Un ou deux exercices sur les matrices symétriques

P UBLICATIONS DU D ÉPARTEMENT DE MATHÉMATIQUES DE L ^YON

L. L ^ESIEUR

Un ou deux exercices sur les matrices symétriques

Publications du Département de Mathématiques de Lyon, 1988, fascicule 3B , p. 1-5

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U N O U D E U X E X E R C I C E S S U R L E S M A T R I C E S S Y M E T R I Q U E S par

L. L E S I E U R

Soit A G Mⁿ( K ) u n e m a t r i c e c a r r é e n x n à e n t r é e s d a n s un c o r p s c o m m u t â t i f K q u e l c o n q u e . On sait que A et sa t r a n s p o s é e **A sont s e m b l a b l e s d a n s le g r o u p e l i n é a i r e G L ( n , K ) . Je v a i s d é m o n - trer que la m a t r i c e de p a s s a g e peut ê t r e c h o i s i e s y m é t r i q u e .

T H E O R E M E 1. A étant une matrice n x n s u r un corps commutatif K quelconque ^v ' , A sa transposée, il existe une matri ce symétrique inversible S G Mⁿ( K ) telle que :

tA = S^-1 A S .

La d é m o n s t r a t i o n p a s s e par la f o r m e r é d u i t e de J o r d a n . P r e n o n s d ' a b o r d le cas d'un c o r p s a l g é b r i q u e m e n t c l o s .

K a l g é b r i q u e m e n t c l o s . A est s e m b l a b l e , d a n s le g r o u p e l i n é a i r e G L ( n , K ) à sa f o r m e r é d u i t e de J o r d a n f o r m é e de b l o c s d i a g o n a u x :

f À O . . . O O \

\

1 A . . . O O

J^p = O l \ - • • ° ° > A G K . 6 6^XX^ \^Sx X ^v 6

^ O O ... 1 À ^J

C o n s i d é r o n s la m a t r i c e c a r r é e s y m é t r i q u e i n v e r s i b l e :

r O O ... O ^ ^ l >

O O ... 1 o

sp = : :

6 i . . . 6 ô

^ o . . . o o ,

qui est s y m é t r i q u e et i n v e r s i b l e : S^p x S^p = I^p .

(¹) On le d é m o n t r e en r e m a r q u a n t que A et ^A ont les m ê m e s i n v a r i a n t s . (²) La c a r a c t é r i s t i q u e peut ê t r e non n u l l e et m ê m e é g a l e à 2.

1

(Si u est 1 ' e n d o m o r p h i s m e a s s o c i é on a : u ( e ^ ) = ^{e n}_j_» i ⁼ 1 » 2 , . . . ,p, d'où u²( e . ) = e . ) . Il en r é s u l t e S "¹ = S_ . Je dis que S x j est

v 1 ' 1 ⁷ P P P P

s y m é t r i q u e . En e f f e t :

f O O ... 1 A \

O O . . ^ O 0 O y\. y/ O O 1 - X ... 6 6

y

, À ' O ... O O j On en d é d u i t : ^ ( S _ J ) = S_ J_ = ^tJ _ S_ d'où :

v P P ' P P P P

1 1J = S "¹ J S_ . P P P P

En j u x t a p o s a n t les b l o c s d i a g o n a u x J ^ et on en d é d u i t la r e l a t i o n : (1) ^tJ = S^-1 J S, S² = I, S s y m é t r i q u e

Le t h é o r è m e v a en r é s u l t e r a i s é m e n t en r e v e n a n t aux m a t r i c e s d o n n é e s A et ^tA

J = P_1 A P, P e G L ( n , K )

tJ = ( ^ P ) ( ^ A ) (^tP "¹) ^tA = (^tP ) "¹(^tJ )^tP , d'où a v e c (1)

tA = ^tP "¹ S "¹ J S = ^tP "¹ S^-1 P^-1 A P S ^tP , et en p o s a n t X ⁼ P S ^P, est s y m é t r i q u e ( == 2 ) et

= S ¹ A 2 > S s y m é t r i q u e i n v e r s i b l e .

K q u e l c o n q u e . En c o n s i d é r a n t la c l ô t u r e a l g é b r i q u e K de K, le r é s u l t a t p r é c é d e n t p r o u v e l ' e x i s t e n c e de £ s y m é t r i q u e i n v e r s i b l e d a n s G L ( n , K ) , m a i s peut ê t r e pas d a n s G L ( n , K ) . (C'est v r a i c e p e n - dant p o u r K = IR , K = (C ) .

La d é m o n s t r a t i o n s u i v a n t e ne d é p e n d pas de la n a t u r e de K. E l l e s ' a p p u i e sur la f o r m e r a t i o n n e l l e de J o r d a n p o u r A, c o n s t i t u é e de

(1) C e t t e é g a l i t é m ' a été s i g n a l é e par M. C o n t e s s a . E l l e f i g u r e d a n s les s o l u t i o n s d ' e x e r c i c e s du livre de B e r t i n [1] par M . P . M a l l i a v i n et A. W a r u s f e l d [7] p . 5 8 . Elle est é g a l e m e n t s u g g é r é e d a n s les e x e r c i c e s de B o u r b a k i § 5 e x e r c i c e 2 et A p p e n d i c e , e x e r c i c e s 1,a et l,b.

b l o c s d i a g o n a u x

f O O ... O -cxp >

1 ^ ^ N D . . . O -et ^A

\ \ ^P

O 1 \ . . . O -ex ⁰

J = \ \ ^p~²

: : \ \ :

