulle en dehors d’un intervalle ]𝑎, 𝑏[
(où −∞ ≤ 𝑎 < 𝑏 ≤ +∞) et si 𝑔 est une fonction continue sur ℝ sauf éventuellement en un nombre fini de points sur ]𝑎, 𝑏[, alors 𝑔(𝑋) admet une espérance si, et seulement si, l’intégrale ∫ 𝑔(𝑡)𝑓(𝑡)𝑑𝑡 converge absolument et, dans ce cas :
𝐸 𝑔(𝑋) = 𝑔(𝑡)𝑓(𝑡)𝑑𝑡
Définition 9 : Une variable aléatoire de densité 𝑓 admet un moment d’ordre 𝑟 (𝑟 ∈ ℕ) lorsque la variable aléatoire 𝑋 admet une espérance. Dans ce cas, on admet moment d’ordre 𝑟 le réel défini par :
𝑚 (𝑋) = 𝐸(𝑋 ) = 𝑡 𝑓(𝑡)𝑑𝑡 Remarque 6 :
1) Le moment d’ordre 1 d’une variable aléatoire est son espérance.
2) Si une variable aléatoire admet un moment d’ordre 2, alors elle admet un moment d’ordre 1.
Définition 10 : Si une variable aléatoire de densité 𝑓 admet un moment d’ordre 2, alors on appelle variance de 𝑋 et note 𝑉(𝑋) le réel défini par :
𝑉(𝑋) = 𝑡 − 𝐸(𝑋) 𝑓(𝑡)𝑑𝑡
Dans ca cas, on appelle écart-type de 𝑋 le réel noté 𝜎(𝑋) et défini par 𝜎(𝑋) = 𝑉(𝑋).
Théorème 17 : Théorème de Koenig-Huygens
Si 𝑋 est une variable aléatoire à densité admettant une variance, alors on a : 𝑉(𝑋) = 𝐸(𝑋 ) − 𝐸(𝑋)
Remarque 7 : Les propriétés énoncées au paragraphe I s’appliquent bien sûr au cas particulier des variables aléatoires à densité.
Exemple 4 : La variable aléatoire 𝑋 de densité la fonction 𝑓 définie dans l’exemple 1 admet une
variance de valeur 1. De même, la variable aléatoire 𝑌 de densité 𝑔 définie dans l’exemple 2 admet une variance de valeur .
Exemple 5 : La variable aléatoire 𝑋 de densité la fonction 𝑓 définie sur ℝ par : 𝑓(𝑥) =
2
𝑥 si 𝑥 ≥ 1 0 si 𝑥 < 1
admet une espérance mais n admet pas de variance.
7 III – Lois à densité usuelles
1) Les Lois uniformes
a) Loi uniforme sur [𝑎; 𝑏]
Soient 𝑎 et 𝑏 deux nombres réels tels que 𝑎 < 𝑏.
Définition 11 : On dit que la variable aléatoire 𝑋 suit une loi uniforme sur l’intervalle [𝑎; 𝑏] lorsque sa densité 𝑓 est définie sur ℝ par :
𝑓(𝑥) = 1
𝑏 − 𝑎 si 𝑥 ∈ [𝑎; 𝑏]
0 sinon
On note : 𝑋 suit la loi 𝒰([𝑎; 𝑏]) ou encore 𝑋 ↪ 𝒰([𝑎; 𝑏]).
Remarque 8 :
1) La fonction 𝑓 est nulle en dehors de [𝑎; 𝑏], la variable aléatoire 𝑋 prend donc ses valeurs dans l’intervalle [𝑎; 𝑏] mais le support peut être indifféremment [𝑎; 𝑏[ , ]𝑎; 𝑏]…
2) Pour 𝑎 ≤ 𝑐 ≤ 𝑑 ≤ 𝑏, 𝑃(𝑐 ≤ 𝑋 ≤ 𝑑) = 𝑓(𝑥)d𝑥 =𝑑 − 𝑐 𝑏 − 𝑎
Exemple 6 : Choisir un réel au hasard dans l’intervalle [𝑎; 𝑏] se modélise par la loi uniforme sur [𝑎; 𝑏].
