F2 - Fonction partie entière (exercices méthodiques)
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FONCTION PARTIE ENTIERE
Soit ݂ la fonction définie sur [−1 ; 3[ par ݂ሺݔሻ = ݔ + ܧሺݔሻ
a) Déterminer une écriture de ݂ሺݔሻ sans l’expression ܧሺݔሻ, en découpant judicieusement l’intervalle [−1 ; 3[
b) Tracer la courbe représentative de ݂ dans un repère c) ݂ est-elle continue sur [−1 ; 3[ ?
d) Citer des intervalles sur lesquelles ݂ est continue ?
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CORRECTION
a) Il faut découper l’intervalle [−1 ; 3[ en intervalles de la forme [݊ ; ݊ + 1[
On obtient alors les intervalles suivants :
[−1; 0[ [0; 1[ [1; 2[ [2; 3[
Il faut maintenant chercher à exprimer la partie entière ܧሺݔሻ dans chaque intervalle.
݂ሺݔሻ = ݔ + ܧሺݔሻ Sur [−1; 0[, on a ܧሺݔሻ = −1
En effet, si ݊ ≤ ݔ ≤ ݊ + 1 alors ܧሺݔሻ = ݊ Si ܧሺݔሻ = −1 alors ݂ሺݔሻ = ݔ − 1
Sur [0; 1[, on a ܧሺݔሻ = 0 Si ܧሺݔሻ = 0 alors ݂ሺݔሻ = ݔ
Sur [1; 2[, on a ܧሺݔሻ = 1 Si ܧሺݔሻ = 1 alors ݂ሺݔሻ = ݔ + 1
Sur [2; 3[, on a ܧሺݔሻ = 2 Si ܧሺݔሻ = 2 alors ݂ሺݔሻ = ݔ + 2 b)
c) Non, la fonction ݂ n’est pas continue sur [−1; 3[.
d)
La fonction est continue sur les intervalles suivants :
[−1; 0[ [0; 1[ [1; 2[ [2; 3[
Pour tracer la courbe représentative de la fonction ݂ sur chaque intervalle, on fait un tableau de valeurs
Sur [−1; 0[, ݂ሺݔሻ = ݔ − 1
ݔ −1 0
݂ሺݔሻ −2 −1
Attention ! 0 n’est pas inclus dans l’intervalle mais cela permettra de tracer un segment de droite précis. En 0, il faudra mettre un crochet.
Même démarche sur les autres intervalles
