Fonctions d une variable réelle

Fonctions d’une variable réelle

1. Fonctions continues, monotones, réglées.

2. Fonctions dérivables.

3. Règles de dérivation.

4. Extrema d’une fonction.

5. Théorème de Rolle.

6. Théorème des accroissements finis.

7. Dérivées successives.

8. Convexité.

9. Etude des variations.

10. Formules de Taylor.

Pierre-Jean Hormière ____________

« De tous les progrès théoriques, aucun ne passe sans doute pour un triomphe aussi élevé de l’esprit humain que l’invention du calcul infinitésimal dans la deuxième moitié du XVIIème siècle. Plus que n’importe où, nous avons là un exploit pur et exclusif de l’esprit humain. Le mystère qui entoure, aujourd’hui encore, les grandeurs employées dans le calcul infinitésimal, différentielles et infinis de différents degrés, est la meilleure preuve de la persistance de cette illusion qu’on a ici affaire à de pures « créations et imaginations libres » de l’esprit humain, auxquelles rien ne répondrait dans le monde objectif. Et c’est pourtant le contraire qui est vrai. Pour toutes ces grandeurs imaginaires, la nature offre les modèles. »

Friedrich Engels, Dialectique de la nature.

Introduction

Les fonctions de variable réelle « usuelles », celles que l’on rencontre « généralement », sont composées de fonctions élémentaires. Elles sont donc continues, dérivables et même développables en série entière ; elles sont également monotones par morceaux, comme en témoigne l’étude de leurs variations. Par « fonctions élémentaires » on entend les monômes, les logarithmes et exponentielles, les puissances, les fonctions trigonométriques et leurs réciproques, ainsi que leurs composées. Mais l’évolution de l’analyse vers plus de rigueur et de généralité a conduit à considérer d’autres fonctions, et à classer leurs propriétés par généralité décroissante (Cauchy) et croissante (Baire). Si

« la plupart » des fonctions usuelles sont dérivables, « la plupart » des fonctions ne sont nulle part dérivables : cela illustre les deux sens du mot « en général ».

Il y a deux types de fonctions d’une variable réelle : les fonctions à valeurs réelles, et les fonctions à valeurs complexes ou vectorielles. Leurs propriétés sont légèrement différentes.

Dans tout cet exposé, les intervalles sont non réduits à un point : nous ne le répéterons pas.

Stade olympique d’Athènes, par Santiago Calatrava

1. Fonctions continues, monotones, réglées.

1.1. Fonctions continues.

Nous avons défini la continuité dans le chapitre sur les espaces métriques. Pour montrer qu’une fonction est continue, il suffit d’établir qu’elle est :

• somme, produit, composée, sup ou inf d’un nombre fini de fonctions continues ; • lipschitzienne, ou uniformément continue ;

• limite uniforme d’une suite, ou somme d’une série uniformément convergente, de fcts continues ; • de la forme f(x) =

∫

• intégrale à paramètre sur un segment ou un intervalle non compact, sous certaines hypothèses ; • en un point litigieux, on pourra utiliser le théorème de prolongement par continuité :

Soient I un intervalle de R, a un point de I, f : I−{a} → R une fonction continue. Pour que l’on puisse prolonger f en une fonction continue I → R, il faut et il suffit que f ait une limite quand x tend vers a en étant ≠ a. Cette condition est remplie si a est à distance finie et si f est uniformément continue sur I−{a}.

(cf. Espace métriques, § C.6 et D.4.) Rappelons les résultats suivants :

Théorème des bornes : Soient K une partie compacte (≡ fermée bornée) de R, et f : K → R une fonction continue. f est bornée et atteint ses bornes.

Théorème des valeurs intermédiaires : Soient I un intervalle de R, f : I → R une fonction continue.

Si f prend deux valeurs, f prend toute valeur intermédiaire, autrement dit f(I) est un intervalle de R.

Corollaire : Si I est un segment (intervalle fermé borné) de R et f : I → R une fonction continue, alors f(I) est un segment.

Remarque sur le signe d’une fonction continue.

Rappelons que si U est un ouvert non vide de R, il existe une et une seule famille d’intervalles ouverts deux à deux disjoints I_n = ]a_n, b_n[, telle que U =

U

Si f est une fonction continue de R dans R, la fonction g(x) = sgn f(x) peut être très compliquée. Les ensembles U₊ = { x ; f(x) > 0 }, U₋ = { x ; f(x) < 0 } et F = { x ; f(x) = 0 } forment une partition de R.

F est fermé, U₊ et U₋ sont des ouverts, auxquels on peut appliquer le résultat précédent. Mais attention, si U₊ et U₋ sont réunions dénombrables d’intervalles ouverts disjoints, rien ne dit qu’on peut les ranger dans l’ordre croissant ou décroissant. Penser à f et surtout à f o f, où f(x) = x.sin(1/x) :

Cependant, g = sgn f est une fonction de Baire, c’est-à-dire limite simple d’une suite de fonctions continues. En effet, g(x) = lim_n→+∞ th(n.f(x)), par exemple.

Exercice 1 : Existe-t-il une fonction continue f : R → R telle que f(Q) ⊂ R − Q et f(R − Q) ⊂ Q ?

Exercice 2 : Soit f : [0, 1] → R une fonction continue telle que ∀x ∈ [0, 1] f(x + 10

7 _{)≠ f(x).}

1) Démontrer que l’équation f(x) = 0 a au moins 7 solutions dans [0, 1].

2) Donner un exemple de fonction f vérifiant les hypothèses ; on pourra se contenter d’une repré- sentation graphique claire.

Exercice 3 : Soient f une fonction continue de R dans R, G = { (x, f(x)) ; x ∈ R } son graphe 1) Montrer que, si f est continue, G est une partie fermée de R×R.

2) Montrer que, si f est bornée et si G est une partie fermée de R×R, f est continue.

3) Le résultat précédent subsiste-t-il si f n’est pas bornée ? Exercice 4 : Soit I = [a, b] un segment de R.

1) Soit f : I → I continue. Montrer que f admet au moins un point fixe.

2) Soit f : I → R continue, telle que I ⊂ f(I). Montrer que f admet au moins un point fixe.

3) Soient f et g : I → I continues telles que f o g = g o f. Montrer que (∃x ∈ I) f(x) = g(x).

Exercice 5 : Soit f : R₊ → R uniformément continue telle que (∀x ≥ 0) limn→+∞ f(x + n) = 0.

Montrer que lim_x→+∞ f(x) = 0.