Si 𝑋 est la variable aléatoire représentant le réel choisi au hasard dans l’intervalle [𝑎; 𝑏], alors 𝑋 ↪ 𝒰([𝑎; 𝑏]).
Théorème 18 : Si 𝑋 ↪ 𝒰([𝑎; 𝑏]), alors sa fonction de répartition 𝐹 est définie par :
∀𝑥 ∈ ℝ, 𝐹(𝑥) = 𝑃(𝑋 ≤ 𝑥) =
⎩⎪
⎨
⎪⎧ 0 si 𝑥 < 𝑎 𝑥 − 𝑎
𝑏 − 𝑎 si 𝑥 ∈ [𝑎; 𝑏]
1 si 𝑥 > 𝑏
Propriété 2 : Si 𝑋 ↪ 𝒰([𝑎; 𝑏]) alors 𝑋 admet une espérance et une variance définies par : 𝐸(𝑋) =𝑎 + 𝑏
2 et 𝑉(𝑋) =(𝑏 − 𝑎) 12 Exemple 7 :
La variable aléatoire 𝑋 qui, à chaque appel à un standard téléphonique d’un service client, associe le temps d’attente en minutes avant d’être mis en relation avec un conseiller client, suit une loi uniforme sur l’intervalle [2; 20] (On considère que l’appel est renvoyé sur un répondeur après 20 minutes d’attente).
a) Définir la densité 𝑓 associée à la variable aléatoire 𝑋.
b) Quelle est la probabilité que le temps d’attente soit inférieur à un quart d’heure ? c) Quel est le temps d’attente moyen ?
8 b) Loi uniforme sur [0; 1]
Définition 12 : On dit que la variable aléatoire 𝑋 suit une loi uniforme sur l’intervalle [0; 1]
lorsque sa densité 𝑓 est définie sur ℝ par : 𝑓(𝑥) =
1 si 𝑥 ∈ [0; 1]
0 sinon On note : 𝑋 suit la loi 𝒰([0; 1]) ou encore 𝑋 ↪ 𝒰([0; 1]).
Remarque 9 :
La fonction 𝑓 est nulle en dehors de [0; 1], la variable aléatoire 𝑋 prend donc ses valeurs dans l’intervalle [0; 1] mais le support peut être indifféremment [0; 1[ , ]0; 1]…
Théorème 19 : Si 𝑋 ↪ 𝒰([0; 1]), alors sa fonction de répartition 𝐹 est définie par :
∀𝑥 ∈ ℝ, 𝐹(𝑥) = 𝑃(𝑋 ≤ 𝑥) =
⎩⎪
⎨
⎪⎧ 0 si 𝑥 < 0 𝑥 si 𝑥 ∈ [0; 1]
1 si 𝑥 > 1
Propriété 3 : Si 𝑋 ↪ 𝒰([0; 1]) alors 𝑋 admet une espérance et une variance définies par : 𝐸(𝑋) =1
2 et 𝑉(𝑋) = 1 12
Propriété 4 : Pour tout couple (𝑎, 𝑏) de réels tels que 𝑎 < 𝑏, on a : 𝑋 ↪ 𝒰([0; 1]) ⇔ (𝑏 − 𝑎)𝑋 + 𝑎 ↪ 𝒰([𝑎; 𝑏]) 2) Les lois exponentielles
Définition 13 : Soit 𝜆 un réel strictement positif.
On dit que la variable aléatoire 𝑋 suit une loi exponentielle de paramètre 𝜆 lorsque sa densité 𝑓 est définie sur ℝ par :
𝑓(𝑥) =
0 si 𝑥 < 0 𝜆e si 𝑥 ≥ 0 On note : 𝑋 suit la loi ℰ(𝜆) ou encore 𝑋 ↪ ℰ(𝜆).
