Un problème combinatoire de la théorie des codes

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Un problème combinatoire de la théorie des codes

Publications du Département de Mathématiques de Lyon, 1984, fascicule 6B

« Théorie des langages et complexité des algorithmes », , p. 115-120

<http://www.numdam.org/item?id=PDML_1984___6B_A6_0>

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(2)

U N P R O B L E M E C O M B I N A T O I R E D E LA T H E O R I E D E S C O D E S par Jean-Marie B O E

Le but de cet article est de m o n t r e r l'équivalence entre un problème c o m b i n a t o i r e et une conjecture de la théorie des codes à

longueur v a r i a b l e , p u i s d'examiner l'algorithmique du problème combi natoi r e .

A * désigne l'ensemble des m o t s (monoide libre) sur l'alphabet A . Pour une partie X de A * , X * désigne le sous-monoide engendré par X:

ensemble des m o t s é c r i t s avec les m o t s de X.

X est un code si tout produit de m o t s de X se factorise de m a n i è r e unique en ces m ê m e s m o t s :

x² . . . xⁿ —xj x£ . . . x^ où X j , xj' € X entra i ne n=m et X j =x { pour tou t i . En d'autres t e r m e s , X*est un m o n o i d e libre sur X.

N o u s ne c o n s i d é r e r o n s ici que des c o d e s finis maximaux (pour 1'i ne 1 us i o n ) .

Pour étudier les p r o p r i é t é s de X, nous r e p r é s e n t o n s le m o n o i d e libre A par des r e l a t i o n s sur un ensemble E = [ l . . n ] . /x^% d é s i g n e r a un m o r p h i s m e (voir exe£\ple p l u s loin) qui associe à tout mot de A une relation sur E . La condition de codicité se traduit par une

c o n d i t i o n de n o n - a m b i g u i t é du produit des r e l a t i o n s définie c i - a p r è s : Un produit de deux r e l a t i o n s r et s (matrices booléennes) est n o n - a m b i g u si ( i , j ) é r s entraine l'existence d'un unique k tel que (i,k)£r et ( k^fj ) é s . Le lecteur r e m a r q u e r a que la condition suivante est é q u i v a l e n t e : r et s étant des m a t r i c e s à c o e f f i c i e n t s e n t i e r s 0 ou 1, le produit rs est aussi à c o e f f i c i e n t s 0 ou 1.

Un m o n o i d e de r e l a t i o n s n o n - a m b i g u est un m o n o i d e où le produit est non-ambî g u .

La c o n d i t i o n de finitude nécessite la définition s u i v a n t e : Une relation sur £l..n] est 1-triangu1 aire si les é l é m e n t s (i,j) de la relation vérifient i<j ou j = l .

Enfin n o u s ne c o n s i d é r e r o n s que d e s m o n o i d e s de r e l a t i o n s

t r a n s i t i f s : tout couple (i,j> est présent d a n s une des r e l a t i o n s du m o n o i d e . Il v i e n t :

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T h é o r è m e 1 [BePe] : Une partie X de A* est un code maximal -fini ssi il existe une r e p r é s e n t a t i o n yn^x de A* par d e s r e l a t i o n s sur

[l . . n] vér i f i an t:

i - X* est l'ensemble des m o t s qui envoient 1 sur 1:

X * = {x£A* | <1 , l)£yU^x<x)}

i i - yU,^x(A*> est un m o n o i d e de r e l a t i o n s n o n - a m b i g u . iii- la relation vide n'appartient pas à j*^< A ) . iv- y^^x<a) est 1 - tri angu 1 a i re pour a€A.

I n d i c a t i o n s de p r e u v e : Soit X un code maximal f i n i , p o s o n s : S = { (u,v> £ A * x A * | u v £ X , u * l * v } U { ( l , 1 ) }

On identifie S à E en identiant ( 1 , 1 ) à 1 et en n u m é r o t a n t les (u,v>

de telle sorte que (u,v) précède (u',v'> si u v = u ' v ' et u p l u s court

c'^{u e M} ' •*

Pour m£A* , soit /x^x<m) = {< < u , v ) , ( u ' , v ' ) )£SxS | u m € X ^ u^/ et m v ' £ v X } On vérifie a l o r s que^{y t A}^x satisfait les c o n d i t i o n s i-iv du t h é o r è m e .

R é c i p r o q u e m e n t , les c o n d i t i o n s i et ii assurent que X * est un s o u s - m o n o i d e libre de A * , la c o n d i t i o n iii la maximal ité du code et la c o n d i t i o n iv sa f i n i t u d e .