1.2. Fonctions monotones.

Théorème de la limite monotone :

Soit I = (a, b) (a < b) un intervalle de R, borné ou non, f : I → R une fonction croissante.

i) f a une limite à gauche et à droite en tout point x∈]a, b[ :

lim _y→x−0 ^{f(y) = supy}∈I∩]−∞,x[ f(y) ≤ f(x) ≤ lim _y→x+0 ^{f(y) = infy}∈I∩]x,+∞[ f(y).

ii) Si f est majorée, f a une limite en b−0 : lim _x→b−0 ^{f(x) = sup}x∈]a,b[ f(x).

Si f est non majorée (ce qui suppose b ∉ I), f tend vers +∞ quand x → b : lim _x→b−0 ^{f(x) = +∞.} iii) Résultats analogues au point a.

Autrement dit, si l’on considère f comme fonction de I dans R, lim _x→b−0f(x) = sup_x∈]a,b[ f(x).

Pour tout x ∈ ]a, b[ , on appelle saut de f en x : σ(x) = f(x + 0) − f(x − 0).

Traduction immédiate si f est décroissante.

Proposition : Soient I un intervalle de R, f : I → R monotone. L’ensemble des discontinuités de f est dénombrable.

Preuve : Supposons f croissante. Notons D l’ensemble de x en lesquels f est discontinue.

• Si f est bornée, disons (∀x) −1 < f(x) < 1. D = { x ; σ(x) > 0 } =

U

=1 n

Dn , où D_n = { x ; σ(x) ≥ n 1 _}.

Or chacun des ensembles D_n est fini, car si x₁ < x₂ < … < x_k sont k points de D_n, or a n

k ≤ 2, car les intervalles de saut ne se chevauchent pas dans ]−1, 1[ ; d’où k ≤ 2n. Donc D est dénombrable.

• Si f est non bornée, ce qui suppose I ouvert ou semi-ouvert, on peut se ramener au cas précédent de deux façons : soit en observant que I est réunion d’une suite croissante de segments,

soit en composant f par th, arctan ou x +x

1 ^.

Exercice 6 : Soit f : R₊→ R bornée. Pour tout x ≥ 0, on pose

M(x) = sup { f(t) ; t ≥ x } et m(x) = inf { f(t) ; t ≥ x }.

Monotonie de M et m ? Montrer que si f est continue, resp. uniformément continue, lipschitzienne, il en est de même de M et m. A quelle condition f a-t-elle une limite en +∞?

Exemple : Montrer que si f(t) = t

t

sin , M(x) < 1 pour tout x > 0.

Exercice 7: Donner un exemple de fonction croissante (resp. strictement croissante) f : ]−1, 1[ → ]−1, 1[ ayant une infinité dénombrable de discontinuités.

Exercice 8 : Soit n → r_n une bijection N → Q. Montrer que la fonction f(x) = .1 ( ) 2

1

0 [ , [ x

m m r_m

∑

= +∞ est

croissante et bornée, et admet pour discontinuités tous les rationnels.

Théorème d’inversion des fonctions monotones. Soient I un intervalle de R, f une application continue de I dans R, J = f(I) l’intervalle image. Les propositions suivantes sont équivalentes : i) f est strictement monotone ;

ii) f est un homéomorphisme de I sur J ; iii) f est injective.

Alors f⁻¹ est strictement monotone, et les intervalles I et J sont de même nature (ouverts, semi- ouverts ou fermés).

Nous aurons besoin du lemme :

Lemme : Soit g une fonction monotone de l’intervalle J de R, à valeurs réelles ; g est continue si et seulement si g(J) est un intervalle de R.

Preuve : Tout d’abord, si g est continue, g(J) est un intervalle en vertu du TVI.

Réciproquement, si g est croissante et discontinue en x ∈ Int(J), g(x − 0) < g(x + 0).

g étant croissante, ne prendra jamais les valeurs y ∈ ]g(x − 0), g(x + 0)[ − {g(x)}, donc g(J) ne saurait être un intervalle. Idem si x est une extrémité de J.

Preuve du théorème :

i) ⇒ ii) Il faut montrer que f est une bijection bicontinue de I sur J. Elle est injective car f est strictement croissante, surjective car J = f(I). La continuité de f⁻¹ découle du lemme précédent.

ii) ⇒ iii) est évident.

iii) ⇒ i) Supposons ∃ a < b f(a) < f(b), et montrons que f est strictement croissante par applications répétées du TVI.

• Si x ∈ ]a, b[ f(a) < f(x) < f(b). En effet f(x) ≠ f(a) et f(b) par injectivité.

Si f(x) < f(a), il existerait y ∈ ]x, b[ tel que f(y) = f(a) : impossible.

Si f(x) > f(b), il existerait y ∈ ]a, x[ tel que f(y) = f(b) : impossible.

Si a < x < y < b, en remplaçant a par x , on voit que f(x) < f(y).

• Si b < x, f(b) < f(x), sinon il existerait ε > 0 tel que f(b −ε) = f(b + ε).

Si b < x < y, f(x) < f(y) en remplaçant b par x.

• Idem à gauche en a.

Applications :

1) Fonction racine n-ième d’un nombre réel.

Soit n un entier impair. La fonction xⁿ est une bijection continue croissante de R dans R. C’est donc un homéomorphisme. La bijection réciproque se note x^1/n = ⁿ x .

Soit n un entier pair. La fonction xⁿ est une bijection continue croissante de R⁺ dans R⁺. C’est donc un homéomorphisme. La bijection réciproque se note x^1/n = ⁿ x .

2) Fonctions circulaires réciproques.

♣ Le sinus induit une bijection continue strictement croissante I =

[

π

2

π ]

On nomme Arcsinus la bijection réciproque de cette restriction : Arcsin = (sin|^JI)⁻¹. y = Arcsin x ⇔ −

π

π

♦ Le cosinus induit une bijection continue strictement décroissante I = [0,

π

On nomme Arccosinus la bijection réciproque de cette restriction : Arccos = (cos|^JI)⁻¹. y = Arccos x ⇔ 0 ≤ y ≤ π et x = sin y .

♥ La tangente induit une bijection continue strictement croissante I =

]

π

π

[

On nomme Arctangente la bijection réciproque de cette restriction : Arctan = (tan|^JI)⁻¹. y = Arctan x ⇔ −

2

π

2

π

♠ La cotangente induit une bijection continue strictement décroissante I = ]0, π[ → J = R.

On nomme Arccotangente la bijection réciproque de cette restriction : Arccotan = (cotan|^JI)⁻¹. y = Arccotan x ⇔ 0 < y < π et x = cotan y .

Notons que Arccos x + Arcsin x =

π2 et Arctan x + Arccotan x = π. Arctan x + Arctan

x 1 ₌

π2 si x > 0 , −

π2 si x > 0.

