Fonctions d’une variable réelle

Cours de mathématiques

Chapitre 1

Fonctions d’une variable réelle

Calvin and Hobbes , by Bill Waterson

Le mot fontion est emprunté sous la forme simpliée funion (1370) au latin funtio

"aomplissement, exéution" , en françaisourant.

Au 18ème Euler (1707-1783) propose l'idée qu'une suite de ourbes, don d'expressions,

représentait une fontion.

C'est Leibniz (1646-1716) qui utilise le mot fontion pour la première fois en mathéma-

tiques en 1673, mais la première dénition fut donnée par J.Bernouilli (1654-1705).

Pour le symbole

f (.)

^{, il a été introduit par Euler en 1734 dans} Commentarii Aademiae Sientiarum Petropolitanae.

1.

Rappels

1.1. Généralités

Définition 1 : Fonction

Une fonction f d’un ensemble I dans un ensemble J est un objet mathématique qui à tout élément de I associe un unique élément de J, noté f (x).

• L’ensemble I est l’ensemble de définition de f .

• Le nombre f (x) est l’image de x par la fonction f . C’est un élément de J .

• Le nombre x est un antécédent de f (x) par f .

Définition 2 : Domaine de définition

Soit f une fonction. Le domaine de définition est l’ensemble des éléments de

^R

pour lesquel la fonction f admet une image.

Théorème 1 : Ensemble de définition des fonctions usuelles

Polynômes

^R

1

x

^R

⋆ =] − ∞ , 0[ S

]0, + ∞ [

√ x

^R

⁺ = [0, + ∞ [

sin x

^R

cos x

^R

tan x S

k ∈

^Z

] − ^π ₂ + kπ, ^π ₂ + kπ[

ln x

^R

^+⋆ =]0, + ∞ [

e ^x

^R

1.2.

Limites

Théorème 2 : Limites des fonctions de référence Fonction x ^{k 1} _x √

x ln exp

0 0 ±∞ 0 −∞ 1

+ ∞ + ∞ 0 + ∞ + ∞ + ∞

−∞ ±∞ 0 0

Théorème 3 : Opérations sur les limites

Soient f et g deux fonctions réelles à une variable. On peut souvent déterminer la limite des fonction f + g, f g et ¹ _g en fonction des limites de f et g en un point ou en l’infini. Dans le tableau ci-dessous, l et l ^′ sont deux nombres réels. Les cas où l’on ne peut pas déterminer ainsi la limite de la nouvelle fonction sont indiqués par la mention F.I. qui signifie “forme indéterminée”.

Dans le second tableau, le signe s’obtient en utilisant les règles du signe d’un produit

de nombre relatifs.

f g f + g

l l ^′ l + l ^′

l

^ou

+ ∞ + ∞ + ∞

l

^ou

−∞ −∞ −∞

+ ∞ −∞

^F.I.

Limite de

f

^{Limite de}

g

^{Limite de}

f g

l l ^′ ll ^′

l 6 = 0 ∞ ∞

∞ ∞ ∞

0 ∞

^F.I.

Théorème 4 : Limite d’un polynôme en l’infini

Un polynôme a même limite en l’infini que son terme de plus haut degré.

Une fonction rationnelle (quotient de polynômes) a même limite en l’infini que le quotient des termes de plus haut degré.

Exerie résolu 1 :

Déterminer lalimite en

+ ∞

^de

f ( x ) = x ³ − x ²

^etde

g ( x ) = x ³ + 2 x

− 2 x ² + 1

^.

Solution :

lim

x 7→ + ∞ f(x) = lim

x 7→ + ∞ x ³ = + ∞

^.

x 7→ lim + ∞ g ( x ) = lim

x 7→ + ∞

x ³

x ² = lim

x 7→ + ∞

x

− 2 = −∞ .

Remarque : On peut aussi onlure sans le théorème. Il faut alors fatoriser le terme de

plus haut degré. Cela fait seulementplus de aluls.

Exerie résolu 2 :

Déterminer lalimite en l'inni de la fontion

f

^déniepar

f(x) = _7x ^{3x 3} _+2x ^{2 +5x} ₋₇ .

Solution : Sahantque

lim

x → + ∞ 3x ² + 5x = lim

x → + ∞ 7x ³ + 2x − 7 = + ∞

^{,onobtientapriori}

une formeindéterminée.Pour leverl'indétermination,onvafatoriserlenumérateur et

le dénominateur par leur terme de plus hautdegré. Pour

x 6 = 0

^,

f(x) = 3x ² (1 + _3x ⁵ )

7x ³ (1 + _7x ² − x ^{1 2} ) = 3

7 x × 1 + _3x ⁵ 1 + _7x ² − x ^{1 2}

.

On onstate alors que

x → lim + ∞ 1 + 5

3x = 1

x → lim + ∞ 1 + 2 7x − 1

x ² = 1

x → lim + ∞

3

7x = 0

Théorème 5 : Croissances comparées de ln à l’infini

Toute fonction puissance l’emporte sur la fonction logarithme népérien en l’infini et en zéro. Plus précisément,

x →+∞ lim x ⁿ

ln x = + ∞ ; lim

x → 0 x ⁿ ln x = 0

Théorème 6 : Croissances comparées de exp à l’infini

La fonction exponentielle l’emporte sur toute fontion puissance en l’infini. Plus pré- cisément,

x → lim + ∞

e ^x

x ⁿ = + ∞ ; lim

x → + ∞

x ⁿ

e ^x = 0 ; lim

x →−∞ x ⁿ e ^x = 0

1.3.

Dérivation

Théorème 7 : Fonctions dérivées usuelles

Les dérivées des fonctions usuelles sont données dans le tableau ci-dessous.

Fonction Dérivée Fonction Dérivée

k 1 e ^x e ^x

x ⁿ nx ^{n − 1} sin x cos x

√ x ₂ √ ¹

x cos x − sin x

ln x ¹ _x tan x _cos ¹ 2 x

Théorème 8 : Dérivées et opérations

Soient u et v deux fonctions dérivables sur un intervalle I de

^R

, k un nombre réel.

