Chapitre 8 – TD 1 Analyse continue 4
Primitives et Intégrales
A la fin de ce chapitre, vous devez être capable de :
• Calculer une intégrale de fonctions polynomes, exponentielles ou trigonométriques.
8.1 Calculer la valeur de chacune des intégrales suivantes : I1 =Z
2
−3
(x−1)dx. I2 =Z
3
−1
(x+ 1)dx. I3 =Z
2 0
(3x2+ 5x−4)dx.
I4 =Z
5 2
1
(2x2−6x+ 7)dx. I5 =Z 3
2
(x+1
x)dx. I6 =Z 3
1
(x− 2 x+ 1
x2)dx.
I7 =Z 2
1
2
2x+ 1dx. I8 =Z 1
−4
4
−x+ 3dx. I9 =Z
√3
−√ 3
4x x2+ 1dx.
I10=Z
e
1
2 lnx
x dx. I11=Z 1
−1
(2ex+ 1)dx. I12=Z 1
0
[(2x+ 1)ex2+x]dx.
I13=Z
3 1
5
x2+ 1dx. I14=Z
π 2
π 4
(sin 3x+ 2 cos 2x)dx. I15=Z
1
0 − 2
√1−x2dx.
8.2 Dans chacun des cas suivants, déterminer une primitive de la fonction à intégrer puis calculer l’intégrale donnée.
1. Z 2
1
xex−2 x dx.
2. Z 1
0
x3 x4+ 1 dx.
3. Z e
1
(1 + lnx)2
x dx.
4. Z 1
0
2t−1 t2−t+ 1 dt.
8.3 Soitf la fonction définie sur R parf(x) = 14(2xsin 2x+ cos 2x) 1. Montrer quef′(x) =xcos 2x.
On considère les intégrales suivantes I =Z
π 4
0
xcos2xdx etJ =Z
π 4
0
xsin2xdx 2. En utilisant des formules trigonométriques, calculer I+J etI−J.
3. En déduireI etJ.
8.4 Soitf la fonction définie sur R parf(x) = (x+ 2)e3x 1. Déterminer une primitive def sous la forme (ax+b)e3x 2. En déduire la valeur de I =Z 1
0
f(x)dx.
8.5 Soitf la fonction définie sur R parf(x) = (cos(2x) + sin(2x))e3x 1. Déterminer une primitive def sous la forme [Acos(2x) +Bsin(2x)] e3x 2. En déduire la valeur de I =Z
π 2
0
f(x)dx.
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Chapitre 8 – TD 2 Analyse continue 1
Fonctions d’une variable réelle
A la fin de ce chapitre, vous devez être capable de :
• Calculer un volume, une aire, une valeur moyenne par le biais d’une inté- grale.
8.6 On considère la fonctionf définie sur l’intervalle [0;π] par f(x) = sinx.
1. Tracer la courbe représentative de f dans un plan muni d’un repère orthonormal(unité graphique : 2 cm).
2. Calculer l’aire, en cm2, de la partie du plan délimitée par l’axe des abscisses et la courbe C.
8.7 Soit f la fonction définie sur R par f(x) = x−2 + 2e−x et C sa courbe représentative dans un repère orthonormal d’unité graphique 2 cm.
1. Étudier les variations def. Préciser les limites de f en +∞ et en −∞.
2. Montrer que la droite (D) d’équationy=x−2 est asymptote à C et préciser la position relative deC et de (D).
3. Tracer C et (D).
4. Soit b un réel tel que b >2. Calculer, en cm2, l’aire A(b) de la partie du plan délimitée par les droites d’équation x= 0, x=b, la droite (D)et la courbeC.
8.8 Soitf la fonction définie sur R parf(x) =x√ 1 +x2
1. Étudier ses variations et tracer sa courbe représentative dans un repère orthonormal(unité graphique : 2 cm).
2. Calculer l’aire, en cm2, de l’ensemble des points M(x;y) tels que
( 06x6√3 06y 6f(x) 3. Donner la valeur arrondie au mm2 près de cette aire.
8.9 Soitf la fonction définie sur l’intervalle [−1; 2] par f(x) =x2−x+ 2.
On note ξ l’ensemble des pointsM(x;y) tels que (
−16x62 06y6f(x)
Calculer le volume, en unité de volume, du solide engendré par la rotation deξ autour de l’axe des abcsisses.
8.10 Soitf la fonction définie sur l’intervalle [0; 3] parf(x) = (x−3)ex.
On note C la courbe représentative dans un repère orthonormal d’unité graphique 2 cm.
1. Étudier les variations def et tracer la courbeC. 2. Soit ξ l’ensemble des pointsM(x;y) tels que
( 06x63 f(x)6y60
a. Déterminer les réels α et β de façon que la fonction F définie sur R par F(x) = (αx+β)ex soit une primitive de f surR.
b. Calculer la valeur exacte de l’aire, en unités d’aire, de l’ensemble ξ.
c. Donner la valeur en cm2 de cette aire.
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3. On se propose de calculer le volume Vde ce solide engendré par ξ en tournant autour de l’axe des abscisses.
a. Déterminer les nombres réels a, b et c de façon que la fonction g définie sur R par g(x) = (ax2+bx+c)e2x soit une primitive de la fonction f2 surR.
b. En déduire la valeur exacte puis une valeur approchée en cm3, du volume Vdu solide engendré par ξ en tournant autour de l’axe des abscisses.
8.11 Calculer les valeurs moyennes de chacune des fonctions suivantes : 1. f(x) =x3 sur [0; 1]
2. g(x) = 1 + sinωtsur0;π ω
3. h(x) = cos 4t+ 2 cos 2tsur 0;π 2
4. i(x) = cos2x sur 0;π 2
8.12 Soit la fonction ide la variablet définie sur
0;1 5
par i(t) = sin(10πt).
1. Calculer la valeur moyenne de la fonction isur l’intervalle [0; 10]
2. Calculer la valeur efficace de la fonction i.
8.13 Reprendre les questions de l’exercice précédent pour la fonction f définie par f(x) = 1 + sin 2xsur [0;π] .