 π si ab > 1, a > 0, b > 0 Exercice 9 : Montrer que Arctan a + Arctan b − Arctan

abb a−+

1 ^{= } 0 si ab < 1

−π si ab > 1, a < 0, b < 0 Exercice 10 : Simplifier et représenter les fonctions suivantes :

f(x) = Arcsin (sin x) f(x) = Arccos (cos x) f(x) = Arctan (tan x) f(x) = Arccotan (cotan x) f(x) = Arcsin (cos x) f(x) = Arccos (sin x) f(x) = Arctan (cotan x) f(x) = Arccotan (tan x) Exercice 11 : Simplifier les fonctions suivantes :

f(x) = sin(Arccos x) f(x) = cos(Arcsin x) f(x) = sin(Arctan x) f(x) = cos(Arctan x) f(x) = sin(2Arctan x) f(x) = cos(2Arctan x) f(x) = sin( Arccotan (tan(Arccos x))) Exercice 12 : Etudier les fonctions :

f(x) = Arctan

) 4 sin(

1

) 4 sin(

1

x

− x

+ , f(x) = Arcsin(2x² − 1) , f(x) = Arcsin 1

² 2+ x x _. 1.3. Fonctions réglées.

Définition : Soient I un intervalle de R, f : I → R, x₀ un point intérieur de I. On dit que f admet en x₀ une discontinuité de première espèce si f admet une limite à droite et à gauche en x₀. On dit que f est réglée si f admet une limite à gauche et à droite en tout point de I.

Définition : Soit I = [a, b] un segment. Une fonction f : I → R est dite continue par morceaux s’il existe une subdivision σ = (x0 = a < x₁ < … < x_n = b) de I telle que, pour tout i, f|_{]xi, xi+1[} se prolonge en une fonction continue sur [x_i , x_i+1] , autrement dit que f soit continue en chaque point x ∈ I−σ et ait des limites à droite et à gauche en les x_i .

Exemples :

1) Les fonctions continues, continues par morceaux, monotones, monotones par morceaux, sont réglées.

2) La fonction sin x

1 est continue sur R*, mais n’est ni continue ni réglée sur R, de quelque façon qu’on la prolonge en 0.

Nous reviendrons sur ce sujet dans le chapitre sur l’intégrale.

Exercice 12 : fonction de Dirichlet.

Elle est définie par : f(x) = 0 si x ∉ Q , f(x) = 1/q si x = p/q ( p ∈ Z, q ∈ N*, p ∧ q = 1).

Montrer que cette fonction est 1-périodique, et réglée sur tout segment.

Exercice 13 : Montrer qu’une composée de fonctions réglées n’est pas toujours réglée.

[ Considérer f(x) = x.sin x

1 et g(x) = sgn f(x) , ou bien 1_R* o f , f fonction de Dirichlet. ]

2. Fonctions dérivables.

2.1. Fonctions réelles.

C’est l’idée d’approximation locale d’une fonction par une fonction affine qui est à la base de la notion de dérivée.

Définition 1 : Soient I un intervalle de R, x₀ ∈ I. Les fonctions f et g : I → R sont dites tangentes en x₀ si (T) ∀ε > 0 ∃α > 0 ∀x ∈ I | x − x₀ | ≤α⇒ | f(x) − g(x) | ≤ε.| x − x₀ |.

NB : cette condition s’écrit encore f(x) − g(x) = o(x − x₀) au V(x₀).

Proposition 1 : (T) équivaut à la conjonction de f(x₀) = g(x₀) et de lim_{x→x0,x≠x0}

0

) ( ) (

x x

x g x f

−−

= 0.

Bien entendu, la condition f(x₀) = g(x₀) ne suffit pas à impliquer la tangence, comme le montrent les fonctions f(x) = x et g(x) = 0 en 0.

Proposition 2 : Dans FFFF(I, R), la relation « f est tangente à g en x₀ » est une relation d’équivalence compatible avec la structure vectorielle de FFFF(I, R). Parmi les fonctions tangentes à f en x₀, il existe au plus une application linéaire affine.

Définition 2 : L’application f : I → R est dite dérivable, ou différentiable, en x₀, s’il existe une application linéaire affine g : x → f(x₀) + a.(x − x₀) tangente à f en x₀. On appelle :

• dérivée, ou nombre dérivé, de f en x0, la pente de cette application, on la note a = f’(x₀)

• différentielle, ou application dérivée, de f en x0 l’homothétie u = df_x0 : h → a.h de R de rapport a.

La dérivabilité de f en x₀ peut se présenter de deux façons :

par développements limités : f est dérivable en x₀ ssi f admet en ce point un développement limité à l’ordre 1 f(x) = f(x₀) + a.( x − x₀ ) + o( x − x₀ ) quand x → x₀,

ou encore f(x₀ + h) = f(x₀) + a.h + o(h) quand h → 0.

par taux d’accroissement : f est dérivable en x₀ ssi le taux d’accroissement

0 0) ( ) (

x x

x f x f

−

− admet une limite quand x → x0 par valeurs différentes, et cette limite est f’(x₀).

Géométriquement, ce taux est la pente de la corde joignant les points M₀ = (x₀, f(x₀)) et M = (x, f(x))

Proposition 3 : Si f est dérivable en x₀, f est continue en x₀. La réciproque est fausse.

Exemples et contre-exemples.

1) La fonction f(x) = |x| est continue en 0, mais non dérivable.

2) La fonction g(x) = x.sin x

1 _{si x ≠} 0, g(0) = 0 est continue en 0, car |g(x)| ≤ |x|, et non dérivable en 0 car la pente

0 ) 0 ( ) ( −−

x g x

g = sin

x

1 est sans limite quand x → 0.

3) f(x) = xⁿ est dérivable en tout point et f’(x) = n.xⁿ⁻¹. En effet

0 0

x x

x x^{n n}

−

− = xⁿ⁻¹ + xⁿ⁻².x₀ + … + x.x0n−² + x0n−¹ → nx0n−¹.

4) f(x) = sin x est dérivable en 0 et f’(0) = 1, car x

x

sin _→ 1 quand x → 0.

5) sinus et cosinus sont dérivables sur R et sin’x = cos x , cos’x = − sin x.

En effet

0

sin 0

sin x x

x x

−− ₌

0

2

x−x ^.sin 2 x0

x− .cos 2

x0

x+ _→

cos x₀ quand x → x₀

0

cos 0

cos x x

x x

−− ₌

0

2 x x−− _.sin

2 x0

x− .sin 2

x0

x+ _{→ − sin x}

0 quand x → x0. N.B. : Les formules ci-dessus s’unifient ainsi : sin’x = sin(x +

π2) , cos’ x = cos(x + π2₎ Elles se généralisent ainsi : sin^(k)(x) = sin(x + k

π2_{) , cos}^(k)(x) = cos(x + k π2_).