Alors

(u + v) ^′ = u ^′ + v ^′

(ku) ^′ = ku ^′ (uv) ^′ = u ^′ v + uv ^′

u v

_′

= ^{u ′ v} _v ⁻ 2 ^{uv ′} 1 u

_′

= − _u ^{u 2 ′}

Exerie résolu 3 :

Dériverhaune des fontions suivantes :

1

^.

f (x) = x ³ + 5x ² + 6x + 3

^.

2

^.

g(x) = 1

x ² + 5 x ³

^.

3

^.

h ( x ) = 3 x + 2

x ² + 4

^.

4

^.

i ( x ) = (2 x + 3) × cos x

^.

Solution :

1

^.

f

^{est une somme.On dérivehaun des termesde lafontion}

f

^.

f ^′ (x) = 3x ² + 5 × (2x) + 6 × 1 + 0 = 3x ² + 10x + 6

^.

Suite de la solution :

2

^{. On réerit lafontion}

g

^{sous une forme plus lassique.}

g(x) = 1 x ² + 5

x ³ = x ⁻² + 5x ⁻³ .

On dérive haun des termes de la somme puis on réerit la fontion

g

^{sous la}

formedonnée.

g ^′ (x) = − 2x ^{− 3} + 5 × ( − 3)x ^{− 4} g ^′ (x) = − 2

x ³ + − 15 x ⁴ 3

^.

h

^{est de laforme}

^u _v

^ave

u(x) = 3x + 2 u ^′ (x) = 3

v ( x ) = x ² + 4 v ^′ ( x ) = 2 x

Comme

u

v = ^{u ′ v} _v ^{− 2 v ′ u}

^{, on obtient:}

h ^′ (x) = 3 × ( x ² + 4) − (2 x )(3 x + 2) (x ² + 4) ²

h ^′ (x) = 3 x ² + 12 − 6 x ² − 4 x (x ² + 4) ² h ^′ (x) = − 3x ² + 8x

(x ² + 4) ² h ^′ (x) = x( − 3x + 8)

( x ² + 4) ²

4

^.

i

^{est de laforme}

u × v

^ave

u(x) = 2x + 3 u ^′ (x) = 2 v (x) = cos x v ^′ (x) = − sin x

Comme

u × v = u ^′ v + v ^′ u

^{, onobtient:}

i ^′ ( x ) = (2)(cos x ) + (2 x + 3)( − sin x ) i ^′ (x) = 2 cos x − (2x + 3) sin x

Théorème 9 : Dérivées et fonctions composées

Soient f et v deux fonctions dérivables sur un intervalle I de

^R

, k un nombre réel.

Alors

(u ⁿ ) ^′ = nu ^{n − 1} · u ^′ ( √

u) ^′ = u ^′

2 √

u

cos(u) ^′ = − u ^′ sin(u) sin(u) ^′ = u ^′ cos(u)

(e ^u ) ^′ = u ^′ e ^u (ln u) ^′ = ^u _u ^′

Exerie résolu 4 :

Dériverhaune des fontions suivantes :

1

^.

f (x) = (3x + 1) ⁵ 2

^.

g(x) = _(2x+1) ^{1 3} 3

^.

h ( x ) = cos (7 x + 2) 4

^.

i(x) = √

3x ² + 1

Solution :

1

^.

f

^{est de la forme}

u ⁿ

^ave

n = 5

^,

u(x) = 3x + 1

^,

u ^′ (x) = 3

^.

Comme

( u ⁿ ) ^′ = nu ^{n −1} u ^′

^{,on a}

f ^′ ( x ) = 5 × (3 x + 1) ⁴ × 3 = 15(3 x + 1) ⁴ . 2

^.

g

^{est de laforme}

u ⁿ

^ave

n = − 3

^,

u ( x ) = 2 x + 1

^,

u ^′ ( x ) = 2

^.

Comme

(u ⁿ ) ^′ = nu ^{n − 1} u ^′

^{,on a}

g ^′ (x) = − 3 × (2x + 1) ^{− 4} × 2 = _(2x+1) ^{−6 4} . 3

^.

h

^{est de laforme}

cos u

^ave

u ( x ) = 7 x + 2

^,

u ^′ ( x ) = 7

^.

Comme

[cos( u )] ^′ = − u ^′ sin( u )

^{,on a}

h ^′ ( x ) = − 7 sin(7 x − 2)

^.

4

^.

i

^{est de laforme}

√

u

^ave

u(x) = 3x ² + 1

^,

u ^′ (x) = 6x

^.

Comme

( √ u ) ^′ = u ^′ 2 √

u

^{, ona}

i ^′ ( x ) = 6 x 2 √

3x ² + 1

.

Théorème 10 : Dérivées et sens de variations

Soient f une fonction définie et dérivable sur un intervalle I de

^R

et f ^′ sa fonction dérivée. Alors

• si f ^′ > 0 sur I alors f est croissante sur I ;

• si f ^′ 6 0 sur I alors f est décroissante sur I .

Ainsi,pourétudierlesvariationsd'unefontion

f

^{,ilsutd'étudierlesignedesadérivée.}

Théorème 11 : extremum et dérivée

Soient f une fonction définie et dérivable sur un intervalle I de

^R

et f ^′ sa fonction dérivée.

f admet un extremum en x ₀ si et seulement si f ^′ s’annulle et change de signe en x ₀ .

1.4.

Droites remarquables

Définition 3 : Tangente à une courbe

Soit f une fonction dérivable en un point a. La tangente à la courbe représentative de f en a est la droite qui approxime le mieux la courbe au voisinage de ce point.

Théorème 12 : Coefficient directeur de la tangente

Si une fonction f est dérivable en un point a alors la tangente en a admet f ^′ (a) pour

coefficient directeur au point d’abscisse a.

Exerie résolu 5 :

Soit

f

^{lafontion déniepar}

f ( x ) = x ²

^.

Déterminer l'équationde la tangente aupoint d'absisse

3

^.

Solution : L'équation de la tangenteest de la forme

y = ax + b

^.

•

^{Calul de}

a

^:

f ^′ (x) = 2x

^d'où

f ^′ (3) = 6

^d'où

a = 6

^et

y = 6x + b

^.

•

^{Calul de}

b

^:

f (3) = 3 ² = 9

^{. Les oordonnées}

(3; 9)

^{vérient l'équation de la tangente, on a don}

9 = 6 × 3 + b

^soit

b = − 9

L'équation de la tangenteest

y = 6x − 9

^.