Remarque 10 :
1) La fonction 𝑓 est nulle sur l’intervalle ]−∞; 0[, le support 𝑋(Ω) peut être choisi égal à l’intervalle [0; +∞[ ou ]0; +∞[.
2) Le point d’abscisse 0 de la courbe représentative de la densité a pour ordonnée 𝜆, c’est-à-dire le paramètre de la loi exponentielle.
3) Les lois exponentielles sont en général utilisées pour des « durées de vie ».
9 Théorème 20 : Soit 𝜆 un réel strictement positif.
Si 𝑋 ↪ ℰ(𝜆), alors sa fonction de répartition 𝐹 est définie par :
∀𝑥 ∈ ℝ, 𝐹(𝑥) = 𝑃(𝑋 ≤ 𝑥) =
0 si 𝑥 < 0 1 − e si 𝑥 ≥ 0 Remarque 11 : ∀𝑥 ∈ ℝ, 𝑃(𝑋 > 𝑥) = 𝑃(𝑋 ≥ 𝑥) = e
Propriété 5 : Soit 𝜆 un réel strictement positif.
Si 𝑋 ↪ ℰ(𝜆) alors 𝑋 admet une espérance et une variance définies par : 𝐸(𝑋) =1
𝜆 et 𝑉(𝑋) = 1 𝜆 Exemple 8 :
La durée d’attente, en minutes, au départ d’une remontée mécanique dans une station de sports d’hiver en période de vacances scolaires est une variable aléatoire 𝑇 qui suit la loi exponentielle de paramètre 𝜆 = 0,05.
a) Calculer, en minutes, le temps moyen d’attente au départ de cette remontée mécanique.
b) Calculer, à 10 près, la probabilité d’attendre moins de 30 minutes, puis entre 10 et 30 minutes.
c) Un skieur arrive à la remontée mécanique. Un panneau indique que le temps d’attente est d‘au moins 10 minutes. Calculer, à 10 près, la probabilité qu’il soit inférieur à 30 minutes.
Définition 14 : On dit qu’une variable aléatoire à valeurs positives est « sans mémoire » si, pour tout couple (𝑡, ℎ) de réels positifs, on a :
𝑃(𝑋 > 𝑡 + ℎ) = 𝑃(𝑋 > 𝑡)𝑃(𝑋 > ℎ) Théorème 21 : Caractérisation de la loi exponentielle
Soit 𝑋 une variable aléatoire positive (différente de la variable aléatoire quasi-certaine égale à 0).
𝑋 est sans mémoire ⇔ 𝑋 est une variable aléatoire à densité de loi exponentielle.
Remarque 12 : Si 𝑃(𝑋 > ℎ) ≠ 0, la propriété « sans mémoire » s’écrit de la façon suivante : Pour tout couple (𝑡, ℎ) de réels positifs, on a :
𝑃 (𝑋 > 𝑡 + ℎ) = 𝑃(𝑋 > 𝑡)
Remarque 13 : Les variables aléatoires discrètes de loi géométrique vérifient cette propriété mais seulement pour 𝑡 et ℎ entiers naturels.
Propriété 6 : Pour tout réel 𝜆 > 0, on a :
𝑋 ↪ ℰ(1) ⇔ 1
𝜆𝑋 ↪ ℰ(𝜆) Propriété 7 : Pour tout réel 𝜆 > 0, on a :
Si 𝑋 ↪ 𝒰([0; 1]) alors −1
𝜆ln(1 − 𝑋) ↪ ℰ(𝜆)
10 3) Les lois normales
a) Loi normale centrée réduite
Définition 15 : On dit que la variable aléatoire 𝑋 suit une loi normale centrée réduite lorsque sa densité 𝑓 est définie sur ℝ par :
𝑓(𝑥) = 1
√2𝜋e
On note : 𝑋 suit la loi 𝒩(0; 1) ou encore 𝑋 ↪ 𝒩(0; 1).