Par la suite n o u s d é s i g n e r o n s par m . r . n . a . un m o n o i d e de r e l a t i o n s n o n - a m b i g u transitif ne c o n t e n a n t p a s la r e l a t i o n v i d e . Par a i l l e u r s , étant donné un code maximal fini X , yu^x d é s i g n e r a une r e p r é s e n t a t i o n vérifiant les p r o p r i é t é s du t h é o r è m e .

I-BOITES ET M O N O I D E DE R E L A T I O N S N O N - A M B I G U .

Etant donnée une famille L de p a r t i e s d'un ensemble E , une section c de L est une partie de E qui intersecte tous les é l é m e n t s de L en un point et un s e u l .

On désigne par boite un couple (L,C) de f a m i l l e s de p a r t i e s de E tel que :

i- L et C r e c o u v r e n t E ;

ii- toute section de L appartient à Cj toute section de C a p p a r t i e n t à L.

Il est commode de représenter une boite par un tableau T dont l'élément T ( i , j ) est l'intersection du ième élément de L et du jème élément de C.

e x e m p l e : E « { l, 2 , 3 } L = { { 1, 3 } , { 2 } } C - { { l, 2 } , { 3 } } ce qui se r e p r é s e n t e par la boite s u i v a n t e , indicée par L x C :

{ 2 }

1

2

1

2 J

Un tableau d ' é l é m e n t s de E est une boite s'il v é r i f i e :

i- si un élément est présent en <i,j> et <k,l) a l o r s il apparait en (i,l) (condition de s e c t i o n ) ;

ii- toutes lignes et toutes c o l o n n e s sont d i f f é r e n t e s (lignes et c o l o n n e s r e p r é s e n t e n t d e s e n s e m b l e s qui seraient égaux si c e l a n'étai t ) ;

iii- le tableau est m a x i m a l , i.e. on ne peut rajouter ni ligne ni c o l o n n e .

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e x e m p l e : 1 2 n'est pas une boite sur { 1 , 2 , 3 , 4 } car on peut 1<

r — t —

1

3

1

4 | compléter e n :

1 ~2~] ^ _ ^r _ ^r _ ^ _ ^

J 3 4_ o u 1 1 1 2 1 1 1 2 J 4_

1

3

1

4

1

4 [ 3 ~

3

1

2

1

C o n s i d é r o n s a l o r s l'ensemble L.C = ( l x c | 1€L c Ç C } . On a:

P r o p o s i t i on 1 : L'ensemble des s e c t i o n s de L.C est un m . r . n . a . Pour prouver cette p r o p o s i t i o n , é t a b l i s s o n s le

L e m m e : L'ensemble des s e c t i o n s de L.C est égal à l'ensemble des r e l a t i o n s qui envoient L dans L et C d a n s C:

Sect(L.C) = { r | l r £ L , r c £ C }

P r e u v e : Soit r d a n s Sect(L.C) et 1 d a n s L; pour tout c de C, il existe un unique (i,j) de lxcAr? d'où 1r intersecte c en un seul point j et appartient donc à L. De m a n i è r e a n a l o g u e , on m o n t r e que rcÇC

R é c i p r o q u e m e n t , soient 1 dans L et c dans C; 1r étant dans L, il intersecte c en un seul point j ; de même rc et 1 s'intersec tent en i;

(i,j) est donc l'unique point d'intersection de r et lxc.

Preuve de la p r o p o s i t i o n 1: Le lemme prouve que Sect(L.C) est un m o n o i d e . M o n t r o n s que le produit est n o n - a m b i g u : soient r et s d a n s Sect(L.C) et <i,j) un élément de r s ; p r e n o n s un 1 contenant i et un c contenant j ; Ir et se s'intersectent en k qui est l'unique point tel que (i,k>£r et < k , j ) £ s .

Par a i l l e u r s la r e l a t i o n vide ne peut appartenir à S e c t ( L . C ) . Enfin r e m a r q u o n s que les r e l a t i o n s cxl pour c dans C et 1 dans L a p p a r t i e n n e n t à S e c t < L . C > ; ceci assure la transitivité du m o n o i d e puisque L et C recouvrent E .

C o n s i d é r o n s m a i n t e n a n t le treillis T d e s m . r . n . a . sur un ensemble E , o r d o n n é s par inclusion. On a:

Proposi t i on 2: L'ensemble des é l é m e n n t s m a x i m a u x du treillis T est en b i j e c t i o n avec l'ensemble d e s b o i t e s sur E .