Théorème 13 : Équation de la tangente

Si une fonction f est dérivable en un point a alors la tangente en a admet pour équation :

y = f ^′ (a)(x − a) + f (a)

Exerie résolu 6 :

Déterminerl'équation de latangenteen

x = 3

^{à laourbe} réprésentativede la fontion

f (x) = x ²

^.

Solution :

f (x) = x ²

^don

f (3) = 9

^.

f ^′ (x) = 2x

^don

f ^′ (3) = 6

^.

L'équation de la tangenteen

x = 3

^{à laourbe} réprésentative de

f

^est

y = f ^′ (3)(x − 3) + f (3)

y = 6( x − 3) + 9 y = 6 x − 18 + 9 y = 6 x − 9

Pour la suite,

f

^{est une fontion dénie sur R ou sur un intervalle}

I

^{de R et}

C

est sa ourbereprésentative.

Définition 4 : Asymptote verticale Si il existe un nombre a dans I tel que

x lim → a f(x) = ±∞

alors on dit que la droite d’équation x = a est une asymptote verticale à la courbe

C .

Illustration :

a

Graphiquement, onobserve quela ourbe ne roise jamaisette droite, ellela

ontourne par l'inni.

Définition 5 : Asymptote horizontale Si il existe un nombre réel b tel que

x →±∞ lim f (x) = b

alors on dit que la droite d’équation y = b est une asymptote horizontale à la courbe C .

Illustration :

C _f b

Graphiquement, onobserve qu'au voisinagede l'inni,la ourbe serapprohe de ette

droite.

Définition 6 : Asymptote oblique

Si il existe deux nombres réels m et p tels que

x →±∞ lim f (x) − (mx + p)

= 0

alors on dit que la droite d’équation y = mx + p est une asymptote oblique à la courbe C . Graphiquement, on observe qu’au voisinage de l’infini, la courbe se rap- proche de cette droite.

Remarque: On peut onsidéreruneasymptotehorizontaleommeune asymptoteoblique

ave un oeient direteur nul.

Exerie résolu 7 :

Montrer que la droite d'équation

y = x + 2

^{est asymptote oblique à la ourbe de la}

fontion

f

^{dénie sur R}

^∗

^par

f ( x ) = x + 2 + _x ^{1 2}

Solution :

lim

x 7→±∞ f(x) − y = lim

x 7→±∞

1

x ² = 0

^don

C _f

admet une asymptote oblique d'équation

y = x + 2

^{auvoisinagede}

+ ∞

^{etau voisinage de}

−∞

^.

5

2 4

− 2

− 4

− 6

1.5. Positions relatives de deux ourbes

Définition 7 : Positions relatives

Etudier les positions relatives de deux courbes C _f et C _g de deux fonctions f et g, c’est indiquer sur quels intervalles :

• la courbe C _f est au-dessus de la courbe C _g ;

• la courbe C _f est en dessous de la courbe C _g ;

Méthode : Position relative

Pour étudier les positions relatives de deux courbes C _f et C _g de deux fonctions f et g, on étudie le signe de f (x) − g(x).

Si f (x) > g(x) alors C _f est au dessus de C _g .

Exerie résolu 8 :

Etudierlespositionsrelativesdesourbesassoiéesauxfontions

f ( x ) = x ³

^et

g ( x ) = x

^.

Solution : On étudiele signe de

f (x) − g (x)

^.

f (x) − g (x) = x ³ − x = x(x ² − 1) = x(x − 1)(x + 1).

x x x − 1 x + 1 f ( x ) − g ( x )

−∞ − 1 0 1 + ∞

− − 0 + +

− − − 0 +

− 0 + + +

− 0 + 0 − 0 +

Don

C _f

est audessus de

C _g

sur

[ − 1, 0] ∪ [1; + ∞ [

^{et en dessous sinon.}

On peut vérier e résultat en traant les représentations graphiques des deux ourbes

dans un repère.

1 2 3 4 5

− 1

− 2

− 3

− 4

− 5

1 2 3 4 5

− 1

− 2

− 3

− 4

− 5

1.6.

Parité et périodiité

Définition 8 : Fonction paire

f est une fonction paire si pour tout x ∈ D _f , on a − x ∈ D _f et f ( − x) = f(x).

Conséquene : La ourbe représentative de la fontion

f

^{est symétrique par rapport à}

l'axe des ordonnées

Illustration :

Définition 9 : Fonction impaire

f est une fonction impaire si pour tout x ∈ D _f , on a − x ∈ D _f et f( − x) = − f(x).

Conséquene : La ourbe représentative de la fontion

f

^{est symétrique par rapport au}

point

O(0; 0) Illustration :

Exerie résolu 9 :

On onsidère lafontion

f

^{dénie sur R par}

f (x) = x ³

x ² + 1

^{. Etudier laparité de}

f

^.

Solution : Le domainede dénition est R qui est symétrique par rapportà

0

^.

f ( − x ) = ( − x ) ³

( − x) ² + 1 = − x ³

x ² + 1 = − f ( x )

^.

Comme pour tout

x ∈ D _f

, on a

− x ∈ D _f

et

f ( − x) = − f (x)

^{alors la fontion est}

impaire.

Définition 10 : Fonctions périodiques

On dit qu’une fonction f définie sur D est périodique de période T si

∀ x ∈ D , x + T ∈ D et f (x + T ) = f (x)

Toutes les périodes sont des multiples de la plus petite période qui est appelée la période.

Théorème 14 : Périodes des fonctions périodiques les plus usuelles Fonction Période

sin ωx ^2π _ω cos ωx ^2π _ω tan ωx ^π _ω

2. Fontions ontinues

2.1. Dénition

Définition 11 : Continuité en un point

Soit f une fonction définie sur un intervalle I .

On dit que f est continue en x ₀ , si f est définie sur un intervalle ouvert contenant x ₀ et si lim

x 7→ x 0

f (x) = f(x ₀ )

Remarque : Pour la plupart des ourbes onnues, on a ontinuité en tout les points. Les

as qui posent problèmesont eux pour lesquelslalimite de lafontionen

x ₀

^{n'estpas la}

même à gauhe qu'àdroite.

Graphiquement,laontinuité d'une fontionsearatérise parune ourbeontinue, 'est

à dire que l'on n'a pas à lever le rayon pour la traer.

