Compléments sur l’étude des fonctions réelles d’une variable réelle

PREPA COURCELLES 2° année

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Compléments sur l’étude des fonctions réelles d’une variable réelle

1. Comparaison des fonctions au voisinage d’un point

i. Définition d’une fonction f négligeable devant g au voisinage de a Soit f et g deux fonctions définies au voisinage de a

𝑓(𝑥)=𝑜 𝑔(𝑥) ⟺∃𝜀 telle que 𝑓(𝑥)= 𝜀(𝑥).𝑔(𝑥) à partir d’un certain rang, avec lim_!→!𝜀(𝑥)= 0

Exemple : 𝑥^! = 𝑜(𝑥) au voisinage de 0.

En effet :𝑥^! = 𝑥^!.𝑥= 𝜀 𝑥 .𝑥 avec 𝜀 𝑥 =𝑥^! et lim_!→!𝜀(𝑥)=0 ii. Caractérisation

Si 𝑔(𝑥) ne s’annule pas au voisinage de a : 𝑓 𝑥 = 𝑜 𝑔 𝑥 ⟺ lim

!→!

𝑓 𝑥

𝑔 𝑥 = 0 iii. Propriétés

1. Transitivité

Si 𝑓(𝑥)=𝑜 𝑔(𝑥) et 𝑔(𝑥)= 𝑜 ℎ(𝑥) alors 𝑓(𝑥)= 𝑜 ℎ(𝑥) 2. Combinaisons linéaires

Soit f , g et h trois fonctions définies au voisinage de a Si 𝑓(𝑥)=𝑜 ℎ(𝑥) et 𝑔(𝑥)= 𝑜 ℎ(𝑥)

alors ∀ 𝑎,𝑏 ∈𝑅^!,𝑎𝑓 𝑥 +𝑏𝑔 𝑥 = 𝑜 ℎ 𝑥 iv. Rappels sur les polynômes :

• ^!_!!!𝑎_!𝑥^! ~ 𝑎_!𝑥^! au voisinage de ±∞

• ^!_!!!𝑎_!𝑥^! ~ 𝑎_! au voisinage de 0

v. Traduction en termes de négligeabilité des limites des fonctions usuelles

1. ln 𝑥 =𝑜 𝑥^! 2. 𝑥^! = 𝑜 𝑒^! 3. ln 𝑥 =𝑜 𝑒^!

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2 b. Fonctions équivalentes

i. Définition f équivalente à g au voisinage de a

𝑓 𝑥 ~ 𝑔(𝑥)⟺∃𝜀 telle que 𝑓(𝑥) =(1+𝜀 𝑥 ).𝑔(𝑥) à partir d’un

certain rang, avec lim_!→!𝜀(𝑥) =0 ii. Caractérisation

Si 𝑔(𝑥) ne s’annule pas au voisinage de a :

𝑓 𝑥 ~𝑔(𝑥)⟺ lim

!→!

𝑓 𝑥 𝑔 𝑥 = 1

iii. Traduction en termes d’équivalents au voisinage de 0 des limites des fonctions usuelles

• ln 1+𝑥 ~ 𝑥

• 𝑒^!−1 ~ 𝑥

• 1+𝑥 ^! −1 ~ 𝛼𝑥

iv. Compatibilité de l’équivalence vis-à-vis des opérations suivantes

• Produit

Si 𝑓 𝑥 ~𝑔(𝑥) alors 𝑓 𝑥 ℎ 𝑥 ~𝑔 𝑥 ℎ(𝑥)

• Composition par une fonction puissance Si 𝑓(𝑥)~𝑔(𝑥) alors 𝑓(𝑥) ^!~ 𝑔(𝑥) ^!,∀𝑘 ∈𝑁

• Quotient

Si 𝑓 𝑥 ~𝑔(𝑥) alors _!(!)^! ~_!(!)^! , si f et g ne s’annulent pas en a

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2. Développements limités

a. Développement limité d’ordre 2 en 𝑥_! d’une fonction de classe 𝐶^!au voisinage 𝑥_! i. Définition

f définie au voisinage de 𝑥_! admet un DL2 en ce point si ∃(𝑎_!,𝑎_!,𝑎_!,) ∈ 𝑅^! tels que :

𝑓 𝑥 = 𝑎_! +𝑎_! 𝑥−𝑥_! +𝑎_!(𝑥−𝑥_!)^! +𝑜( 𝑥−𝑥_! ^!) ii. Formule de Taylor Young

Si f est une fonction définie en 𝑥_! et de classe 𝐶^!au voisinage 𝑥_! alors un admet le DL2 suivant en 𝑥_! :

𝑓 𝑥 = 𝑓(𝑥_!)+𝑓′(𝑥_!) 𝑥−𝑥_! +𝑓"(𝑥_!)(𝑥−𝑥_!)^!

2 +𝑜( 𝑥−𝑥_! ^!) b. Unicité

Si une fonction admet un développement limité, celui-ci est unique

c. Développements limités usuels d’ordre 2 au voisinage de 0 i. 𝑒^! = 1+𝑥+^!_!^!+𝑜(𝑥^!)

ii. ln 1+𝑥 =𝑥−^!!

! +𝑜(𝑥^!) iii. 1+𝑥 ^! =1+𝛼𝑥+^!(!!!)

! 𝑥^! +𝑜(𝑥^!) iv. Cas particuliers usuels

• 𝛼=−1∶ _!!!^! =1−𝑥+𝑥^!+𝑜 𝑥^!

• 𝛼=−1∶ _!!!^! =1+𝑥+𝑥^!+𝑜 𝑥^!

• 𝛼= ^!_! ∶ 1+𝑥= 1+^!_!−^!_!^!+𝑜 𝑥^!

d. Application à l’étude locale de fonctions

Grâce à l’unicité du DL2 et par identification des formules a.i. et a.ii. :

• 𝑎_! =𝑓(𝑥_!) donc f est continue en 𝑥_!

• 𝑎_! = 𝑓′(𝑥_!) donc l’équation de la tangente à la courbe de f en 𝑥_! est : 𝑦− 𝑎_! = 𝑎_!(𝑥−𝑥_!)

• si 𝑎_! > 0, alors la courbe est localement au dessus de sa tangente au point d’abscisse 𝑥_!. Sinon, elle est localement au dessous.