E l é m e n t s de p r e u v e : R e m a r q u o n s tout d ' a b o r d que les r e l a t i o n s c x l , appartenant à S e c t ( L . C ) , en c o n s t i t u e n t l'idéal minimal car e l l e s sont de rang 1. Un tel idéal est maximal pour l'inclusion d'après la m a x i m a l i t é des b o i t e s . Une étude p l u s détaillée des

m . r . n . a . [BOE 76} m o n t r e que tout m o n o i d e de ce type se plonge dans un m . r . n . a . possédant un idéal minimal de rang 1 dont les é l é m e n t s sont du type cxl avec c € C 1€L' . On plonge alors L' et C d a n s des f a m i l l e s L et C c o n s t i t u a n t une boite L.C et on vérifie que les

r e l a t i o n s du m o n o i d e a p p a r t i e n n e n t à S e c t ( L . C ) . II-CODES ET B O I T E S

L e s p r o p o s i t i o n s p r é c é d e n t e s fournissent une m é t h o d e de c o n s t r u c t i o n de c o d e s f i n i s m a x i m a u x à partir d'une b o i t e : on recherche les r e l a t i o n s 1 -triangu1 a i r e s s e c t i o n s de la boite et on associe à chaque lettre de l'alphabet une de ces r e l a t i o n s .

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e x e m p l e : soit la boite _J 3 12 12

L.C = {{<1 ,1),<1 ,2),(3,1),(3,2)} , (<1 ,2),(1 , 3 ) , ( 3 , 2 ) , < 3 , 3 ) } , { ( 2 , 1 ) , ( 2 , 2 ) } , { ( 2 , 2 ) , ( 2 , 3 ) } }

Les s e c t i o n s 1 -triangu1 a i r e s de L.C s o n t :

^ = {(1 ,1),(1,3),(2,1),(2,3)}

r * { ( 1 , 2 ) , ( 2 , 1 ) , ( 2 , 3 ) } r⁵ = { ( 3 , 1 ) ,(1 ,3) ,(2,1) ,(2,3)}

En c h o i s s i s a n t /^(a) = r^A , ^U^(b) = on o b t i e n t : X = { a a , a b , b b , a a b , a b b }

On r e m a r q u e r a que r^ = { l , 2 ^ x { l , 3 } , c'est à dire le produit d'une colonne et d'une ligne de la b o i t e .

III-CODES ET F A C T O R I S A T I O N

Etant d o n n é e s deux p a r t i e s X et Y de A , on dit que le produit XY est n o n - a m b i g u si pour tout mot m de XY il existe un unique

couple (x,y)6XxY tel que m = x y .

Conjecture de la f a c t o r i s a t i o n :

T o u t code -fini maximal factorise le m o n o i d e l i b r e , i.e. il existe deux p a r t i e s finies P et Q de telles que A * = QX*P où le produit est n o n - a m b i g u .

Si à toute partie L de A on associe sa série c a r a c t é r i s t i q u e IL, élément de Z < < A > > , ceci s'écrit = Q X * P et en o b s e r v a n t que

X* se 1/(1-X) si X est un c o d e , on obtient la f o r m u l a t i o n é q u i v a l e n t e : X.-1 = P(A-1 )Q_

R é c e m m e n t , Reutenauer [jReu 84] a m o n t r é que le polynôme X>1 se factorise en R ( A - 1 ) S , R et S étant des p o l y n ô m e s à c o e f f i c i e n t s e n t i e r s (la conjecture spécifie que les c o e f f i c i e n t s sont égaux à 0 ou 1 ) . En f a i t , son résultat est p l u s p r é c i s : il é t e n d aux

p o l y n ô m e s en v a r i a b l e s n o n - c o m m u t a t i v e s un résultat de

S c h u t z e n b e r g e r [Sch 65] concernant les p o l y n ô m e s c o m m u t a t i f s a s s o c i é s aux c o d e s .

IV-BOITES ET F A C T O R I S A T I O N

On dira qu'un m . r . n . a . est 1-triangu1able s'il est p l o n g e a b l e d a n s un m . r . n . a . possédant une relation 1-triangu1 aire de rang 1.

T h é o r è m e 2: Un code maximal X fini factorise le m o n o i d e libre ssi il existe une r e p r é s e n t a t i o n p% telle que yu^x(A*) soit 1-triangu1able.

P r e u v e : Soit X un code f a c t o r i s a n t : X-l = P(A~1 ) Q_

Soit w une lettre extérieure à A et p o s o n s X'-1= JP(A+w-1 )GL X' est un code vérifiant X' = X U P w Q .

L'image syntaxique de ww appartient à l'idéal minimal du m o n o i d e syntaxique de X'* car tout mot de X' possède au p l u s une occurence de w . M a i s il en est de même de w car il possède les m ê m e s

c o n t e x t e s que w w puisque P w Q C X ' . La r e p r é s e n t a t i o n s t a n d a r d du m o n o i d e syntaxique de X'* [Boe 76] possède donc une r e l a t i o n 1-

triangulaire de rang 1 (l'image de w) et sa r e s t r i c t i o n u^x à A * est 1-tr i a n g u 1 a b l e .