Illustration :

x ₀

f(x ₀ )

b

x ₀

f ontinue en

x ₀

^{f non ontinue en}

x ₀

ar

lim

x → x 0 x < x 0

f ( x ) 6 = lim

x → x 0 x > x 0

f ( x )

Définition 12 : Continuité à droite, à gauche

On dit que la fonction du deuxième exemple est continue à droite en x ₀ , car lim

x → x 0 x > x 0

f (x) = f (x ₀ ). Cette fonction n’est pas continue à gauche puisque lim

x → x 0 x < x 0

f (x) 6 = f (x ₀ )

Analytiquement, ('està direpar lealul), pour montrer laontinuité d'une fontionen

un point

x ₀

^{, il faut montrer l'égalité de la limite à gauhe en}

x ₀

^{et la limite à droite en}

x ₀

^.

Exerie résolu 10 :

Soit

f

^{lafontion déniepar}

f :

( x

2x − 1

^si

x > 1 x

^si

x < 1 1

^{. Traer la} prepésentation graphiquede

f

^.

2

^.

f

^{est-elle ontinue en 1?}

Solution :

1

^.

1 2 3 4

− 1

− 2

− 3

− 4

− 5

1 2 3 4

− 1

− 2

− 3

− 4

− 5

2

^.

• lim

x → 1 x > 1

f(x) = lim

x → 1 x > 1

x

2 x − 1 = lim

x → 1 x < 1

1

2 × 1 − 1 = 1

• lim

x → 1 x < 1

f(x) = lim

x → 1 x < 1

x = 1

La fontion est ontinue puisque

lim

x → 1 x < 1

f ( x ) = lim

x → 1 x > 1

f ( x ) = f (1)

Définition 13 : Continuité sur un intervalle

On dit que f est continue sur I si elle est continue en chaque point de I .

On dit que f est continue par morceaux sur I si elle est admet en chaque point où

elle est discontinue une limite finie à gauche et une limite finie à droite.

Illustration :

1

0 2

x ₀

f ontinue parmoreaux sur

[0; 2[

f :

cos x

^si

x ∈ [0; 1[

cos( x − 1)

^si

x ∈ [1; 2[

f non ontinue par moreaux sur

[ a ; b ]

^{ar n'admet pas de limite}

nie àgauhe en

x ₀

^.

Exemples :

La fontion partieentière est ontinue par moreaux sur R.

La fontion pop-ornest disontinue en tout point de R.

f :

1

^si

x = ^p _q

0

^sinon

x ∈ [1; 2[

2.2.

Propriétés

Théorème 15 : Opération sur les fonctions continues Si f et g sont deux fonctions continues sur I , alors :

• f + g, f g, λf sont continues sur I .

• 1

g est continue en tout point de I où g ne s’annulle pas.

Remarque:Lesfontionspolynomes,

ln

^,

exp

^,

cos

^,

sin

^,

tan

^{,ainsiquetoutesellesobtenues}

par

+ , − , ×

^{àpartir de elles-i, sontontinues sur leur domainede dénition.}

Exerie résolu 11 :

Montrer que la fontion

f

^déniepar

f(x) = (2x + 1)e ^6x+2

^{est ontinue.}

Solution :

f

^{est obtenue par ompositiondes fontions}

2x + 1

^,

exp

^,et

6x + 2

^{qui sont}

ontinues, don

f

^{est ontinue.}

Théorème 16 : théorème des valeurs intermédiaires

L’image d’un intervalle par une fonction continue est un intervalle.

Autrement dit, si une fonction f est continue sur un intervalle contenant les deux

valeurs a et b, elle prend toutes les valeurs comprises entre f (a) et f (b) (elle peut

évidemment en prendre d’autres)

Illustration :

a

f (a)

b f ( b )

λ

f

^{est ontinue sur}

[ a ; b ]

^don

f

^{prend aumoins toutes lesvaleursomprises entre}

f ( a )

et

f (b)

^.

Autrement dit, pour tout

λ

^variantdans

[f (a); f(b)]

^{, l'équation}

f (x) = λ

^{admet au}

moinsune solution.

Dans l'exemple,la fontion prendmême d'autres valeurs (partiesituée en dessous de

la droite d'équation

y = f(a)

^.

Mais sila fontion n'est pas ontinue, onpeut avoirle as suivant pour lequel

λ ∈ [f (a); f (b)]

^{sans que l'équation}

f (x) = λ

^{n'admette de solution :}

a

f (a)

b f(b)

x ₀ λ

Remarques :

•

^{e théorème assure l'existene d'une solution sans en donner sa valeur. On verra au}

prohain hapitre des méthodes algorithmiques permettantd'obtenir une approxiation

aussi ne que l'on veut de lasolution.

•

^{L'image par une fontion ontinue d'un intervalle fermé est un intervalle fermé. Par}

Théorème 17 : Cas particulier :

Si une fonction continue change de signe dans un intervalle, elle s’annule sur cet intervalle.

Dit autrement, si f est continue sur [a; b] et si f (a)f (b) < 0 alors l’équation f (x) = 0 admet au moins une solution dans [a; b].

Remarque : Si la fontion est stritement monotone sur l'intervalle, alors ette solution

est unique.

2.3.

Appliation : Résolution d'une équation par dihotomie

Remarque : Enalgorithmique,ladihotomie("ouperen deux" en gre) est un proessus

itératif ou réursif de reherhe où, à haque étape, l'espae de reherhe est restreint à

l'une des deux parties.

Méthode : Dichotomie

Si une fonction continue est telle que f (a)f (b) < 0, cela signifie qu’elle s’annule entre a et b.

Dans ce cas, on calcule l’image de c = ^a+b ₂ . Si f (c)f(a) < 0, alors la fonction s’annule entre a et c et on remplace b par c, sinon on remplace a par c.

On réitère le procédé jusqu’a obtenir un encadrement assez fin.

Illustration :

Résolutiond'une équation par dihotomie.

a

b

-1 0 1 2 3 4 5

c ₁ = a + b c ₂ = a + c ₁ 2

2

On présenteles résultatssous la formesuivante :

f

^{est ontinue sur}

[ a ; b ] f ( a ) f ( b ) < 0

T.V.I

= ⇒ f

^{s'annuleentre}

a

^et

b

En réitérant leproédé, onobtientsuessivement :

a f (a) b f (b) ₂ f ( ₂ ) . . . 6 α 6 . . .

