Propri´et´es (´el´ementaires du cosinus et du sinus) 1. Pour toutθ∈R:
−1≤cos(θ)≤1 et −1≤sin(θ)≤1.
2. Pour toutθ∈R,k∈Z:
cos(θ+ 2kπ) = cos(θ) et sin(θ+ 2kπ) = sin(θ).
3. Pour toutθ∈R:
cos(−θ) = cos(θ) et sin(−θ) =−sin(θ).
4. Pour toutθ∈R:
cos2(θ) + sin2(θ) = 1.
El´´ ements de preuve :Ces propri´et´es se d´eduisent directement de la d´efinition g´eom´etrique du cosinus et du sinus. La derni`ere est une cons´equence du th´eor`eme de Pythagore.
Propri´et´e (transformation d’un cosinus en sinus et r´eciproquement) :Soitx∈R.
1. cos π 2 −x
= sin(x) 2. sin π
2 −x
= cos(x)
El´´ ements de preuve : On peut d´emontrer ces deux propri´et´es en utilisant :
• la d´efinition g´eom´etrique du cosinus et du sinus ;
• la sym´etrie par rapport `a la premi`ere bissectrice qui ´echange abscisse et ordonn´ee.
Th´eor`eme 6 (formules d’addition) :Soienta, b∈R.
1. cos(a+b) = cos(a) cos(b)−sin(a) sin(b) 2. cos(a−b) = cos(a) cos(b) + sin(a) sin(b) 3. sin(a+b) = sin(a) cos(b) + cos(a) sin(b) 4. sin(a−b) = sin(a) cos(b)−cos(a) sin(b)
Id´ee de preuve :On peut d´emontrer la formule 2. en utilisant le lien entre cosinus et produit scalaire. On en d´eduit alors les 3 autres, grˆace aux propri´et´es ´el´ementaires du cosinus et du sinus, et aux transformations de cosinus en sinus et r´eciproquement.
Propri´et´e (formules de duplication) :Soitx∈R.
1. cos(2x) = cos2(x)−sin2(x) 2. sin(2x) = 2 sin(x) cos(x)
Preuve :Les formules de duplication se d´eduisent des formules d’addition (en posanta=b=xdans la formule ad hoc).
Remarque :Un des int´erˆets de ces formules de duplication est qu’elles permettent de calculer des primitives de cos2 et donc de sin2 surR(cf. exercice ci-dessous).
⋄ Exercice 12
1. (a) Exprimer cos2(x) en fonction de cos(2x) pour toutx∈R.
(b) En d´eduire une primitive de la fonction cos2 surR.
2. Donner une primitive de la fonction sin2 surR.
6 Les nombres complexes de la forme e
iθ, avec θ ∈ R
D´efinition (eiθ, avec θ∈R) :Soitθ∈R. On d´efinit le nombre complexeeiθ par : eiθ= cos(θ) +isin(θ).
Propri´et´e (interpr´etation g´eom´etrique de eiθ, avec θ∈R) :Soit θ∈R. Alors le point du planM(eiθ) associ´e `a eiθ est le point du cercle trigonom´etrique qui est tel queθ est une mesure de l’angle (−→i ,−−−−−−→
OM(eiθ)).
C’est aussi le pointm(θ) associ´e `a θpar l’enroulement de la droite r´eelle autour du cercle trigonom´etrique.
1
−1
1 2
−1
θ
b
O −→i
−
→j
bM(eiθ) =m(θ)
⋄ Exercice 13 :Calculer les formes alg´ebriques deei0,eiπ,eiπ2 eteiπ3 et placer les points d’affixes correspondantes sur le cercle trigonom´etrique.
Th´eor`eme 7 (propri´et´es des nombreseiθ, avec θ∈R) 1. Pour toutθ∈R:
Re(eiθ) = cos(θ) et Im(eiθ) = sin(θ).
2. Pour toutθ∈R:
|eiθ|= 1.
3. Pour toutθ∈R:
1
eiθ =e−iθ. 4. Pour toutθ∈R:
eiθ=e−iθ. 5. Pour toutθ1, θ2∈R:
ei(θ1+θ2)=eiθ1eiθ2.
⋄ D´emonstration
⋄ Exercice 14 :R´esoudre l’´equation :
eiπ3 z=eiπ6 d’inconnuez∈C.
7 Les formules d’Euler
Th´eor`eme 8 (formules d’Euler) :Soitθ∈R. On a ; cos(θ) = eiθ+e−iθ
2 et sin(θ) = eiθ−e−iθ 2i .
⋄ D´emonstration
⋄ Exemple 8
1. (a) Soitx∈R. Lin´eariser cos3(x), i.e. ´ecrire cos3(x) comme une somme de termes du type :acos(kx) et bsin(kx) (a, b∈Q,k∈N).