Exercice : Etudier la continuité, la dérivabilité et la continuité de la dérivée des fonctions suivantes : ♣ f(x) = x.sin

π

π

♥ h(x) = x.sin

π

) /

sin(ππ x _{si x ≠ 0 et} n

1 , h(0) = h(

n 1_{) = 0.}

♠ k(x) = x².sin

π

) /

sin(ππ x _{si x ≠ 0 et} n

1 , k(0) = k(

n 1_{) = 0.}

2.2. Extensions de la notion de dérivée.

La notion de dérivée peut s’étendre dans diverses directions : f a pour dérivée ±±±±∞∞∞∞ en x₀ si

0 0) ( ) (

x x

x f x f

−

− tend vers ±∞ quand x → x₀ ;

Cette idée correspond à une tangente verticale en M₀(x₀ , f(x₀)).

Par exemple, x → x^1/3 a une dérivée +∞ en 0.

f est dite dérivable à droite en x₀ si

0 0) ( ) (

x x

x f x f

−

− a une limite quand x → x₀ + ; on la note f'_d(x₀).

f est dite dérivable à gauche en x₀ si

0 0) ( ) (

x x

x f x f

−− a une limite quand x → x0 − ; on la note f'g(x₀).

Géométriquement, ces notions correspondent aux tangentes à droite et à gauche en M₀(x₀ , f(x₀)).

Par exemple, x → |x| a pour dérivée à droite +1 et pour dérivée à gauche −1 en 0.

Plus généralement, on montrera que toute fonction réelle convexe sur un intervalle I de R est dérivable à gauche et à droite en tout point intérieur de I.

Enfin, dans des cas plus compliqués, on pourra introduire, si f est continue en x₀, les plus grandes et plus petites valeurs d’adhérences de

0 0) ( ) (

x x

x f x f

−

− à droite et à gauche ; ce sont les quatre nombres

dérivés de f au V(x₀) ( Du Bois-Reymond, Dini ).

Par exemple, f(x) = x.sin x

1 _{a ±}1 pour nombres dérivés à droite et à gauche en 0.

Voici enfin un important critère de non dérivabilité.

Proposition : Soient I un intervalle de R, a un point de I, f une fonction I → R. Pour que f soit dérivable en a, il faut et il suffit que ∆(x, y) ≡

x y

x f y f( )−− ( )

ait une limite quand (x, y) → (a, a) de façon que x ≤ a ≤ y et x ≠ y.

Et alors f'(a) est égale à cette limite.

Preuve : La condition est suffisante : il suffit de faire tendre (x, y) vers (a, a) de façon que x = a < y , puis x

< a = y . Montrons qu’elle est nécessaire. Posons x = a – h, y = a + k ( h et k ≥ 0).

Soustrayons f(a + k) = f(a) + f’(a).k + o(k) et f(a − h) = f(a) − f’(a).h + o(h).

Il vient f(a + k) − f(a − h) = f’(a).(h + k) + o(k) − o(h).

Or comme h et k sont positifs, o(k) et o(h) sont tous deux des o(h + k). cqfd.

Corollaire : Sous les mêmes hypothèses, si ∆(x, y) ≡

x y

x f y

f( )−− ( ) est sans limite quand (x, y) → (a, a) de façon que x ≤ a ≤ y et x ≠ y, f est non dérivable en a.

C’est ainsi que l’on montre que les fonctions de Bolzano, van der Waerden, Weierstrass, etc. , ne sont nulle part dérivables.

2.3. Fonctions vectorielles.

Les concepts du § 1.1. s’étendent sans peine aux fonctions f : I → E, où E est un espace vectoriel normé. Nous ne les détaillons pas, et nous contentons de noter que :

La dérivée d’une fonction constante étant nulle, la notion de dérivée est affine, et indépendante de l’origine choisie :

dx OM d ₌

dx AM

d _{se note} dx

M d _.

La dérivée ne change pas si l’on remplace la norme de E par une norme équivalente.

Si E est de dimension finie rapporté à une base BBBB _{= (}e₁ , …, en), f =

∑

= n

i i i e f

1

. est dérivable en x₀ ssi chacune des fonctions f_i l’est, et alors f’(x₀) =

∑

= n

i

i

i x e

f

1

0).

'( .

2.4. Fonction dérivée.

Définition : L’application f : I → E est dite dérivable si elle est dérivable en tout point de I. La fonction f’ : I → E est dite fonction dérivée de f. La fonction f est dite de classe C¹ dans I si elle est dérivable dans I et si sa dérivée est continue.

Définition : Soient I et J deux intervalles de R. L’application f : I → J est appelée difféomorphisme si f est dérivable et bijective ainsi que sa réciproque. Elle est appelée C¹-difféomorphisme si elle est de classe C¹ et bijective ainsi que sa réciproque.

Un difféomorphisme est un homéomorphisme, donc strictement monotone.

La réciproque est fausse : x → x³ est un homéomorphisme, pas un difféomorphisme.

Si f est une fonction réelle dérivable, la fonction dérivée f’ n’est pas quelconque : • c’est une fonction de Baire, c’est-à-dire une limite simple de fonctions continues.

En effet si f est définie sur R, f’(x) = lim_n→∞

n x f n x f

/ 1

) ( ) / 1

( + −

; si f est définie sur I, modifier légè- rement cette idée.

• elle possède toujours la propriété des valeurs intermédiaires (cf. pb 1, fin de chapitre).

3. Règles de dérivation.

3.1. Fonctions réelles.

Proposition 1 : somme et produit. Soient f et g : I → R dérivables en x0 .

Pour tout couple (λ, µ) ∈ R×R, λf + µg est dérivable en x0 et (λf + µg)’(x0) = λf’(x0) + µg’(x0).

f.g est dérivable en x₀ et ( f.g )’(x₀) = f’(x₀).g(x₀) + f(x₀).g’(x₀).

Preuve : La linéarité est laissée en exercice. Pour le produit, écrire : h

x g f h x g

f. )( ) (. )( )

( 0+ − 0

= h

x g x f h x g h x

f( 0+ ). ( 0+ )− ( 0). ( 0) = ( ) ( ). ( )

0 0

0 g x h

h x f h x

f + − +

+ f(x₀).

h x g h x

g( ₀+ )− ( ₀)

, et faire tendre h vers 0.