Etape1

Etape2

.

.

.

.

.

. .

.

.

.

.

. .

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

Remarque : Leplus diiledans e genre de problème est de trouver un test d'arrêt(on

peut toujours au début aher les résultats intermédiaires et arrêter manuellement). La

vitesse de et algorithme très simple est meilleureque l'on pourrait roirear l'intervalle

diminuantde moitié à haque passage, il diviseenviron par 1000 en 10 passages puisque

2 ¹⁰ = 1024

^{,equifaitquesionveutunepréisionde10hires,unetrentaine}d'opérations seulement est néessaire.

L'algorithme assoiéà ette méthode est très ourt :

Data :

f

^{: funtion,}

a

^,

b

^{, préision:}

c

^{real number}

begin

Input :

f, a, b,

^préision

while

(b − a) >

^{préision do}

if

f (a)f(c) < 0

^then

b ← c

^;

else

a ← c

^;

endif

endwhile

Output :

a

Output :

b

end

3.

Fontion réiproques

3.1.

Généralités

Définition 14 : Bijection soit I et J deux intervalles.

on dit qu’une application f définit une bijection de I sur J lorsque f vérifie les deux conditions suivantes :

• pour tout réel x de I , le réel f (x) ∈ J .

• pour tout réel y ∈ J , l’équation f (x) = y admet une et une seule solution.

Remarque: Danslapratique,onne herhe pasàsavoirsil'équation

f (x) = y

^admetune

unique solution pour tout

y

^de

J

^{. On utilise lethéorème suivant :}

Théorème 18 :

Soit f une fonction.

Remarque : Ce théorème, omme le Théorèmes des valeurs intermédiaires,assure l'exis-

tened'unesolutionmaisequ'ilfaitdemieux,'estqu'ilindiquelenombrede solutions:

une seule.

Définition 15 : fonction réciproque soit f une bijection de I sur J .

A tout y de J , on peut associer le x de J tel que f(x) = y. on définit ainsi une nouvelle fonction de J sur I appellée fonction réciproque de f et notée f ^{− 1}

Exemples :

• f : x 7→ x ²

^{réalise une bijetion de}

I = [0; + ∞ [

^sur

J = [0; + ∞ [

^don

f

^admet

une fontion réiproque dénie de

J = [0; + ∞ [

^sur

I = [0; + ∞ [

^{. C'est la fontion}

f ^{− 1} : x 7→ √

x

^.

• f : x 7→ ln x

^{réalise une bijetion de}

I = [0; + ∞ [

^sur

J =] − ∞ ; + ∞ [

^don

f

^admet

une fontion réiproque dénie de

J =] − ∞ ; + ∞ [

^sur

I = [0; + ∞ [

^{. C'est la fontion}

f ^{− 1} : x 7→ exp x

^.

Remarque : Graphiquement, la ourbe de la fontion réiproque

f ^{− 1}

^{d'une fontion}

f

s'obtient en appliquant une symétrie d'axe la droite d'équation

y = x

^{. C'est le as, par}

exemple,pourlesfontionslogarithmeetexponentiellesurR,oùenorepourlesfontions

arré et rainearrée sur

[0; + ∞ [

^.

Illustration :

1 2 3

− 1

− 2

− 3

1 2 3

− 1

− 2

− 3

y = x

y = e ^x

y = ln x

0 1

0 1

y = x

y = x ²

y = √ x

fontion

exp

^et

ln

^fontion

x ²

^et

ln x

3.2.

Fontion irulaire réiproque

Définition 16 : Arccos

La fonction cosinus est continue et strictement décroissante sur l’intervalle [0; π]. Elle

admet donc sur cet intervalle une fonction réciproque définie sur [ − 1; 1]. Cette fonc-

tion est appelée arc cosinus et notée arccos ou parfois cos ^{− 1} .

1 2 3

− 1

1 2 3

− 1

y = x

y = cos x y =

ar cc os

x

Définition 17 : Arcsin

La fonction sinus est continue et strictement croissante sur l’intervalle [ − ^π ₂ ; ^π ₂ ]. Elle ad- met donc sur cet intervalle une fonction réciproque définie sur [ − 1; 1]. Cette fonction est appelée arc sinus et notée arcsin ou parfois sin ^{− 1} .

1

− 1

− 1 1

y = x

y = sin x y = ar cs in x

Définition 18 : Arctan

La fonction tangente est continue et strictement croissante sur l’intervalle ] − ^π ₂ ; ^π ₂ [. Elle

admet donc sur cet intervalle une fonction réciproque définie sur

^R

. Cette fonction

est appelée arc tangente et notée arctan ou parfois tan ^{− 1} .

1 2 3 4

− 1

− 2

− 3

− 4

1 2 3 4

− 1

− 2

− 3

− 4

y = x y = ta n x

y = arctan x

Ces trois fontions sont souvent utiles lors des reherhes de primitives. Il est don im-

portant de onnaitre leurs dérivées.

Théorème 19 : Dérivées des fonctions trigonométriques circulaires Les dérivées des fonctions circulaires réciproques sont

pourtout

x ∈ ] − 1; 1[, (arccos x) ^′ = − 1

√ 1 − x ²

pour tout

x ∈ ] − 1; 1[, (arcsin x) ^′ = 1

√ 1 − x ²

pour tout

x ∈

^R

, (arctan x) ^′ = 1 1 + x ²

Preuve. Pour tout

x

^de

[ − 1; 1]

^{, ona}

sin(arcsin(x)) = x

^.

En dérivant les deuxmembres, on obtient :

arcsin(x) ^′ × cos(arcsin(x)) = 1

^d'où

arcsin(x) ^′ = 1

cos(arcsin(x))

^.