Remarque 14 :
1) Le support 𝑋(Ω) est toujours choisi égal à ℝ.
2) La fonction 𝑓 est paire, sa courbe est donc symétrique par rapport à l’axe des ordonnées.
3) La fonction de répartition associée n’a pas d’écriture explicite à l’aide des fonctions usuelles, elle se note 𝜙 et elle est définie par :
𝜙(𝑥) = 1
√2𝜋 e 𝑑𝑡
4) L’aire du domaine situé sous la courbe et au-dessus de l’axe des abscisses vaut 1. Par symétrie de la courbe de 𝑓, on obtient les propriétés suivantes :
Propriété 8 :
1) Pour tout réel 𝑥, 𝜙(−𝑥) = 1 − 𝜙(𝑥) 2) En particulier, 𝜙(0) =
Propriété 9 : Si 𝑋 ↪ 𝒩(0; 1) alors 𝑋 admet une espérance et une variance définies par : 𝐸(𝑋) = 0 et 𝑉(𝑋) = 1
b) Loi normale ou loi de Laplace-Gauss
Définition 16 : On dit que la variable aléatoire 𝑋 suit une loi 𝒩(𝑚; 𝜎 ) lorsque sa densité 𝑓 est définie sur ℝ par :
𝑓(𝑥) = 1
𝜎√2𝜋e On note : 𝑋 suit la loi 𝒩(𝑚; 𝜎 ) ou encore 𝑋 ↪ 𝒩(𝑚; 𝜎 ).
Remarque 15 :
1) Le support 𝑋(Ω) est toujours choisi égal à ℝ.
2) La fonction de répartition associée n’a pas d’écriture explicite à l’aide des fonctions usuelles, elle se note 𝜙 , et elle est définie par :
𝜙 , (𝑥) = 1
𝜎√2𝜋 e 𝑑𝑡
11
3) Pour tout réel 𝑥, 𝑓(𝑚 − 𝑥) = 𝑓(𝑚 + 𝑥) : la courbe de 𝑓 (en « cloche » elle aussi) est donc symétrique par rapport à la droite d’équation 𝑥 = 𝑚.
4) L’écart-type 𝜎 a un impact sur la forme de la courbe de 𝑓 : plus il est petit et plus la « cloche est haute ».
Propriété 10 : Si 𝑋 ↪ 𝒩(𝑚; 𝜎 ) alors 𝑋 admet une espérance et une variance définies par : 𝐸(𝑋) = 𝑚 et 𝑉(𝑋) = 𝜎
Propriété 11 : Soient 𝑎 et 𝑏 deux réels avec 𝑎 ≠ 0.
𝑋 ↪ 𝒩(𝑚; 𝜎 ) ⇔ 𝑎𝑋 + 𝑏 ↪ 𝒩(𝑎𝑚 + 𝑏; 𝑎 𝜎 ) Propriété 12 : Cas particulier
𝑋 ↪ 𝒩(𝑚; 𝜎 ) ⇔ 𝑋 − 𝑚
𝜎 ↪ 𝒩(0; 1) Remarque 16 :
La variable aléatoire 𝑋 − 𝑚
𝜎 est appelée variable centrée réduite associée à 𝑋.