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R é c i p r o q u e m e n t , soit ^ une r e p r é s e n t a t i o n telle que M = /*x^{< A}*^

soit 1 -tr i angu 1 abl e . D é f i n i s s o n s une extension yu^' de /A^x en ajoutant une lettre w à A et en choissisant pour /*^x'<w) la matrice 1-trian-

gulaire du p l o n g e m e n t de M . Cette extension définit un code X' sur l'alphabet A + w . Le mot w est un mot s y n c h r o n i s a n t coupant fBoe 8l]

qui permet de factoriser X'-l en P<A+w-l)Q et donc X_-l en £ < A - 1 ) Q . Ce résultat amène à poser la conjecture s u i v a n t e : Etant donnée une boite < L , C ) , si L.C admet une section 1 -triangu1 a i r e ,

il existe 1 de L et c de C tels que cxl soit 1 -triangu1 a i r e .

En effet cette conjecture implique celle de la f a c t o r i s a t i o n : Soit X un code maximal fini et yu^x une r e p r é s e n t a t i o n . D'après la p r o p o s i t i o n 2, / AX< A* ) est plongé dans Sect(L.C) pour une certaine

boite ( L , C ) . yu^x<A*) donc 1-tr i angu 1 abl e et X factorise A* d'après le théorème 2.

U - B O I T E S ET A L G O R I T H M I Q U E

On a ramené le problème de la f a c t o r i s a t i o n à un problème c o m b i n a t o i r e se prêtant mieux à la p r o g r a m m a t i o n pour la recherche de c o n t r e - e x e m p l e . Le but est de trouver des b o i t e s <L,C) telles qu'aucune relation cxl ne soit 1 -triangu1 aire m a i s possédant

toutefois des s e c t i o n s 1 -triangu1 a i r e s .

Il faut remarquer tout d ' a b o r d que la recherche des s e c t i o n s d'une famille de p a r t i e s est un problème N P - c o m p l e t . On peut donc s'attendre à ce que les temps d'exécution croissent rapidement avec

la taille d e s e n s e m b l e s .

Le programme s'organise alors comme s u i t :

1- C o n s t r u c t i o n de "modèles" de b o i t e s pour un ensemble d o n n é : les m o d è l e s de b o i t e s sont les r e p r é s e n t a n t s des c l a s s e s

d'isomorphie d e s b o i t e s , deux b o i t e s étant isomorphes si e l l e s s'échangent par p e r m u t a t i o n .

Ceci pose deux p r o b l è m e s : peut-on construire toutes les b o i t e s sur n é l é m e n t s à partir de b o i t e s sur n-1 é l é m e n t s ?

Q u e l l e s sont les p r o c é d u r e s r a p i d e s p e r m e t t a n t de vérifier 1'isomorphisme de deux b o i t e s ?

2- Rechercher les p e r m u t a t i o n s de E telles que la boite

associée <L,C) ne possède p a s de p a r t i e s 1 et c pour lesquelles cxl est 1-tr i a n g u 1 a b l e .

3- R e c h e r c h e r les s e c t i o n s 1-triangu1 a i r e s d'une telle b o i t e . A p p a r a i t ici une autre q u e s t i o n : caractériser les f a m i l l e s de

p a r t i e s ne p o s s é d a n t p a s de s e c t i o n s . On observe cependant qu'une telle situation est souvent due au fait que deux p a r t i e s d i s j o i n t e s sont incluses d a n s une même t r o i s i è m e , ce qui se teste en un temps p o l y n o m i a l , alors que la recherche des s e c t i o n s est e x p o n e n t i e l l e .

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R E F E R E N C E S

[BePe] J . B e r s t e l , D.Perrin : The theory of c o d e s , à p a r a i t r e . [Boe 76] J.M. Boe : R e p r é s e n t a t i o n s des m o n o i d e s ; a p p l i c a t i o n s à la

théorie des c o d e s . Thèse 3ème cycle M o n t p e l l i e r ( 1 9 7 6 ) .

[Boe 81] J.M. Boe : Sur les c o d e s s y n c h r o n i s a n t s c o u p a n t s , P r o c . Collo¬

quim A r c o F e l i c e , N a p l e s , C.N.R. Roma (1981) 7-10.

[Reu 84] C. Reutenauer : N o n commutative f a c t o r i z a t i o n of variable length c o d e s , à p a r a i t r e .

[Sch 65] M . P . S c h u t z e n b e r g e r : Sur c e r t a i n s s o u s - m o n o i d e s l i b r e s , B u l l . S o c . M a t h . France 93(1965) 2 0 9 - 2 2 3 .