(b) En d´eduire une primitive de cos3 surR.
2. (a) Soitx∈R. Lin´eariser sin3(x).
(b) En d´eduire une primitive de sin3 surR.
♥ Remarque : Plus g´en´eralement, les formules d’Euler permettent de lin´eariser les puissances de cosinus et de sinus, i.e. d’´ecrire cosn(x) et sinn(x) (x∈R, n∈N) sous la forme d’une somme de termes du type :acos(kx) et bsin(kx) (a, b∈Q, k∈N). Ceci est d’un grand int´erˆet dans la recherche de primitives de puissances de cos ou de puissances de sin surR.
8 Les formules de de Moivre
Th´eor`eme 9 (formules de de Moivre) :Soitθ∈R,n∈N. On a ;
cos(nθ) =Re((cos(θ) +isin(θ))n) et sin(nθ) =Im((cos(θ) +isin(θ))n).
⋄ D´emonstration
⋄ Exemple 9
1. (a) Soitx∈R. Exprimer cos(4x) comme un polynˆome en cos(x) et en sin(x), i.e. comme une somme de termes du type :acosk(x) etbsink(x) (a, b∈Q,k∈N).
2. (a) Soitx∈R. Exprimer sin(4x) comme un polynˆome en cos(x) et en sin(x).
Remarque : Plus g´en´eralement, les formules de de Moivre permettent d’´ecrire cos(nx) et sin(nx) (x ∈ R, n∈N) comme un polynˆome en cos(x) et en sin(x).
9 Nombres complexes de module 1
On admet le th´eor`eme suivant qui joue un rˆole crucial dans la suite. Il permettra de d´efinir une autre forme que la forme alg´ebrique pour un nombre complexe (non nul) : la forme trigonom´etrique.
Th´eor`eme 10 (revˆetement du cercle par la droite) :Soitz un nombre complexe de module 1.
1. Existence
Il existe un r´eelθtel que z=eiθ.
2. Unicit´e `a un multiple entier de2π pr`es
Si θ1 et θ2 sont deux nombres r´eels tels que z = eiθ1 et z =eiθ2, alors θ1 et θ2 diff`erent d’un multiple entier de 2π, i.e. : il existek∈Ztel queθ2=θ1+ 2kπ.
Eclairage g´´ eom´etrique sur le th´eor`eme 10
1. Existence : Soitz un nombre complexe de module 1 et soit z =a+ib(a, b ∈R) sa forme alg´ebrique.
Alors le pointM(a, b) est sur le cercle trigonom´etrique (carOM =√
a2+b2= 1). Siθest une mesure de l’angle (−→i ,−−→
OM), alors on aa= cos(θ) etb= sin(θ) et par suite : z=a+ib= cos(θ) +isin(θ) =eiθ.
1
−1
1 2
−1
θ
b
O −→i
−
→j
bM(a, b) =m(θ) b
a
2. Unicit´e `a un multiple de 2π pr`es :Soitz un nombre complexe de module 1 et soientθ1 etθ2 deux nombres r´eels tels que :z=eiθ1 et z=eiθ2.
• Alors les points M(eiθ1) etM(eiθ2) du cercle trigonom´etrique sont confondus.
• MaisM(eiθ1), qui est par d´efinition le point du plan d’affixeeiθ1, est ´egalement le pointm(θ1) du cercle trigonom´etrique associ´e au r´eelθ1par l’enroulement de la droite r´eelle autour du cercle trigonom´etrique.
• De mˆemeM(eiθ2) est le point m(θ2) du cercle trigonom´etrique associ´e au r´eelθ2 par l’enroulement de la droite r´eelle autour du cercle trigonom´etrique.
• Des trois points pr´ec´edents, on d´eduit que les r´eels θ1 et θ2 diff`erent d’un certain nombre de fois la circonf´erence du cercle trigonom´etrique. Enfin, le cercle trigonom´etrique est de rayon 1, donc de circonf´erence 2π.
Exemple 10 :Le nombre complexe 3 5+i4
5 est de module 1. Il existe doncθ∈Rtel que 3 5+i4
5 =eiθ, d’apr`es le th´eor`eme 10. On verra, dans un prochain chapitre, comment l’on peut donner une valeur approch´ee d’unθ v´erifiant 3
5+i4 5 =eiθ.
Remarque :Le th´eor`eme 10 nous donne un r´esultat d’existence et d’unicit´e, modulo un multiple entier de 2π.
En pratique, on rencontrera souvent des nombresaet bv´erifianta2+b2= 1 qui sont des valeurs remarquables de cosinus et de sinus. On pourra alors, dans ces situations concr`etes, donner unθ explicite.