Propriété 13 : Somme de variables aléatoires de loi normale
Si 𝑋 ↪ 𝒩(𝑚 ; 𝜎 ) et 𝑋 ↪ 𝒩(𝑚 ; 𝜎 ) et si 𝑋 et 𝑋 sont indépendantes, alors : 𝑋 + 𝑋 ↪ 𝒩(𝑚 + 𝑚 ; 𝜎 + 𝜎 )
Propriété 14 : Généralisation de la propriété 13
Si 𝑋 ↪ 𝒩(𝑚 ; 𝜎 ), 𝑋 ↪ 𝒩(𝑚 ; 𝜎 ), … 𝑋 ↪ 𝒩(𝑚 ; 𝜎 ) et si 𝑋 , 𝑋 , … , 𝑋 sont mutuellement indépendantes, alors :
𝑋 + 𝑋 + ⋯ + 𝑋 ↪ 𝒩(𝑚 + 𝑚 + ⋯ + 𝑚 ; 𝜎 + 𝜎 + ⋯ + 𝜎 ) Autrement dit 𝑋 ↪ 𝒩 𝑚 ; 𝜎
𝑚
12
c) Exemples de lecture à l’aide d’une table de valeurs
Exemple 9 : 𝑋 ↪ 𝒩(0; 1)
1) Pour lire la valeur de 𝑃(𝑋 ≤ 1,32) = 𝜙(1,32) on place 1,3 sur la 1ère colonne puis 0,02 sur la 1ère ligne et on lit la valeur associée : 0,9066
Ainsi, 𝑃(𝑋 ≤ 1,32) = 0,9066.
2) Pour lire 𝑃(𝑋 ≤ −0,49), on utilise les propriétés de la fonction 𝜙 : 𝑃(𝑋 ≤ −0,49) = 𝜙(−0,49) = 1 − 𝜙(0,49)
On place 0,4 sur la 1ère colonne puis 0,09 sur la 1ère ligne et on lit la valeur associée : 0,6879 Ainsi, 𝑃(𝑋 ≤ −0,49) = 1 − 0,6879 = 0,3121
Exemple 10 : 𝑋 ↪ 𝒩(3; 2 )
On doit passer par la variable centrée réduite 𝑍 associée à 𝑋 : 𝑍 =𝑋 − 3
2 ↪ 𝒩(0; 1) 𝑃(𝑋 < 5) = 𝑃 𝑋 − 3
2 < 5 − 3
2 = 𝑃(𝑍 < 1) = 𝜙(1) = 0,8413 𝑃(𝑋 ≥ 1) = 𝑃 𝑋 − 3
2 ≥ 1 − 3
2 = 𝑃(𝑍 ≥ −1) = 1 − 𝑃(𝑍 < −1) = 1 − 𝜙(−1) = 1 − 1 − 𝜙(1)
= 𝜙(1) = 0,8413
13 IV – Un peu de Scilab
Rappels : Pour tout couple (𝑎, 𝑏) de réels tels que 𝑎 < 𝑏, on a :
𝑋 ↪ 𝒰([0; 1]) ⇔ (𝑏 − 𝑎)𝑋 + 𝑎 ↪ 𝒰([𝑎; 𝑏]) Pour tout réel 𝜆 > 0, on a :
Si 𝑋 ↪ 𝒰([0; 1]) alors −1
𝜆ln(1 − 𝑋) ↪ ℰ(𝜆)
Ces résultats permettent de simuler, sans utiliser la fonction grand, la loi uniforme sur [𝑎, 𝑏] et la loi exponentielle de paramètre 𝜆.
Ces résultats proviennent d’un résultat plus général : La méthode d’inversion :
Soit 𝑈 une variable aléatoire suivant la loi uniforme sur [0,1].