Corollaire : Les fonctions dérivables forment une sous-algèbre DDDD_{(I, R) de} CCCC_{(I, R).}

Les fonctions de classe C¹ forment une sous-algèbre CCCC¹_{(I, R) de} DDDD_{(I, R).}

Proposition 2 : inverse. Soit f : I → R dérivable en x₀ et telle que f(x₀) ≠ 0. Alors ) ( 1

x

f est définie dans un voisinage de x₀ dans I, dérivable en x₀ et

(

f

1

)

) '(

0 0

x f

x f .

Corollaire : Si u et v : I → R sont dérivables en x₀ et si v(x₀) ≠ 0, alors v

u est définie dans un voisinage de x₀ dans I, dérivable en x₀ et

(

v

u

)

)² (

) '(

).

( ) ( ).

'(

0

0 0 0 0

x v

x v x u x v x

u −

. Application : dérivées de la tangente et la tangente hyperbolique.

tan’ x = 1 + tan² x =

)

²(

cos 1

x et th’ x = 1 − th² x = )

²(

1 x ch ^. cotan’ x = − 1 – cotan² x =

)

²(

sin1

− x et coth’ x = 1 – coth² x = )

²(1 x sh− Proposition 3 : dérivée d’une fonction composée.

Soient I et J deux intervalles de R, x₀ ∈ I, f : I → J, g : J → R deux fonctions. Si f est dérivable en x0

et si g est dérivable en y₀ = f(x₀), alors g o f est dérivable en x₀ et ( g o f )’(x₀) = g’( f(x₀) ).f’(x₀).

La différentielle de g o f est la composée des différentielles :

x0

d ( g o f ) =

y0

d g o

x0

d f.

Preuve : 1) Par les taux d’accroissement, on a envie d’écrire :

0 0) )(

( ) )(

(

x x

x gof x gof

−−

= ( ) ( )

) )(

( ) )(

(

0 0

x f x f

x gof x gof

−

− .

0 0) ( ) (

x x

x f x f

−

−

Quand x → x₀ avec x ≠ x₀, le second membre tend vers g’(f(x₀)).f’(x₀).

Au fond, en posant y = f(x) et z = g(y), il vient x

∆z

∆ ₌ y

∆∆z _. x

∆y

∆ , d’où, à la limite : dx dz ₌

dy dz _.

dx dy . Mais cette méthode est peu rigoureuse, car f(x) – f(x₀) peut s’annuler dans tout voisinage de x₀. Exemple : f(x) = x².sin

x

1 _{pour x ≠} 0 , f(0) = 0 et g(x) = x². On ne peut écrire

x x f²( )

= ( ) )

²(

x f

x f .

x x f )(

car f(x) s’annule dans tout voisinage de 0.

Elle est valable si f(x) – f(x₀) admet x₀ comme racine isolée.

Dans le cas général, on peut éviter le piège des dénominateurs, en introduisant la fonction :

∆g : J → R définie par ∆g(y) =

0 0) ( ) (

y y

y g y g

−−

si y ∈ J − {y₀}, ∆g(y) = g’(y₀) si y = y₀ = f(x₀).

Alors, pour tout x ∈ I − {x0},

0 0) )(

( ) )(

(

x x

x gof x gof

−− _{= ( ∆}

g o f )(x).

0 0) ( ) (

x x

x f x f

−

− ( Si f(x) = f(x₀), cela donne 0 = 0 ).

Quand x → x₀ avec x ≠ x₀, le second membre tend vers g’(f(x₀)).f’(x₀). CQFD.

2) Par composition des développements limités, on évite les problèmes de dénominateurs.

f(x₀ + h) = f(x₀) + f’(x₀).h + h.ε1(h) , où ε1(h) → 0 quand h → 0.

g(y₀ + k) = g(y₀) + g’(y₀).k + k.ε2(k) , où ε2(k) → 0 quand k → 0 [ avec y₀ = f(x₀) ].

g(f(x₀ + h)) = g(f(x₀) + f’(x₀).h + h.ε1(h)) = g(y₀ + k) , avec k = f’(x₀).h + h.ε1(h), = g(f(x₀)) + g’(y₀).[ f’(x₀).h + h.ε1(h) ] + [ f’(x₀).h + h.ε1(h) ].ε2(k) = g(f(x₀)) + g’(y₀).f’(x₀).h + h.[ g’(y₀).ε1(h) + f’(x₀).ε2(k) + ε1(h).ε2(k) ] = g(f(x₀)) + g’(y₀).f’(x₀).h + h.ε(h) , où ε(h) → 0 quand h → 0. CQFD.

Corollaires :

1) Soit I un intervalle de centre 0. Si f est paire (resp. impaire) et dérivable en x₀, alors f est dérivable en – x₀ et f’(x₀) = − f(x₀)

[

]

2) Si f est T-périodique, dérivable en x₀, f est dérivable en x₀ + nT et f’(x₀ + nT) = f’(x₀).

3) Si f est dérivable en x₀ et si f(x₀) ≠ 0, alors g(x) = ln | f(x) | est définie au V(x0), dérivable en x₀ et vérifie g’(x₀) =

) (

) '(

0 0

x f

x f .

4) La composée de deux fonctions de classe C¹ est de classe C¹.

Les intervalles de R sont les objets de diverses catégories dont les flèches, ou morphismes, sont les fonctions continues, resp. dérivables, de classe C¹. Les isomorphismes correspondants sont alors les homéomorphismes, resp. les difféomorphismes, les C¹-difféomorphismes.

Proposition 4 : dérivabilité d’une bijection réciproque. Soient I un intervalle, f : I → R une fonction continue strictement monotone, J = f(I), et g la bijection réciproque de f. Si f est dérivable en x₀ ∈ I, g est dérivable en y0 = f(x₀) si et seulement si f’(x₀) ≠ 0, et alors g’(y0) =

) ( '

1 x0

f ^.

Corollaire : Soient I et J deux intervalles de R. Pour que f soit un difféomorphisme de I sur J, il faut et il suffit que f soit dérivable, strictement monotone, telle que f(I) = J et que (∀x ∈ I) f’(x) ≠ 0.

Pour que f soit un C¹-difféomorphisme de I sur J, il faut et il suffit que f soit de classe C¹, strictement monotone, telle que f(I) = J et que (∀x ∈ I) f’(x) ≠ 0.

Application : dérivées des fonctions réciproques usuelles.

