Fonctions d'une variable réelle

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Stanislas

Exercices

Fonctions d'une variable réelle

Chapitre XI MPSI 1

2015/2016

I - Généralités

Exercice 1. (-) Soient I un intervalle de R non vide et f, g ∈ F(I,R). On suppose que f est majorée et queg est bornée. Montrer quesup

I

f+ inf

I g6sup

I

(f +g).

Exercice 2. (-)Montrer que la fonction f ∈F(]0,1],R) dénie pour tout x ∈]0,1] par f(x) = (1−x) sin^π_x est bornée et déterminer ses bornes supérieure et inférieure.

II - Limites

Exercice 3. (-)Soitp∈R+. Étudier l'existence et les valeurs des limites suivantes.

1. lim

x→+∞ 1 +_x¹x

. 2. lim

x→−1

x²+2x+1 3x²−2x−5.

3. lim

x→4 3−√

x+5 x−4 . 4. lim

x→1

√x+3−2

√2x+3−x²−2.

5. lim

x→+∞

1 x^psin¹_x. 6. lim

x→0 bxc

x .

7. lim

x→0x₁

x

. 8. lim

x→+∞

bxc^bxc x^x .

Exercice 4. (-)Soitf ∈F(R,R)une fonction périodique ayant une limite nie`en+∞. Montrer quef est constante.

Exercice 5. (-) Existe-t-il une fonction f ∈ F(R+,C) telle que lim

x→+∞|f(x)| = +∞ mais telle queRe(f) etIm(f) ne tendent pas vers l'inni en +∞?

Exercice 6. (Points de discontinuité des fonctions croissantes,♥, !) Soient a < b deux réels et f ∈F([a, b],R) une fonction croissante.

1.Rappeler pourquoi la fonction f admet une limite à droite fd(x)et une limite à gauche fg(x) en tout pointx∈]a, b[. On notera v_f(x) =f_d(x)−f_g(x).

2. Soitx∈]a, b[.

a)Montrer que v_f(x)>0.

b)Montrer que vf(x) = 0 si et seulement si f est continue enx.

3. Soientx, y ∈[a, b]tels que x < y. Montrer que f_g(y)−f_d(x) >0 et que f_g(y)−f_d(x) = 0si et seulement sif est constante sur]x, y[.

4. Soitp∈N^? etx₁ <· · ·< x_p des réels de]a, b[. Montrer que P^p

j=1

v_f(x_k)6f(b)−f(a). 5. En déduire que pour toutα >0, l'ensemble des points x∈]a, b[tels quev_f(x)> αest ni.

On pourra ensuite montrer que l'ensemble des points de discontinuité def est au plus dénombrable.

Exercice 7. (Fonctions périodiques)Soitf ∈F(R,R)etTf l'ensemble de ses périodes, c'est-à-dire l'ensemble des réelsT ∈Rtels que pour tout x∈R, f(x+T) =f(x).

1. Montrer que(Tf,+) est un sous-groupe de(R,+).

2. Montrer que si la fonctionf est périodique,a= inf(Tf ∩R^?+) existe.

3. Lorsque f est continue, périodique et non constante, en déduire qu'il existe a > 0 tel que Tf =aZ.

Exercice 8. (Existence de point fixe, ♥) Soit f ∈ F([0,1],[0,1]) une fonction croissante. Soit E={y∈[0,1] ; f(y)>y}. Montrer que z= supE existe et quef(z) =z.

Stanislas A. Camanes

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Exercices. Fonctions d'une variable réelle MPSI 1

III - Suites dénies par récurrence

Exercice 9.On dénit la suite dénie par récurrence par u0 ∈ R et pour tout n ∈ N, un+1 =

√1 +un. Étudier cette suite.

Exercice 10.On dénit la suite dénie par récurrence par u₀ ∈R+ et pour tout n∈N,u_n+1 =

1+un

1+2un. Montrer que la suite (un)n∈N est convergente et préciser sa limite.