O O . . N^x O -cx²

^ O O ... -cx1 j

où Jp est la m a t r i c e c o m p a g n o n du p o l y n ô m e c a r a c t é r i s t i q u e f ( x ) = d e t ( x I ^p- J^p ) = x^p + a¹ x^{p _1} + . . . + o c^p_¹ x + cx^p G K [ x ] . Nous a l l o n s p r e n d r e une m a t r i c e s y m é t r i q u e S^p i n v e r s i b l e de f a ç o n que S p J^p soit s y m é t r i q u e . A p r è s q u e l q u e s t â t o n n e m e n t s on y a r r i v e au m o y e n de 1 ' i d e n t i t é s u i v a n t e :

f \ f \

O O O ... O 1 O ^x O ... O -et

\ P

O O O ... 1 " fi1 1 • * * ° - < xp - l

O O O .^^^ ^1 ' ^ 2 O 1 ^^X^^^. O ^{_ ( X}p - 2

O 1 3 p _² O O . . . \ ^ 0 -<x²

i ' ^/ P ^{1 /} 3 ² ^ - - . 3 ^p ^ T 3^p_ ! o O ... 1 X - c x¹

V 7 V 7

> ^ ^ ^ V '

1- Pl p p - ^ p - l V Pi (3^{2 p}3 • • • P P^{- 1 p P} '

où les > i — 1 » 2 , . . . , p , sont liés aux a. ^ par les r e l a t i o n s du s y s t è m e l i n é a i r e t r i a n g u l a i r e :

/

&¹ + otj = O

3² + a¹| 3¹ + a² = O

P³ + cx¹|3² + a²( 3¹ + «³ = O (T) < .

P p - 1 ^{+ a}l P p - 2 ^{+ a}2 P p - 3 ⁺ ••• ^{+ a}p - l = ° Pp + al P p - l + ••• + % = °

Sp est s y m é t r i q u e et i n v e r s i b l e (det S^p = ( — 1 ) ^ p o u r n = 2p ou n = 2p+l ) et S^p J^p est s y m é t r i q u e d'où ^tjp ^{= S}p ^J p ^{S p 1} •

On t e r m i n e la d é m o n s t r a t i o n du t h é o r è m e comme p l u s haut : 4- "1 1 t

A = X A £ , £ = P S P s y m é t r i q u e i n v e r s i b l e .

R e m a r q u e . Les f o r m u l e s T r e s s e m b l e n t aux f o r m u l e s de N e w t o n qui e x p r i m e n t les s o m m e s de N e w t o n en f o n c t i o n des f o n c t i o n s s y m é t r i q u e s é l é m e n t a i r e s . E l l e s sont m ê m e p l u s s y m p a t h i q u e s car la c a r a c t é r i s t i q u e du c o r p s K n ' i n t e r v i e n t pas et les @^ (i = 1,...,p) sont des g é n é - r a t e u r s de l ' a l g è b r e des p o l y n ô m e s s y m é t r i q u e s en x ^ , i = 1, . . . ,p, au m ê m e t i t r e que les p o l y n ô m e s s y m é t r i q u e s é l é m e n t a i r e s . Si on a s s o c i e aux 3^ le p o l y n ô m e g ( x ) = x^p -+- 3¹x^{p _1} . . . + ^ p - i^x 3^p la c o r r e s - p o n d a n c e e n t r e les p o l y n ô m e s f et g est s y m é t r i q u e .

Le t h é o r è m e 1 e n t r a î n e le s u i v a n t :

T H E O R E M E 2. Toute matrice A G Mⁿ( K ) est un produit A = S S ' de deux matrices n x n symétriques, l'un des facteurs (au choix) pou- vant être pris inversible. Si A est inversible, S et S' Je sont aussi

En e f f e t , c o n s i d é r o n s une m a t r i c e s y m é t r i q u e i n v e r s i b l e S t e l l e que A S = Y. soit s y m é t r i q u e ( T h é o r è m e 1 a v e c £ = S *~ A ) . On en d é d u i t A = £ S ¹ (produit de 2 m a t r i c e s s y m é t r i q u e s a v e c un d e u x i è m e f a c t e u r i n v e r s i b l e ) . De m ê m e

A = S S^-1 A = A avec £ ' = S^-1 A = ^tA S^-1 s y m é t r i q u e . U n e a u t r e f o r m u l a t i o n du t h é o r è m e 2 est la s u i v a n t e :

C O R O L L A I R E 1. Soit E l'espace vectoriel sur K des matrices n x n symétriques. L'application (A,B) > A B est une application bili- néaire surjective de E x E sur Mⁿ( K ) .

" m

Il s e r a i t i n t é r e s s a n t de d o n n e r un p r o c é d é de c a l c u l p o u v a n t ê t r e p r o g r a m m é sur m a c h i n e . Un a u t r e p r o b l è m e , s u g g é r é par le P r o f e s s e u r G i u s e p p e V a l i a ( U n i v e r s i t a di G e n o v a ) , est une e x t e n s i o n p a r t i e l l e du r é s u l t a t l o r s q u e K est r e m p l a c é par un a n n e a u l o c a l .

4

BIBLIOGRAPHIE

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(1) D a n s (1,b) on d e m a n d e de d é m o n t r e r que sur $$ n'est pas s e m b l a b l e à sa t r a n s p o s é e .

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