Dérivée de ⁿ x dx

dy = ¹

1

1.xn⁻

n Dérivée de Arcsin

dx dy =

² 1

1

−x Dérivée de Arccos dx dy =

² 1

1

−x

− Dérivée de Arctan

dx dy =

1

² 1+

x Dérivée de Arcotan dx dy =

1

² +1

− x Dérivée de Argsh

dx dy =

1

² 1+

x Dérivée de Argch dx dy =

1

² 1− x Dérivée de Argth

dx dy =

² 1

1

−x Dérivée de Argcoth dx dy =

² 1

1

−x Il découle de ce qui précède que :

• Arcsin x + Arccos x = cte , en fait

π

π

• Argth et Argcoth sont des primitives sur |x| < 1 et |x| > 1 resp., d’une même fonction,

² 1

1

−x ^. Règles de dérivation annexes.

1) Si f₁, f₂, …, f_n sont dérivables en x, leur produit aussi, et ( f₁.f₂ … f_n )’(x) =

∑

= − +

n

i

i n i

i x f x f x f x

f x f

1

1 1

1( )... ( ) '( ) ( )... ( ). En particulier, si f est dérivable en x, fⁿ aussi et ( fⁿ )’(x) = n f ⁿ⁻¹(x).f’(x) 2) Si a, b, c et d sont quatre fonctions dérivables de x, ∆(x) =

) ( ) (

) ( ) (

x d x c

x b x

a est dérivable en x et ∆’(x) =

) ( ) '(

) ( ) '(

x d x c

x b x

a +

) '(

) (

) '(

) (

x d x c

x b x

a . Ceci s’étend sans peine aux déterminants n×n.

Exercice : On note A~

la comatrice transposée de A. Soit t → M(t) une fonction dérivable de R dans M_n(C). Montrer que t → det M(t) est dérivable, sa dérivée étant t → tr( ~()

t

M .M’(t)).

3.2. Fonctions vectorielles.

Les résultats précédents s’étendent aux fonctions vectorielles :

Somme. Si f et g : I → E sont dérivables en x₀, pour tout couple (λ, µ) ∈ R×R, λf + µg est dérivable en x₀ et ( λf + µg )’(x₀) = λ f’(x₀) + µ g’(x₀).

Produit. Soient E, F, G trois espaces normés, B : (x, y) ∈ E×F → x × y ∈ G une application bilinéaire continue. Si f : I → E et g : I → F sont dérivables en x0, B(f , g) est dérivable en x₀ et B( f , g)’(x₀) = B(f’(x₀) , g(x₀)) + B(f(x₀) , g’(x₀)).

Extension immédiate aux applications multilinéaires continues.

Exemples :

1) Si E est un espace euclidien, x → OM (x) et x → OP(x) sont dérivables, il en est de même de f : x → OM(x).OP(x) (produit scalaire), et f’(x) = (x)

dx M

d _{.OP(x) + OM (x).} (x) dx

P d _.

2) Si E est euclidien orienté de dimension 3, x → OM(x) et x → OP(x) sont dérivables, il en est de même de f : x → OM (x)∧∧∧∧OP(x) (produit vectoriel), et f’(x) =

dx M

d _{∧∧∧∧OP(x) + OM (x) ∧∧∧∧}

dx P d _. 3) Produit de matrices. Soient t → A(t) et t → B(t) deux fonctions dérivables de I dans Mn(K).

Alors C(t) = A(t).B(t) est dérivable et C’(t) = A’(t).B(t) + A(t).B’(t).

4) Dérivation d’un déterminant.

Exercice : Soit A ∈ Mn(K), λ → det(A − λ.I) = P(λ). Calculer P’(0).

Exercice : 1) Soit t → M(t) dérivable de I dans Mn(K) telle que M(0) = I ; calculer (det M)’(0).

2) Plus généralement, soit t → M(t) une fonction dérivable de I dans Gln(K). Montrer que : ( det M )’(t) = det M(t).tr(M’(t).M(t)⁻¹) .

Inverse. Soient A une algèbre normée, U le groupe multiplicatif des inversibles de A. Si f : I → E est dérivable en x₀ et telle que f(x₀) ∈ U, alors x → f(x)⁻¹ est définie au voisinage de x₀, dérivable en x₀ et ( f⁻¹ )’(x₀) = − f(x₀)⁻¹.f’(x₀).f(x₀)⁻¹.

Exemple : Le plus souvent, A est une algèbre de matrices carrées ou d’endomorphismes continus.

Soient K = R ou C, et M : x → M(x) une application de I dans Mn(K) telle que M(x₀) ∈ Gln(K).

Alors x → M(x)⁻¹ est définie au voisinage de x₀, dérivable en x₀ et : (M⁻¹)’(x₀) = − M(x0)⁻¹.M’(x₀).M(x₀)⁻¹. 4. Extrema d’une fonction.

Définition : Soient I un intervalle de R, f une fonction I → R, x0 un point de I. On dit que f admet

• un maximum (global) en x0 si (∀x ∈ I) f(x) ≤ f(x0) .

• un maximum strict (global) en x₀ si (∀x ∈ I) x ≠ x₀⇒ f(x) < f(x₀) .

• un maximum local en x₀ s’il existe α > 0 tel que (∀x ∈ I) | x − x₀ | ≤α⇒ f(x) ≤ f(x₀) .

• un maximum local strict en x₀ s’il existe α > 0 tel que (∀x ∈ I) 0 < | x − x₀ | ≤α⇒ f(x) < f(x₀) . On définit de même les notions de minimum, strict, local, etc, et d’extremum, strict, local, etc.

Théorème : Soient I un intervalle de R, f une fonction I → R, x₀ un point intérieur de I. On suppose que f est dérivable à gauche et à droite en ce point.

• si x0 est un maximum local de f, alors f’_d(x₀) ≤ 0 ≤ f’g(x₀) ;

• si x0 est un minimum local de f, alors f’_g(x₀) ≤ 0 ≤ f’d(x₀).

Corollaire : Si x₀ un point intérieur de I, s’il est un extremum local, et si f est dérivable en ce point, alors f’(x₀) = 0.

Définition : Soit I un intervalle de R, f une fonction réelle dérivable dans I. On appelle points critiques les x∈I tels que f’(x) = 0, et valeurs critiques les valeurs prises par f aux points critiques.

Principe de Fermat : Les extrema locaux, et a fortiori globaux, de f dans I sont à chercher parmi ses points critiques.

Conditions nécessaires du second ordre. Soient I un intervalle de R, a un point intérieur, f : I → R une fonction deux fois dérivable en a.

• Si a est un minimum local, f’(a) = 0 et f’’(a) ≥ 0 ; • Si a est un maximum local, f’(a) = 0 et f’’(a) ≤ 0 .

Preuve : Supposons que f(x) ≥ f(a) pour x ∈ [a −α, a + α] (α > 0). Alors on a vu que f’(a) = 0.