Exercice 11. (Rapidité de convergence,♥)Soient a < b et f ∈ F([a, b],[a, b]) une fonction lip- schitzienne de rapport k <1.

1. Montrer qu'il existe un uniquex0 ∈[a, b]tel que f(x0) =x0.

2. En déduire que la suite(a_n)n∈N dénie par récurrence para_n+1 =f(a_n)converge versx₀. IV - Fonctions continues

Exercice 12. (!)Soientf ∈F(]0,+∞[,R) etg : ]0,+∞[→R, x7→ ^f(x)_x . On suppose quef est croissante et get décroissante. Montrer que f est continue.

Exercice 13. (♥) Soient [a, b] un segment de R et f ∈ C([a, b],[a, b]). Montrer que f admet au moins un point xe.

Exercice 14. (-)Soient [a, b]un segment deR etf ∈C([a, b],R). Montrer que pour tous α, β∈ R+, il existec∈[a, b]tel que αf(a) +βf(b) = (α+β)f(c).

Exercice 15.Soit f ∈C([0,1],R+) telle quef(0) =f(1) = 0. Montrer que

∀λ∈]0,1[,∃x∈[0,1] ; f(x+λ) =f(x).

Exercice 16. (-) Soit f ∈ C(R,R+) telle que lim

x→+∞f(x) = lim

x→−∞f(x) = 0. Montrer que f possède un maximum.

Exercice 17. Soient a < b deux réels et f, g ∈ C([a, b],R^?+) telles que pour tout x ∈ [a, b], f(x)< g(x). Montrer qu'il existe un réel k <1tel que pour tout x∈[a, b], f(x)< kg(x). Exercice 18. (!)Soientf ∈C([1,+∞[,R)et`∈Rtelles que lim

x→+∞f(x+ 1)−f(x) =`. Montrer que lim

x→+∞

f(x) x =`.

V - Équations fonctionnelles

Exercice 19. Déterminer les applications f ∈ F(R,R) telles que pour tout (x, y) ∈ R²,

|f(x)−f(y)|=|x−y|.

Exercice 20. (Caractérisation des applications linéaires,♥)Soit f ∈F(R,R) telle que pour tous x, y∈R,f(x+y) =f(x) +f(y).

1. Montrer que sif est bornée, alorsf est nulle.

2. Montrer que sif est continue, il existeα∈R tel que pour toutx∈R,f(x) =αx. 3. Déterminer l'ensemble des fonctionsf ∈C(R,R)telles que pour tous x, y ∈R,

a)f(x+y) =f(x)f(y). b)f ^x+y₂

= ¹₂(f(x) +f(y))

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VI - Dérivation

Exercice 21. (-)SoientI un intervalle de Retf : I →Rune fonction. On suppose qu'il existe deux réelsk>0etα >1 tels que∀ x, y∈I,|f(x)−f(y)|6k|x−y|^α. Montrer que la fonction f est constante sur I.

Exercice 22.Soient I un intervalle de R, f : I → R eta un point intérieur à I. La fonction f admet une dérivée centrale enasi la limite lim

h→0, h6=0

f(a+h)−f(a−h)

2h =f_c⁰(a) existe et est réelle.

1. Montrer que sif admet une dérivée à gauche et une dérivée à droite ena, alors f admet une dérivée centrale en aque vous déterminerez.

2.Montrer qu'il existe des fonctions f admettant une dérivée centrale ena: sans être continues en a; en étant continues mais dérivables ni à gauche, ni à droite ena.

Exercice 23. (!)Soitf : [0,+∞[→Rune fonction dérivable en 0 et telle quef(0) = 0. 1. Pour toutn∈N^?, on note un=

n

P

k=1 k

n². Montrer que la suiteu admet une limite `∈R.