1) Si 𝑋 est une variable aléatoire discrète prenant ses valeurs dans {𝑥 , 𝑥 , 𝑥 … } avec 𝑥 < 𝑥 < ⋯ et de fonction de répartition 𝐹, on a :
𝑃(𝑋 = 𝑥 ) = 𝐹(𝑥 ) et ∀𝑘 ≥ 2, 𝑃(𝑋 = 𝑥 ) = 𝑃(𝐹(𝑥 ) < 𝑈 ≤ 𝐹(𝑥 ))
2) Si 𝑋 est une variable aléatoire à densité de fonction de répartition 𝐹, on a :
∀𝑥 ∈ ℝ, 𝐹(𝑥) = 𝑃(𝑈 ≤ 𝐹(𝑥)) Remarque 17 :
1) On retrouve l’égalité usuelle : 𝑃(𝑋 = 𝑥 ) = 𝐹(𝑥 ) − 𝐹(𝑥 )
2) On retrouve les résultats du rappel en utilisant la fonction de répartition connue : Si 𝑋 est une variable aléatoire de loi uniforme sur [𝑎, 𝑏] de fonction de répartition 𝐹, on a :
∀𝑥 ∈ ℝ, 𝐹(𝑥) = 𝑃(𝑋 ≤ 𝑥) =
⎩⎪
⎨
⎪⎧ 0 si 𝑥 < 𝑎 si 𝑥 ∈ [𝑎; 𝑏]
1 si 𝑥 > 𝑏
Or, ∀𝑥 ∈ ℝ, 𝑃(𝑈 ≤ 𝐹(𝑥)) =
⎩⎪
⎨
⎪⎧ 𝑃(𝑈 ≤ 0) si 𝑥 < 𝑎 𝑃 𝑈 ≤ si 𝑥 ∈ [𝑎; 𝑏]
𝑃(𝑈 ≤ 1) si 𝑥 > 𝑏
=
⎩⎪
⎨
⎪⎧ 0 si 𝑥 < 𝑎
𝑃 (𝑏 − 𝑎)𝑈 + 𝑎 ≤ 𝑥 si 𝑥 ∈ [𝑎; 𝑏]
1 si 𝑥 > 𝑏 Conclusion : ∀𝑥 ∈ ℝ, 𝐹(𝑥) = 𝑃 (𝑏 − 𝑎)𝑈 + 𝑎 ≤ 𝑥
Les lois 𝑋 et (𝑏 − 𝑎)𝑈 + 𝑎 suivent la même loi uniforme sur [𝑎; 𝑏].
Si 𝑋 est une variable aléatoire de loi exponentielle de paramètre 𝜆 de fonction de répartition 𝐹, on a :
∀𝑥 ∈ ℝ, 𝐹(𝑥) =
0 si 𝑥 < 0 1 − e si 𝑥 ≥ 0 Or, ∀𝑥 ∈ ℝ, 𝑃(𝑈 ≤ 𝐹(𝑥)) =
𝑃(𝑈 ≤ 0) si 𝑥 < 0 𝑃 𝑈 ≤ 1 − e si 𝑥 ≥ 0
14
𝑃 𝑈 ≤ 1 − e = 𝑃 1 − 𝑈 ≥ e = 𝑃(ln(1 − 𝑈) ≥ −𝜆𝑥) = 𝑃 −1
𝜆ln(1 − 𝑈) ≤ 𝑥 Conclusion : ∀𝑥 ∈ ℝ, 𝐹(𝑥) = 𝑃 − ln(1 − 𝑈) ≤ 𝑥
Les lois 𝑋 et − ln(1 − 𝑈) suivent la même loi exponentielle de paramètre 𝜆.
Exemple 11 :
Pour simuler une loi de Bernoulli de paramètre 𝑝, on peut utiliser la méthode d’inversion : 𝑃(𝑋 = 1) = 𝑃 𝐹(0) < 𝑈 ≤ 𝐹(1) = 𝑃(1 − 𝑝 < 𝑈 ≤ 1) = 𝑃(𝑈 > 1 − 𝑝)
p=input(‘entrez la valeur de p :’) if rand()>1-p then x=1,else x=0,end
Mais comme les événements 𝑃(𝑈 > 1 − 𝑝) et 𝑃(𝑈 ≤ 𝑝) ont la même probabilité : p=input(‘entrez la valeur de p :’)
if rand()<=p then x=1,else x=0,end Exemple 12 :
Pour simuler une loi exponentielle de paramètre 𝜆, on peut utiliser la méthode d’inversion : 𝑃(𝑋 ≤ 𝑥) = 𝑃 −1
𝜆ln(1 − 𝑈) ≤ 𝑥
lambda=input(‘entrez la valeur de lambda :’) x=-log(1-rand())/lambda