De plus par Taylor-Young , f(x) – f(a) = . ''( )

! 2

)² (x−a f a

+ o((x – a)²).

Donc

)² (

) ( ) (

a x

a f x

f −− _→

! 2

) ''(a

f quand x tend vers a, avec x ≠ a. Or

)² (

) ( ) (

a x

a f x

f −− _≥

0 localement…

Variante : si f’’(a) < 0, on aurait f(x) – f(a) ∼ .''( )

! 2

)² (x−a f a

au V(a), donc, deux équivalents étant de même signe, a serait un maximum local strict.

Conditions suffisantes du second ordre. Soient I un intervalle de R, a un point intérieur, f : I → R une fonction deux fois dérivable en a.

• Si f’(a) = 0 et f’’(a) > 0, a est un minimum local strict ; • Si f’(a) = 0 et f’’(a) < 0, a est un maximum local strict ; • Si f’(a) = f’’(a) = 0, on ne peut conclure.

Preuve : déjà contenue dans la preuve précédente.

5. Théorème de Rolle.

« Rolle, l’unique objet de mon ressentiment ! » Pierre Corneille Théorème 1 (Rolle¹, 1691) : Soit f : [a, b] → R une fonction continue, dérivable sur ]a, b[, et telle que f(b) = f(a). Alors ∃ c ∈ ]a, b[ f’(c) = 0.

Preuve : • Si f est constante, f’(x) = 0 pour tout x : on a l’embarras du choix pour c…

• Si f est non constante, elle prend, par exemple, des valeurs > f(a) = f(b).

D’après le théorème des bornes, f est majorée et atteint son sup en un point c ∈ [a, b].

Mais l’hypothèse faite sur f implique que c ∈ ]a, b[. Alors, f’(c) = 0.

Si f prend des valeurs < f(a) = f(b), considérer un point c où f atteint son inf. cqfd.

Remarque : des exemples simples montrent le rôle des hypothèses.

Le théorème de Rolle admet deux extensions.

1) La première suppose que f admette en tout point de ]a, b[ une dérivée finie ou infinie.

2) La seconde concerne les intervalles non compacts :

Théorème 2 : Soit f : [a, +∞] → R une fonction continue, dérivable sur ]a, +∞[, et telle que f(a) = lim_x→+∞ f(x). Alors ∃c ∈ ]a, b[ f’(c) = 0.

Preuves : voici quelques idées :

1^ère idée : montrer que f est bornée et atteint ses bornes, puis reprendre la preuve ci-dessus.

2^ème idée : se ramener au th. de Rolle en considérant g = f o h, où h est une homographie de ]a, +∞[ sur ]0, 1[ telle que h(a) = 0 et h(+∞) = 1.

1 Michel ROLLE (Ambert 1652 - Paris 1719) reçut une formation initiale réduite, et fut largement autodidacte. Il travailla comme assistant de plusieurs avocats près d’Ambert, avant de monter à Paris en 1675, où il travailla comme scribe et expert arithmétique. Élu à l’Académie royale des sciences en 1685, il obtint une pension de l’Académie en 1699. Rolle travailla en analyse diophantienne, en algèbre (utilisant les méthodes de Bachet basées sur l’algorithme d’Euclide) et en géométrie. Il publia un Traité d'algèbre sur la théorie des équations. En 1682, il devint célèbre pour avoir résolu un problème posé publiquement par Ozanam ; Colbert le récom-pensa pour cette découverte. Rolle décrivait le calcul infinitésimal comme «une collection d'ingénieux sophismes», et nia d’abord son utilité. Il inventa la notation ⁿ x, et adopta la notation a > b ⇒ −b

> −a, en opposition avec Descartes et d’autres. Mais Rolle est surtout connu pour le théorème sur le zéro de la dérivée. Ce théorème parut en 1691 dans un livre obscur, et pas sous cette forme. Rolle constatait qu’entre deux racines réelles consécutives d’un polynôme réel il y a toujours une racine de sa dérivée ; sa démonstration utilisait une méthode de Huddle. Selon Cajori, le terme «théorème de Rolle» fut utilisé pour la première fois en 1834 par Moritz Wilhelm Drobisch, et en 1846 par Giusto Bellavitis.

3^ème idée : montrer que f ne peut être injective sur [a, +∞[, en distinguant selon que f prend des valeurs > f(a) et < f(a), ou que f prend des valeurs ≥ f(a)...

Le théorème de Rolle sert à localiser les racines de fonctions dérivées.

Exercice : Théorèmes de Laguerre.

Soit P(X) = a₀ + a₁X + ... + a_n.Xⁿ un polynôme réel de degré n.

1) Si P est scindé dans R[X], il en est de même de P', et les racines multiples de P' sont parmi celles de P.

2) Si P n’a que des racines réelles et simples, il en est de même de ses dérivées successives P', P", etc., et les racines de P^(k) séparent celles de P^(k+1).

3) a) Si P est scindé dans R[X], pour tout réel a, a.P + P' est scindé dans R[X].

b) Si P est scindé dans R[X], ainsi que Q = b₀ + b₁X + ... + b_h.X^h, il en est de même du poly- nôme Q(D)(P). [ Factoriser Q. ]

c) Application : Montrer que a_n + a_n−1

! 1

X _{+ ... + a}

1 ( 1)!

1

−

−

n Xⁿ

+ a₀

! n Xⁿ

est scindé dans R[X].

4) a) Si P est scindé dans R[X], pour tout réel a > 0 , a.P + X.P' est scindé dans R[X].

b) Application : Soit Q(X) = ( X + 1 )( X + 2 ) ... ( X + p ) .

Montrer que a₀.Q(0) + a₁.Q(1).X + ... + a_n.Q(n).Xⁿ est scindé dans R[X]. [récurrence sur p.]

Exercice : Montrer que le polynôme P_n(x) = Dⁿ((x² − 1)ⁿ) a toutes ses racines réelles simples, et appartenant à ]−1, +1[.

Exercice : Soient P ∈ R[X, Y], m le degré de P relatif à X, n le degré de P relatif à Y.

Montrer que l’équation P(x, e^x) = 0 a au plus mn + m + n solutions.

6. Théorème des accroissements finis.

6.1. Fonctions à valeurs réelles.

Théorème : Soit f : [a, b] → R une fonction continue sur [a, b], dérivable sur ]a, b[.

Alors ∃c ∈ ]a, b[ f(b) − f(a) = f’(c).(b − a)

Interprétation géométrique : Si Γ est le graphe de f, d’extrémités A(a, f(a)) et B(b, f(b)), le théorème dit qu’il existe un point M(c, f(c)) en lequel la tangente est parallèle à la corde AB.

ci-contre, l’exemple de exp. sur [0, 1].