2. Pour toutn∈N^?, on posev_n=

n

P

k=1

f _n^k2

. Montrer que la suite v converge vers`f⁰(0). 3. En déduire la limite de la suite

_n P

k=1

ln 1 + _n^k2

. Exercice 24. (!)Soitf ∈C¹(R,R)telle que lim

x→+∞(f(x) +f⁰(x)) =`. Montrer que lim

x→+∞f(x) =

`.

VII - Rolle, T.A.F & Cie

Sauf mention du contraire, a, bsont deux réels tels quea < b. Exercice 25. (-)Montrer que pour tous0< a < b, ^b−a_b <ln _a^b

< ^b−a_a .

Exercice 26.Soit f une fonction continue sur [a, b], dérivable sur ]a, b[. On suppose que f ne s'annule pas sur[a, b]. Montrer qu'il existe c∈]a, b[tel quef(b) = expn

(b−a)^f_f(c)⁰^(c)o f(a). Exercice 27. (Règle de l’Hospital,♥)Soient f, g deux fonctions continues sur[a, b]et dérivables sur]a, b[telles que pour toutx∈]a, b[, g⁰(x)6= 0.

1. Montrer qu'il existe un réelc∈]a, b[tel que ^f(b)−f(a)_g(b)−g(a) = ^f_g⁰0(c)^(c). 2. On suppose que f(a) = g(a) = 0 et que lim

x→a f⁰(x)

g⁰(x) existe dans R. Montrer que lim

x→a f⁰(x) g⁰(x) =

x→alim

f(x) g(x).

3. Déterminer lim

x→0

cos(2x)−1 x³+5x² .

4. On pose f : x 7→ x+ cos(x) sin(x) et g : x 7→ e^sin(x)f(x). Déterminer, si elles existent,

x→0lim

f(x)

g(x) et lim

x→0 f⁰(x) g⁰(x).

Exercice 28. (-)Déterminer, à l'aide du théorème des accroissements nis, lim

x→+∞x²

e^x¹ −e^x+1¹ . Exercice 29.Soit f : R+→Rune fonction de classe C¹. Étudier lim

x→0⁺

f(x)−f(sinx) x−sinx .

Exercice 30. (♥) Soient n ∈ N^? et f une fonction dénie sur [a, b], de classe Cⁿ⁻¹ et telle que f⁽ⁿ⁻¹⁾ soit dérivable sur]a, b[. On suppose que f admet n+ 1zéros distincts sur[a, b]. Montrer quef⁽ⁿ⁾ s'annule sur]a, b[.

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Exercice 31. (♥) Soient f une fonction continue et dérivable sur R, α ∈ R. On suppose que

x→−∞lim f(x) = lim

x→+∞f(x) =α. Montrer qu'il existe un réel ctel que f⁰(c) = 0.

Exercice 32. (Théorème de Darboux, !) Soit f une fonction dérivable sur [a, b]. On suppose que f⁰(a) < f⁰(b). Montrer que pour tout λ ∈]f⁰(a), f⁰(b)[, il existe un réel x0 ∈]a, b[ tel que f⁰(x₀) =λ. En déduire que la fonction partie entière n'admet pas de primitive.

Exercice 33. (♥)Soitf une fonction de classe C² sur [a, b]. Montrer qu'il existe un réelc∈]a, b[

tel que

f(a) +f(b)

2 =f

a+b 2

+(b−a)² 8 f⁰⁰(c).

On pourra faire intervenir la fonctionϕ : x7→f(x)−f(α)−(x−α)f⁰(α)−¹₂(x−α)²Ksur[a,^a+b₂ ]puis[^a+b₂ , b].

Exercice 34. (!)SoientI un intervalle deRetf : I →Rune fonction de classeC² etc∈]a, b[. Montrer qu'il existed∈]a, b[tel que

f(c) =f(a) + (c−a)f(b)−f(a)

b−a +(c−a)(c−b) 2 f⁰⁰(d).