10 Formes trigonom´ etriques et arguments d’un nombre complexe non nul
Th´eor`eme/D´efinition 11 (formes trigonom´etriques d’un nombre complexe non nul) :Soitz∈C∗. Alors il exister∈]0,+∞[ et θ∈Rtels que :
z=reiθ.
1. On dit quereiθ est une forme trigonom´etrique1du nombre complexe z.
2. On a r=|z|, i.e.rest ´egal au module dez.
⋄ D´emonstration
Remarque : Soitz ∈C∗. Alors si z=reiθ (r∈]0,+∞[ et θ∈ R), alorsr est unique (c’est le module de z), maisθne l’est pas. En effet, on a aussi :
. . .=rei(θ−4π)=rei(θ−2π)=z=rei(θ+2π)=rei(θ+4π)=. . .
Plus g´en´eralement, on a z=rei(θ+2kπ), aveck∈Z et ce sont les seules formes trigonom´etriques dez, comme nous l’assure le th´eor`eme suivant.
1. Il existe d’autres terminologies. Ici, on utilise celle de forme trigonom´etrique, mais on peut aussi rencontrer celles de forme exponentielle et de forme polaire.
Th´eor`eme/D´efinition 12 (arguments d’un nombre complexe non nul) :Soitz∈C∗.
1. Soientreiθ1 etreiθ2 deux formes trigonom´etriques dez(r∈]0,+∞[ etθ1, θ2∈R). Alorsθ1etθ2 diff`erent d’un multiple entier de 2π, i.e. il existe k∈Ztel que θ2=θ1+ 2kπ.
2. Soitreiθ (r∈]0,+∞[ etθ∈R) une forme trigonom´etrique dez. On dit queθest un argument dez et on le note arg(z). Commeθn’est d´efini qu’`a un multiple entier de 2πpr`es, on ´ecrit :
arg(z) =θ+ 2kπ, aveck∈Z.
⋄ D´emonstration
Propri´et´e (interpr´etation g´eom´etrique d’un argument d’un nombre complexe non nul) :Soitz∈C∗. Alors arg(z) est une mesure de l’angle (−→i ,−−−−→
M´ethode pour passer de la forme alg´ebrique `a une forme trigonom´etrique : Soit z = a+ib un nombre complexe donn´e sous forme alg´ebrique (a, b ∈ R). Pour calculer une forme trigonom´etrique de z, on peut proc´eder comme suit.
1. On calcule le module de z. Pour m´emoire, on a|z|=√
a2+b2. On connaˆıt donc d´ej`ar=|z|. 2. On calcule un argument de z, en r´esolvant le syst`eme d’´equations trigonom´etriques :
(S) :
d’inconnueθ∈R, en utilisant, dans les cas≪concrets≫, les valeurs remarquables de cosinus et sinus.
3. On conclut : une forme trigonom´etrique dez estreiθ, avecr=|z|et θsolution de (S).
⋄ Exemple 11 :Soient les nombres complexes :
z1= 3 ; z2=−2 ; z3=i ; z4=−3i ; z5= 2 + 2i.
Donner une forme trigonom´etrique dez1,z2,z3,z4, z5et (z5)2. Th´eor`eme 13 (propri´et´es des arguments) :
1. ∀z∈C∗ arg (z) =−arg(z) + 2kπ, aveck∈Z
⋄ D´emonstration
⋄ Exercice 15 :Soient les nombres complexes : z1= 4−4i√
3 ; z2=−1 +i.
1. D´eterminer une forme trigonom´etrique de z1et dez2. 2. En d´eduire une forme trigonom´etrique dez1, 1
z2
,z1z2 et z1
z2
.
11 Synth` ese sur trois aspects des nombres complexes
On a vu trois aspects des nombres complexes :
• la forme alg´ebrique ;
• l’interpr´etation g´eom´etrique ;
• les formes trigonom´etriques.
Le diagramme ci-dessous r´esume les liens f´econds qui existent entre ces trois aspects.
b
a
Forme alg´ebrique:z=a+ib, avecaetbr´eels PointM d’affixez6= 0
aest l’abscisse deM best l’ordonn´ee deM
Forme trigonom´etrique:z=reiθ, avecrdans ]0,+∞[ etθdansR Interpr´etation g´eom´etrique
r=OM
θest solution dansRde
12 R´ esolution dans C des ´ equations du second degr´ e ` a coefficients
r´ eels
El´´ ements de d´emonstration :On commence par mettre le trinˆome du second degr´e sous forme canonique :
Ensuite, on cherche `a ´ecrire ∆, qui est r´eel, comme un carr´e dansC.