Interprétation cinématique : Si x est le temps et f(x) la distance parcourue, le théorème dit que, si le point mobile parcourt f(b) – f(a) pendant le temps b – a (c’est-à-dire roule à la vitesse moyenne

a b

a f b f( )−− ( )

), il y a au moins un instant en lequel sa vitesse instantanée f’(c) est égale à la vitesse moyenne. Ainsi, si je parcours 15 km en 1 heure, il y a un instant en lequel je roule à 15 km/h.² Preuve : Ce théorème est à la fois une généralisation et une conséquence du théorème de Rolle.

En effet, ϕ(x) = f(x) −

a b

a f b f( )−− ( )

(x − a) est continue sur [a, b], dérivable sur ]a, b[, et telle que ϕ(a)

= f(a) = ϕ(b). En vertu du théorème de Rolle, ∃c∈]a, b[ ϕ’(c) = 0 , i.e. f’(c) =

a b

a f b f( )−− ( )

.

2 A condition de rouler de manière dérivable, et non comme le lièvre de La Fontaine.

Corollaire 1 : inégalité des accroissements finis.

Soit f : [a, b] → R une fonction continue, dérivable sur ]a, b[.

i) Si ∀x ∈ ]a, b[ m ≤ f’(x) ≤ M , alors m ≤

a b

a f b f( )−− ( )

≤ M.

ii) Si ∀x ∈ ]a, b[ | f’(x) | ≤ M , alors | f(b) − f(a) | ≤ M (b − a).

Remarque : Ce corollaire est presque plus important que le théorème lui-même, car on ignore où se trouve le fameux c. De plus, on verra qu’il s’étend aux fonctions vectorielles alors que le théorème ne s’y étend pas. Il illustre la nature profonde du théorème : c’est un théorème de passage du local au global. D’un encadrement de la dérivée, c’est-à-dire du taux d’accroissement infinitésimal, on déduit un encadrement du taux d’accroissement fini.

Corollaire 2 : caractérisation des fonctions monotones.

Soit I un intervalle de R, f : I → R une fonction continue sur I, dérivable dans l’intérieur I° de I.

f est croissante sur I ⇔ ∀x ∈ I° f’(x) ≥ 0.

f est strictement croissante sur I ⇔ ∀x ∈ I° f’(x) ≥ 0 et { x ∈ I° ; f’(x) > 0 } est dense dans I°.

Exemples : 1) La fonction x → x³ est strictement croissante sur R. On le sait bien.

2) Les fonctions x → x ± sin x sont strictement croissantes sur R. En voici une :

Corollaire 3 : caractérisation des fonctions constantes.

Soit I un intervalle de R, f : I → R une fonction continue sur I, dérivable sur I°.

f est constante sur I ⇔ (∀x ∈ I°) f’(x) = 0.

Remarque : On prendra garde qu’une fonction ayant une dérivée nulle est constante sur chacun des intervalles où elle est définie. On considérera par exemple les fonctions

f(x) = Arctan x + Arctan x

1 et g(x) = Arctan(x − 1) + Arctan(x + 1) + Arctan

² 2

2 x

−x ^. Corollaire 4 : extension à deux fonctions.

Soient f , g : [a, b] → R continues, dérivables sur ]a, b[.

Si ∀x ∈ ]a, b[ m.g’(x) ≤ f’(x) ≤ M.g’(x) , alors m [g(b) − g(a)] ≤ f(b) − f(a) ≤ M [g(b) − g(a)]

Il y a égalité ssi f = m.g + cte [ resp. f = M.g + cte ].

Corollaire 5 : caractérisation des fonctions lipschitziennes.

Soit I un intervalle de R, f : I → R une fonction dérivable sur I.

f est lipschitzienne sur I ⇔ f’ est bornée sur I .

En particulier, toute fonction de classe C¹ sur un segment est lipschitzienne.

6.2. Théorème de la limite de la dérivée.

En général, une fonction est continue ou dérivable en un point en tant que somme, produit, inverse, composée ou réversée de fonctions continues ou dérivables. Pour montrer la continuité d’une fonction en un point litigieux, on dispose du théorème de prolongement par continuité. Pour montrer sa dérivabilité, on pourra utiliser le théorème suivant, corollaire du th. des accroissements finis.

Théorème de la limite de la dérivée : Soient I un intervalle, a un point de I, f : I → R une fonction dérivable sur I−{a} et continue en a. Si lim_x→a,x≠a f’(x) existe et vaut L, alors f est dérivable en a et f’(a) = L.

Remarques :

1) Ce théorème ne doit pas être confondu avec le théorème de prolongement par continuité.

2) Si f : I → R est dérivable sur I−{a} et si lim _x→a,x≠a f’(x) existe et vaut L, alors f peut être prolongée par continuité en a. En effet, f’ est bornée au V(a), donc uniformément continue au V(a), donc peut être prolongée par continuité (chap. Espaces métriques, § D. 4.)

3) Le théorème précédent s’étend sans peine au cas où lim_x→a,x≠a f’(x) = ± ∞.

4) Il fournit une condition suffisante, mais non nécessaire, de dérivabilité en un point litigieux.

Exemple 1 : Soit f(x) = x² sin x

1 _{pour x ≠ 0.}

On a |f(x)| ≤ x², donc f est prolongeable par continuité f(0) = 0. f ainsi prolongée est dérivable en 0, et

x x f )(

→ 0 quand x → 0, car

|

x x

f )(

|

Mais le théorème ci-dessus ne s’applique pas, car f’(x) = 2x.sin

x 1 _{– cos}

x

1 n’a pas de limite quand x → 0.

Exemple 2 : Soit f(x) = x

x

sin pour x ≠ 0.

f se nomme parfois « sinus cardinal ». Elle est prolongeable par continuité en 0 si l’on pose f(0) = 1.

On peut montrer que f est dérivable en 0 par trois méthodes : 1) Méthode directe. Formons le taux d’accroissement

0 ) 0 ( ) ( −−

x f x

f =

² sin

x

x−x _{= −} 6

x + o(x) quand x → 0 ; donc f’(0) = 0.

2) Théorème de la limite de la dérivée. f est dérivable sur R* et un développement limité donne : f’(x) =

x x cos ₋

² sin x

x _{= −} 3

x + o(x) → 0 quand x → 0 ; donc f’(0) = 0.

Donc f’ est continue en 0. f est même deux fois dérivable en 0 car x

x f'( )

→ − 3

1 quand x → 0.

3) f est de classe C^∞, pour deux raisons :

i) Pour tout x, f(x) =

∫

ii) f est développable en série entière sur R.