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Mines Maths toutes filières 2009 — Corrigé
Ce corrigé est proposé par Guillaume Dujardin (Chercheur à l’INRIA) ; il a été relu par Céline Chevalier (ENS Cachan) et Sophie Rainero (Professeur en CPGE).
Cette épreuve se compose de deux problèmes totalement indépendants.
• Le premier comporte une première partie d’algèbre linéaire, dans laquelle on étudie des applications linéaires entre espaces vectoriels de dimensions finies en ayant parfois recours au calcul matriciel. Dans la seconde partie, on s’intéresse à des sphères et à des droites dans R3 ainsi qu’à des coniques tracées dans R2 à l’aide d’équations cartésiennes dans des repères orthonormés.
• Le second est un problème d’analyse mettant en œuvre notamment des fonc- tions de trigonométrie hyperbolique. Il est l’occasion de revoir de nombreux points du programme d’analyse : étude de fonctions (variations globales, com- portement local à l’aide de développements limités), courbes paramétrées, équa- tions différentielles linéaires, suites de nombres réels et fonctions définies par une intégrale dépendant de ses bornes.
Par la diversité des notions du cours qu’il met en œuvre, ce sujet constitue une excellente base de révision générale pour se préparer aux concours basés sur le pro- gramme de première année.
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Indications
Problème I : algèbre et géométrie 4 La matrice def obtenue à la question 3 est inversible.
5 Utiliser le fait que, pour toutP∈R[X],
P(1) = 0⇐⇒(X−1)diviseP 7 B′ est une famille de polynômes deR2[X] à degrés étagés.
11 De A = QMQ−1 on tireAn = QMnQ−1 pour toutn∈N. Les puissances de M se calculent aisément carMest diagonale d’après la question 10.
12 Calculer séparémentfn(1),fn(X)etfn(X2)puis utiliser la linéarité defn. 15 Faire apparaître 1
2n
2n−1
P
k=0
ϕ
P
X +k 2n
comme une somme de Riemann deP sur[ 0 ; 1 ].
17 Choisiry= 0dans l’équation définissantE.
20 Déterminer un paramétrage de la droite(Dθ).
21 Calculer la distance du centre deSm à la droite(Dθ).
Problème II : analyse 1 La fonction sh est impaire surR.
2.a D’après le cours, sh(x) ∼
x→0x.
4 Étudier la fonction x7→x−thxsurR∗+.
6 Commencer par donner le développement limité à l’ordre 5 de la fonction sh.
7 Se souvenir quef est paire.
12 Mettre l’équation sous forme résolue sur cet intervalle.
13 Les solutions ont la même forme que celles déterminées à la question précédente.
14 Étudier le « raccordement » en 0 des solutions surR∗− etR∗+. 15 Utiliser la question 5.
17 Une suite croissante converge (vers une limite finie !) ou tend vers l’infini. Rai- sonner par l’absurde en supposant que (un)n∈N∗ converge.
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I. Algèbre et Géométrie
A. Étude de deux applications
1 SoitP∈R2[X]. Par composition,P (X/2)et P ((X + 1)/2)sont des polynômes à coefficients réels, de degré au plus 2, c’est-à-dire
P X
2
∈R2[X] et P
X + 1 2
∈R2[X]
PuisqueR2[X]est unR-espace vectoriel, f(P) =1
2
P X
2
+ P
X + 1 2
∈R2[X]
Ceci assure que f(R2[X])⊂R2[X]
En outre, pour(P,Q)∈R2[X]2 et (λ, µ)∈R2, on a
f(λP +µQ) = 1 2
"
(λP +µQ) X
2
+ (λP +µQ)
X + 1 2
#
= 1 2
"
λP X
2
+µQ X
2
+λP
X + 1 2
+µQ
X + 1 2
#
=λ1 2
"
P X
2
+ P
X + 1 2
# +µ1
2
"
Q X
2
+ Q
X + 1 2
#
f(λP +µQ) =λf(P) +µf(Q)
f est une application linéaire.
2 Considérons(P,Q)∈R2[X]2et (λ, µ)∈R2.
ϕ(λP +µQ) = (λP +µQ)(1) =λP(1) +µQ(1) =λϕ(P) +µϕ(Q)
Ainsi, ϕest une application linéaire.
3 Calculons les composantes dans la baseBdes images parf de chacun des éléments deB:
f(1) = 1
2(1 + 1) = 1 f(X) = 1
2 X
2 +X + 1 2
= 1 2X +1
4 f(X2) = 1
2 X
2 2
+
X + 1 2
2!
= 1 2
X2 4 +X2
4 +X 2 +1
4
= 1 4X2+1
4X + 1 8 On en déduit que la matrice def dans la baseBest
1 1/4 1/8 0 1/2 1/4 0 0 1/4
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4 D’après la question précédente, la matrice de l’endomorphismef deR2[X] dans la baseBest triangulaire supérieure et ses coefficients diagonaux sont tous non nuls.
On en déduit que la matrice def dans la baseBest inversible, puis quef est bijective.
En particulier,
f est injective et surjective.
5 Pour P∈R2[X],
P∈Kerϕ⇐⇒ϕ(P) = 0⇐⇒P(1) = 0⇐⇒(X−1) divise P On en déduit que Kerϕ={(aX +b)(X−1) | (a, b)∈R2}
Par conséquent, Ker ϕ= Vect ((X−1),X(X−1))
La famille(X−1,X(X−1)) est génératrice de Kerϕ. Elle est également libre car X−1 etX(X−1) sont non nuls et de degrés différents. Par suite,
(X−1,X2−X)est une base deKerϕ.
Par suite, dim Kerϕ= 2
6 Puisque Kerϕ6={0}d’après la question précédente, L’application linéaire ϕn’est pas injective.
La question précédente assure également que Kerϕ 6= R2[X]. Par conséquent, la forme linéaireϕest non nulle, donc
L’applicationϕest surjective.
B. Calcul des puissances successives d’une matrice
7 B′est une famille de polynômes deR2[X]de degrés étagés. On en déduit que c’est une famille libre deR2[X]. Puisqu’elle comporte 3 polynômes et que dimR2[X] = 3,
B′ est une base deR2[X].
8 La matrice de passage de la baseB à la baseB′ est la matrice de l’application identité deR2[X] en prenantB′ comme base de départ et B comme base d’arrivée.
Ainsi, on peut remplir par colonnes la matriceQ:
Q =
1 1 1
0 −2 −6
0 0 6
9 Qest la matrice de passage d’une base deR2[X] à une autre. En particulier, La matriceQest inversible.
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