Comme

cos(arcsin(x)) = p

1 − sin ² (arcsin(x)) = √

1 − x ²

^{,on obtient lerésultat herhé.}

Les démonstrations sont similairespour

arccos(x) ^′

^et

arctan(x) ^′ Théorème 20 : Dérivées composées des fonctions trigonométriques circulaires

La formule générale sur les dérivées de fonctions composées implique que : [arccos(u(x))] ^′ = − u ^′ (x)

p 1 − u ² (x) [arcsin(u(x))] ^′ = u ^′ (x)

p 1 − u ² (x) [arctan(u(x))] ^′ = u ^′ (x)

1 + u ² (x)

Exerie résolu 12 :

Déterminer ladérivée de haune des fontions suivantes :

1

^.

f ( x ) = arccos(5 x + 2) 2

^.

g ( x ) = arctan( x ³ )

Solution :

1

^.

f

^{est de la forme}

arccos(u)

^ave

u(x) = 5x + 2 u ^′ ( x ) = 5

Comme

[arccos(u(x))] ^′ = − u ^′ (x) p 1 − u ² (x)

, onobtient :

f ^′ ( x ) = − 5 p 1 − (5 x + 2) ² 2

^.

g

^{est de laforme}

arctan( u )

^ave

u ( x ) = x ³

u ^′ (x) = 3x ²

Comme

[arctan(u(x))] ^′ = u ^′ ( x )

1 + u ² (x)

^{,on obtient :}

g ^′ (x) = 3x ²

1 + x ⁶

4.

Exeries

Révisions sur les fonctions

1.1

^{On onsidère lafontion}

f

^{dénie sur R par}

f (x) = 1 x ² + x + 1

^.

1

^.

a

^{. Résoudre l'équation}

x ² + x + 1 = 0

^.

b

^{. Expliquer} l'intervallede dénition de

f

^.

2

^.

a

^{. Déterminerles limitesde}

f

^en

+ ∞

^et

−∞

^.

b

^{. Quelle(s)} asymptote(s) peut-on en déduire pour la ourbe?

3

^.

a

^{. Calulerla dérivée}

f ^′

^{de la fontion}

f

^.

b

^{. Etudier lesigne de}

f ^′

^.

c

^{. Endéduire letableau de variation de}

f

^.

4

^{. Justier que lafontion}

f

^{admet un extremum. Préiser le.}

5

^{. Déterminer l'équationde la tangente aupoint d'absisse}

0

^.

1.2

^Soit

f

^{lafontion dénie sur}

]0 ; + ∞ [

^par

f(x) = (ln x) ² − 3 ln x + 2.

1

^.

a

^{. Montrer que :}

f ^′ ( x ) = 2 ln x − 3

x

^où

f ^′

^{désignela fontion dérivée de}

f

^.

b

^{. Étudier lesigne de}

f ^′ (x)

^{selon lesvaleurs de}

x

^.

c

^{. Dresser le tableau de variations de}

f

^sur

]0 ; + ∞ [

^{.(On ne demande pas la}

valeur des limites en 0 et

+ ∞

^).

2

^{. Calulerune équationde latangente àla ourbe de}

f

^{aupointd'absisse 1.}

3

^.

a

^{. Résoudre dans R l'équation d'inonnue}

X

^:

X ² − 3X + 2 = 0.

b

^{. Endéduire lessolutions exates dans}

]0 ; + ∞ [

^{de l'équation:}

f(x) = 0

^.

c

^{. Déduire, des questions} préédentes, le signe de

f(x)

^lorsque

x

^{varie dans l'in-}

tervalle

]0 ; + ∞ [

^.

1.3

^{On onsidère lafontion}

f

^{déniepourtout nombre réel}

x

^par

f (x) = −

^e

^2x + x + 3.

Onappelle(

C

)laourbereprésentativedelafontion

f

^{dansunrepèreorthogonal}

( O ; ~

i

,~

^j

)

^,

unités graphiques : 3 msur l'axe des absisses et1 msur l'axe des ordonnées.

1

^.

a

^{. Étudier lalimite de la fontion}

f

^en

+ ∞

^.

b

^{. Étudier lalimite de la fontion}

f

^en

−∞

^.

c

^{. Montrer que la droite}

∆

^d'équation

y = x + 3

^{est asymptote à la ourbe (}

C

⁾

en

−∞

^.

d

^{. Étudier laposition de la ourbe (}

C

^{) par rapportà ladroite}

∆

^.

2

^.

a

^{. Caluler}

f ^′ (x)

^{pour tout nombre réel}

x

^.

b

^{. Étudier lesigne de}

f ^′ (x)

^{pour tout nombre réel}

x

^.

c

^{. Dresser le tableau de variationsde la fontion}

f

^{. (Donner la valeur exate de}

son maximum.)

1.4

^{Ba, problème,juin 2007, 11 points.}

Soit

f

^{lafontion dénie sur} l'intervalle

] 0 ; + ∞ [

^par

f(x) =

^e

^x ln x +

^e

x

x .

On appelle

C

laourbereprésentativede lafontion

f

^{dans un repèreorthogonal}

(O; ~

i

,~

^j

)

d'unités graphiques

4

^{msur l'axe des absisses et}

1

^{msur l'axe des ordonnées.}

Partie A – Étude aux bornes de l’intervalle 1

^{. Déterminer lalimite de}

f

^en

+ ∞

^.

2

^.

a

^{. Montrerquepourtout nombreréel stritementpositif}

x

^,

f ( x ) =

^e

x

x ( x ln x + 1)

^.

On rappelleque

lim

x → 0 x ln x = 0

^{.En déduirela limite de}

f

^en

0

^.

b

^{. Montrer que laourbe}

C

admet une asymptote

D

^{donton donnera une équa-}

tion.

Partie B – Étude d’une fonction auxiliaire

Soit

g

^{la fontion déniesur l'intervalle}

] 0 ; + ∞ [

^par

g ( x ) = ln x + 2

x − 1 x ² 1

^.

a

^{. On désigne par}

g ^′

^{ladérivée de la fontion}

g

^.

Montrerque,pour toutnombreréelstritementpositif

x

^,

g ^′ (x) = x ² − 2x + 2 x ³

^.

b

^{. Étudierlesignede}

g ^′ ( x )

^{.Endéduirequelafontion}

g

^{eststritementroissante}

sur l'intervalle

] 0 ; + ∞ [

^{. L'étude des limites n'est pas demandée.}

2

^.

a

^{. Démontrer que l'équation}

g ( x ) = 0

^{admet une solution unique}

α

^{dans l'inter-}

valle

1 2 ; 1

.

b

^{. Donner un enadrement} d'amplitude

10 ^{− 2}

^de

α

^.

