Fonctions d'une variable réelle : vocabulaire

(1)

MPSI-Éléments de cours Fonctions d'une variable réelle : vocabulaire 28 février 2020

Fonctions d'une variable réelle : vocabulaire

Rédaction incomplète. Version alpha Plan

I. Opérations . . . . 1

II. Inégalités . . . . 1

1. Fonctions majorées, minorées, bornées . . . . 1

2. Extrémum, extrémum local . . . . 2

3. Fonctions monotones . . . . 2

III. Fonctions périodiques . . . . 2

IV. Fonctions lipschitziennes . . . . 2

V. Propriété locale . . . . 2

Index

borne supérieure ou inférieure d'une fonction, 1 extrémum, extémum local, 2

fonctions lipschitziennes, 2

fonctions majorées, minorées, bornées, 1

fonctions périodiques, 2 groupe additif des périodes, 2 propriété locale d'une fonction, 2 théorème de Rolle, 2

L'étude des fonctions d'une variable réelle est réparti entre divers documents.

Toutes les fonctions considérées ici sont à valeurs réelles. Un point important dans le vocabulaire relatif aux fonctions est de bien faire la diérence entre ce qui se rapporte à l'espace de départ et ce qui se rapporte à l'espace d'arrivée. Cela est d'autant plus dicile dans le cas des fonctions d'une variable réelle à valeurs réelles qu'il s'agit chaque fois de R ou d'une partie de R. Il est commode de s'aider de schémas en convenant de dessiner la droite réelle horizontalement quand elle est associée à l'espace de départ et verticalement quand elle est associée à l'espace d'arrivée.

I. Opérations

Dénition. Soit f et g deux fonctions dénies sur un intervalle I . Somme, produit de deux fonctions. Multipli- cation d'une fonction par un réel.

Les fonctions sup(f, g) et inf(f, g) sont dénies par :

∀x ∈ I

( sup(f, g)(x) = max(f (x), g(x))

inf(f, g)(x) = min(f (x), g(x))

f

⁺

, f

⁻

, |f | Proposition.

sup(f, g) = 1

2 (f + g + |f − g|) inf(f, g) = 1

2 (f + g − |f − g|)

II. Inégalités

1. Fonctions majorées, minorées, bornées

Dénition (fonctions majorées, minorées, bornées). Une fonction f est dite majorée (respectivement minorée, bornée) si et seulement si l'ensemble de ses valeurs est majoré (resp minoré, borné)

L'ensemble des fonctions dénies sur un ensemble I et bornées et noté B(I, R ) , il est stable pour les cinq opérations.

Cette création est mise à disposition selon le Contrat

Paternité-Pas d'utilisations commerciale-Partage des Conditions Initiales à l'Identique 2.0 France disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.0/fr/

1

Rémy Nicolai C3901

(2)

MPSI-Éléments de cours Fonctions d'une variable réelle : vocabulaire 28 février 2020

max(f(t), g(t))

min(f(t), g(t))

1

2(f(t) +g(t))

|f(t)−g(t)|

2

Fig. 1: Expression de sup et inf avec une valeur absolue

Dénition (borne supérieure ou inférieure d'une fonction). Pour une fonction f dénie dans I .

Lorsque f est majorée, on appelle borne supérieure de f la borne supérieure de l'ensemble de ses valeurs. Lorsque f est minorée, on appelle borne inférieure de f la borne inférieure de l'ensemble de ses valeurs. Notations

sup

I

f = sup {f (t), t ∈ I} = sup f (I) inf

I

f = inf {f (t), t ∈ I} = inf f (I)

Dénition (Inégalités entre fonctions.). Soit f et g deux fonctions dénies dans I , on dira que f ≤ g si et seulement si f (t) ≤ g(t) pour tous les t dans I .

2. Extrémum, extrémum local

Dénition (extrémum global, extémum local). Soit I un intervalle de R et f une fonction dénie dans I ...

Remarques. Tout extrémum global est un extrémum local.

Une fonction f admet un maximum global si et seulement si l'ensemble de ses valeurs admet un plus grand élément.

Une fonction f admet un minimum global si et seulement si l'ensemble de ses valeurs admet un plus petit élément.

Cette notion d'extrémum local joue un rôle très important dans le théorème de Rolle.

3. Fonctions monotones

Fonctions croissantes, strictement croissantes, décroissantes, strictement décroissante.

Remarque. Une fonction strictement monotone est injective.

Proposition (Composition des fonctions monotones.). La composée de deux fonctions monotones de même sens est croissante, la composée de deux fonctions monotones de sens contraire est décroissante.

III. Fonctions périodiques

Dénition. Une fonction f dénie dans R est périodique si et seulement si il existe un T réel non nul tel que f(x + T ) = f (x) pour tous les x ∈ R. On dit alors qu'elle est T -périodique.

Proposition. L'ensemble des T réels tels que f (x + T ) = f (x) pour tous les x ∈ R forme un sous-groupe additif de R.

Preuve. à rédiger

Pour un T 6= 0 xé, l'ensemble des fonctions T -périodiques est stable pour les cinq opérations.

2

Rémy Nicolai C3901

(3)

MPSI-Éléments de cours Fonctions d'une variable réelle : vocabulaire 28 février 2020

IV. Fonctions lipschitziennes

Dénition. Une fonction f dénie sur un intervalle I de R est lipschitzienne de rapport k si et seulement si

∀(x, y) ∈ I

²

: |f (y) − f (x)| ≤ k|y − x|

Une fonction est lipschitzienne si et seulement si il existe un réel k pour lequel elle est lipschitzienne de rapport k . Exemples. La fonction valeur absolue dénie dans R est lipschitzienne de rapport 1 .

La fonction t → t dénie dans R est lipschitzienne de rapport 1.

La fonction t → t

²

dénie dans R n'est pas est lipschitzienne.

La fonction t → t

²

dénie dans un segment est lipschitzienne.

La restriction d'une fonction lipschitzienne de rapport k est lipschitzienne de rapport k .

V. Propriété locale

Soit a un nommbre réel, on dira qu'une fonction dénie dans un intervalle I vérie une propriété localement en a si et seulement si il existe un α > 0 tel que la restriction de la fonction à I∩]a − α, a + α[ vérie la propriété.

Exemples. Une fonction f est localement bornée en a si et seulement si il existe un α > 0 et un M tels que

|f (t)| ≤ M pour tous les t de I∩]a − α, a + α[ .

3

Rémy Nicolai C3901