• Si ∆ est positif, alors√
On applique alors la troisi`eme identit´e remarquable :
A2−B2= (A−B)(A+B)
pour obtenir le r´esultat. La r´edaction de la fin de la preuve est laiss´ee en exercice.
⋄ Exercice 16 :R´esoudre dansCl’´equation :
(E) : x2+x+ 1 = 0 et donner une forme trigonom´etrique de chacune des solutions.
13 Somme et produit des racines d’un trinˆ ome du second degr´ e ` a coefficients r´ eels
Th´eor`eme 15 (somme et produit des racines d’un trinˆome du second degr´e `a coefficients r´eels) : Soitax2+bx+c un trinˆome du second degr´e `a coefficients r´eels. Alors :
x1 etx2 sont solutions de ax2+bx+c= 0 ⇐⇒ x1+x2=−b
a et x1x2= c a.
⋄ D´emonstration
Application typique n˚1 :Connaissant une racine deax2+bx+c= 0 (par exemple une ≪´evidente≫), on en d´eduit l’autre, `a l’aide dec eta.
Par exemple, on remarque que 1 est solution de 2x2+ 43x−45 = 0. Comme le produit des racines vaut−45 2 (cf. th´eor`eme 15), on en d´eduit,sans calcul, que−45
2 est l’autre racine.
Application typique n˚2 :R´esolution de syst`emes du type
x1+x2=S
x1x2=P d’inconnue (x1, x2), o`u S et P sont des r´eels donn´es.
D’apr`es le th´eor`eme 15,x1 etx2 sont solutions de
x1+x2=S
x1x2=P si et seulement six1 et x2 sont racines de x2−Sx+P. On est donc ramen´e `a r´esoudre une ´equation du second degr´e `a coefficients r´eels, ce que l’on sait faire (cf. th´eor`eme 14).
Etudions par exemple le syst`eme (S´ ) :
x1+x2= 15 x1x2= 26 .
On a :
x1+x2= 15
x1x2= 26 ⇐⇒ x1et x2 solutions dex2−15x+ 26 = 0
⇐⇒ (x1= 2 etx2= 13) ou (x1= 13 etx2= 2).
14 Equations trigonom´ ´ etriques
14.1 Cas d’´ egalit´ e de cosinus, cas d’´ egalit´ e de sinus
Th´eor`eme 16 (cas d’´egalit´e de cosinus, cas d’´egalit´e de sinus) :Soientxet adeux nombres r´eels.
• cos(x) = cos(a) ⇐⇒
x=a+ 2kπ, aveck∈Z ou
x=−a+ 2kπ, aveck∈Z
• sin(x) = sin(a) ⇐⇒
x=a+ 2kπ, aveck∈Z ou
x=π−a+ 2kπ, aveck∈Z
Remarque :Ces r´esultats peuvent se retrouver `a l’aide du cercle trigonom´etrique.
⋄ Exercice 17
1. R´esoudre l’´equation
(E1) : sin(3x) =−
√3 2 d’inconnuex∈]−π, π].
2. R´esoudre l’´equation
(E2) : cos2(x)−sin2(x) = 1 2 d’inconnuex∈R.
14.2 Etude de l’´ ´ equation a cos(x) + b sin(x) = c, avec a, b ∈ R
∗et c ∈ R
Soita, b, c∈R, aveca, b∈R∗ etc∈R.
Une m´ethode de r´esolution de l’´equation acos(x) +bsin(x) =c d’inconnue x∈R 1. On introduit le nombre complexez=a+ib.
2. On calcule une forme trigonom´etrique du nombre complexe (∗) z=a+ib
donn´e sous forme alg´ebrique. En suivant la m´ethode expos´ee page 12, on ´ecritz sous la forme (∗∗) z=reiθ
avecr∈]0,+∞[ et θ∈R. Dereiθ =r(cos(θ) +isin(θ)), (∗) et (∗∗), on d´eduit : a=rcos(θ) et b=rsin(θ).
3. On injecte ces expressions deaetben fonction deretθdans l’´equation initiale et on applique une formule d’addition (cf. th´eor`eme 6).
acos(x) +bsin(x) =c ⇐⇒ rcos(θ) cos(x) +rsin(θ) sin(x) =c
⇐⇒ cos(θ) cos(x) + sin(θ) sin(x) = c
r (division parr6= 0 de chacun des membres)
⇐⇒ cos(x−θ) = c
r (cf. formule d’addition)
En pratique, c
r est souvent une valeur remarquable de cosinus et on est alors ramen´e `a un cas d’´egalit´e de deux cosinus, que l’on sait traiter (cf. th´eor`eme 16).
⋄ Exercice 18 R´esoudre l’´equation
(E) : √
6 cos(x) +√
2 sin(x) =√ 2 d’inconnuex∈R.