3

^{. Déduire des questions B}

₁

^{et B}

₂

^{le signe de}

g(x)

^{, pour}

x

appartenant à l'intervalle

] 0 ; + ∞ [

^.

Partie C – Variations de f et courbe associée

1

^.

a

^.

f ^′

^{désignantladérivée de}

f

^,aluler

f ^′ (x)

^etmontrerque

f ^′ (x) =

^e

^x g (x)

^,pour

tout nombre

x

appartenant àl'intervalle

] 0 ; + ∞ [

^.

b

^{. Endéduire lesigne de}

f ^′ (x)

^sur l'intervalle

] 0 ; + ∞ [

^.

2

^.

a

^{. Dresser le tableaude variationsde lafontion}

f

^.

b

^{. Calulerune valeurapprohée à}

10 ^{− 1}

^{près de}

f (α)

^{,en prenant}

0, 6

^pourvaleur

approhée de

α

^.

3 a

b

^{. Construire} l'asymptote

D

^{et la ourbe}

C

pour

x

appartenant à l'intervalle

] 0 ; 2, 5 ]

^.

1.5

^{On onsidère lafontion}

f

^{dénie sur}

[0; 2π]

^par

f : x 7→ 2 cos ² x − 2 cos x − 1

^.

Partie A – Étude de la fonction f

1

^.

a

^{. Montrer que ladérivée de}

cos ² x

^est

− 2 sin x cos x

^.

b

^{. Déterminerla dérivée}

f ^′

^{de la fontion}

f

^.

2

^.

a

^{. Vérier que}

f ^′ (x) = 2 sin x(1 − 2 cos x).

b

^{. Etudier lesigne de}

f ^′

^{eten déduirele tableaude variationde lafontion}

f

^.

Partie B – Représentation graphique

1

^{. Montrer que}

f

^est

2 π

périodique. Qu'en déduit-on pour laourbe de

f

^?

2

^{. Montrer que}

f

^{est paire. Qu'endéduit-on pour laourbede}

f

^?

3

^.

a

^{. Déterminer les absisses des points} d'intersetion de

C _f

ave l'axe

(Ox)

^sur

[ − π ; + π ]

^.

b

^{. Endéduire toutes lesabsisses des points où}

C _f

reoupe

(Ox)

^.

4

^{. Traer}

C _f

dans un repère orthonormal

(O; ~

i

,~

^j

)

^{d'unité 1m.}

1.6

^{On onsidère lafontion}

f

^{dénie sur}

[0; 2π]

^par

f (x) = 3 sin ² x + 4 cos ³ x

^.

1

^.

a

^{. Déterminerla dérivée de}

sin ² x

^.

b

^{. Déterminerla dérivée de}

cos ³ x

^.

c

^{. Endéduire ladérivée de}

f

^.

d

^{. Vérier que}

f ^′ (x) = 6 sin x cos x(1 − 2 cos x)

^.

2

^{. Étudier lesigne de}

f ^′

^sur l'intervalle

[0; 2 π ]

^.

3

^{. Traer le tableaude variationde}

f

^sur

[0; 2 π ]

^.

4

^{. Préiser etjustier les extremums que}

f

^admet.

5

^{. Traer la} représentation graphique de la fontion

f

^sur l'intervalle

[0; 2π]

^{. (Unités}

graphiques : 2 mpour une unité sur haque axe).

Continuité

1.7

^Soit

f

^{lafontion dénie par}

f(x) = x ²

^si

x ∈ [0; 1[

f périodique de période 1

1

^. Représenter

f

graphiquementdansunrepère

(O; ~

i

,~

^j

)

orthonormald'unité1mpour

x ∈ [ − 3; 3]

^.

2

^.

f

^{est-elleontinue en 1? Justier.}

3

^{. Donner toutes les valeurs en lesquelle}

f

^{n'est pas ontinue.}

4

^{. Donner le plus grand intervallesur lequel}

f

^{est ontinue.}

5

^.

f

^{est-elleontinue par moreaux? Justier.}

1.8

 



 



u(t) = t 0 6 t < 1 u ( t ) = 2 − t

^si

1 6 t 6 2 u(t) = 0

^si

2 < t < 3 u

^{est périodique de période 3}

La fontion

u

^{est -elleontinue sur}

[0; + ∞ [

^{? justier.}

1.9

^{On appellefontionéhelonunité oufontionde Heavisidelafontion}

U

déniepar

U ( x ) :

U ( x ) = 0

^si

x < 0 U (x) = 1

^si

x ≥ 0 1

^. Représenter graphiquementla fontion

U

.

2

^{. Est-elle ontinue sur R? Justier.}

3

^. Représenter graphiquement la fontion dénie par

f ( t ) = ( t ² − 1) U ( t )

^{pour tout}

t ∈

^R

4

^{. Étudier laontinuité de}

f

^en

t = 0

^.

1.10

^Soit

f

^{lafontion dénie par}

f ( x ) = x U ( x ) − x U ( x − 1) − U ( x − 2)

^.

1

^{. Déterminer} expliitement

f

^{pour haun des} intervalles

] − ∞ ; 0[

^,

[0; 1[

^,

[1; 2[

^,

[2; + ∞ [

^.

2

^. Représentergraphiquementlafontion

f

^{dansunrepère}

(O; ~

i

,~

^j

)

orthonormald'unité 1 m.

3

^{. Étudier laontinuité de}

f

^{en 0,1,2.}

4

^{. Que peut-on dire de}

f

^{sur R?}

1.11

^Soit

f

^{lafontiondéniepar}

f(x) = x U (x) − 2(x − 1) U (x − 1) + (x − 2) U (x − 2)

^.

1

^{. Déterminer} expliitement

f

^{pour haun des} intervalles

] − ∞ ; 0[

^,

[0; 1[

^,

[1; 2[

^,

[2; + ∞ [

^.

2

^. Représentergraphiquementlafontion

f

^{dansunrepère}

( O ; ~

i

,~

^j

)

orthonormald'unité 1 m.

3

^{. Étudier laontinuité de}

f

^{en 0,1,2.}

4

^{. Que peut-on dire de}

f

^{sur R?}

1.12

^{on onsidère la fontion}

f

^{dénie sur R, paire, périodique de période}

π

^{, telle que}

f (t) = 2

π t

^{pour tout}

t ∈ h 0; π

2 i

.

1

^{. Traersa}représentationgraphiquedans unrepèreorthogonalsur

[ − 2π; +2π]

^(unité

1 m pour

π

2

^{en absisse, et 1 mpour une unitéen ordonnée).}

2

^{. Étudier laontinuité de}

f

^en

0

^{et en}

π 2

^.

1.13 f

f(x) = x − 1 + e ^{− x}

^si

0 6 x 6 1

1.14

^Soit

f

^{lafontion numérique déniesur R par}

f(x) = x − 1

^si

x ≤ 1

f ( x ) = x ² − 2 x + a

^pour

x > 1

Déterminer lavaleur de

a

^{pour que lafontion soitontinue pour}

x = 1

^.

Théorème des valeurs intermédiaires

1.15

^On s'interresse à l'équation

ln x + x = 0

^.

1

^{. Justier que la fontion}

f : x 7→ ln x + x

^{est ontinue sur un intervalle que l'on}

déterminera.

2

^{. Montrer que l'équation}

ln x + x = 0

^{admet au moins une solution dans} l'intervalle

[ 1 e ; 1]

^.

3

^{. Étudier les variations de la fontion}

f

^{dénie par}

f ( x ) = ln x + x

^sur

[ 1

e ; 1]

^{et en}

déduire queette solution est unique.

1.16

^{On veut étudierle signede}

f ( t ) = ln(3 e ^{− t} − 1)

^{sur l'intervalle}

] − ∞ ; 1] .

^{pour ela :}

1

^{. Justier que}

f

^{est ontinue sur}

I

^.

2

^{. Résoudre dans}

I

^l'équation

f (t) = 0

^.

3

^{. Caluler}

f (0)

^{et onlure en justiant.}

1.17

^{On sepropose de résoudre par dihotomiel'équation}

2 x ³ − 3 x ² + 6 x + 17 = 0

^.

1

^{. On désigne par}

f

^{lafontion déniesur R par}

f ( x ) = 2 x ³ − 3 x ² + 6 x + 17

^.

Étudier lesvariationsde

f

^{. (limites,dérivée, tableau.)}

2

^{. En déduirequel'équation}

2x ³ − 3x ² + 6x + 17 = 0

^{admet une unique solution(que}

l'on notera

α

^{) dans} l'intervalle

] − 2; − 1[

^.

3

^.

a

^{. Déterminerle entre, noté}

c

^{, de l'intervalle}

[ − 2; − 1]

^.

b

^{. Caluler}

f (c)

^.

c

^.

α

appartient-ilà

[ − 2; c]

^ou

[c; − 1]

^.

4

^{. Reprendre la question préédente ave l'intervalle obtenu et en déduire un nouvel}

enadrement de

α

^.

5

^{. Répeter la méthode jusqu'a obtenirun enadrement de}

α

^à

10 ⁻³

^près.

On présentera lesrésultats sous la formed'un tableau:

intervallede départ:

[a; b] = [ − 2; − 1]

a f ( a ) b f ( b ) ^a+b ₂ f ( ^a+b ₂ ) . . . 6 α 6 . . .

Etape 1

− 2 − 1

Etape 2

.

.

.

.

.

. .

.

.

.

.

. .

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

6

^{. Erire un algorithmedu proédé.}

1.18

^{On onsidère lafontion}

f

^{dénie sur R par}

f ( x ) = 2 x ³ − 9 x ² + 12 x − 6

^.

1

^{. Montrer que l'équation}

f ( x ) = 0

^{admet aumoins une solutionsur} l'intervalle

[2; 3]

^.

2

^{. Déterminer par dihotomieune} approximationà

10 ^{− 2}

^{près de lasolution.}

1.19

^{Résoudre par dihotomiehaune des équations suivantes.}

On herhera graphiquement une approximation entre deux entiers onséutifs de la so-

lution eton présentera les étapes sous la formed'un tableau.

On donnera une approximation à

10 ^{− 2}

^{près de lasolution.}

x ³ − 3 x ² + 3 x − 6 = 0 ; 1

3 x ³ − x − 1 = 0

Fonction réciproque

1.20

^{Pour tout}

x > 0

^{, onpose}

f ( x ) = 4 + ln x − 2 x ²

^.

1

^{. Etudier lesvariationsde}

f

^.

2

^.

f

^{admet-elleune fontionréiproquesur}

]0; + ∞ [

^{? Justier.}

3

^{. Prouver quel'équation}

f(x) = 0

^{admet une solution unique sur}

]0 ; 1 2 ]

^.

4

^{. Donnerunevaleurapprohéeà}

10 ^{− 2}

^{prèsde ettesolution.(Indiquerlesétapesdans}

un tableau).

1.21

^Soit

f

^{lafontion dénie sur R par}

f (x) =

^e

^{x 2 − 1}

^.

1

^{. Etudier lesvariationsde}

f

^.

2

^{. Traer sa ourbe} représentative

C _f

.

3

^.

f

^{admet-elleune fontionréiproquesur R? justier.}

4

^{. Trouver un intervalle où}

f

^{admette une fontionréiproquenotée}

f ^{− 1}

^.

5

^{. Traer sur le même graphique la ourbe de}

f ⁻¹

^{et exprimer}

f ⁻¹ ( x )

^{en fontion de}

x

^.

1.22

^Soit

f

^{lafontion dénie sur}

D _f =

^R

− { 5 }

^par

f ( x ) = x + 1 x − 5

^.

1

^{. Montrer que}

f

^{réalise des bijetionsque l'on préisera.}

2

^{. Déterminer lafontion réiproque de}

f

^.

3

^.

f

réalise-t-elleune bijetion de

D _f =

^R

− { 5 }

^sur

]1; + ∞ [

^{? Justier.}

1.23

^{On onsidère lafontion dénie par}

f(x) = ln(1 − ln x)

^.

1

^{. Déterminer l'ensemble}

D _f

de la fontion

f

^.

2

^{. Étudier lesvariationsde}

f

^.

3

^{. Montrer que}

f

^{est une bijetion de}

D _f

sur une partiede R quel'on déterminera.

4

^{. Expliiter} l'appliationréiproquede

f

^.

1.24

^{On onsidère lafontion dénie par}

f ( x ) =

^e

x +

^e

^{− x}

1

^{. Déterminer l'ensemblede dénition}

D _f

de lafontion

2 f

^.

2