P UBLICATIONS DU D ÉPARTEMENT DE MATHÉMATIQUES DE L YON
H. L EPTIN
Bounds for Twisted Convolution Operators
Publications du Département de Mathématiques de Lyon, 1982, fascicule 4B
« Journées d’analyse harmonique », , p. 1
<http://www.numdam.org/item?id=PDML_1982___4B_A13_0>
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BOUNDS FOR TWISTED C O N V O L U T I O N OPERATORS by H. L E P T I N
( U n i v e r s i t é d e B i e l e f e l d )
Twisted convolution on a locally compact group G is defined by means of a T-valued 2-cocycle c : For appropriate functions (or distributions, if G is Lie) f and g on G the twisted product is given by
f -1 -1 f g (x) = f (xy)g(y )c(xy,y )dy .
If G is a connected Lie group, Τ a distribution with compact support and g G 9 ) (G), then : g Τ A g is a linear operator on aï) (G). is densely defined on L^(G). Let l l ^cl l p ^e ^t s (possibly infinité) L^-operator-norm and let e be the trivial cocycle on G, so that is the ordinary convolution ope- rator. Theorem : || Τ^|| is finite if and only if || Τ^|| ^ is finite. — Ine the spécial case G = <Cn , c the Weyl cocycle, this was proved by M. Cowling (Rend.
Cire. Mat. Palermo Ser. II, num. 1, 1 9 8 1 ) . Problem : How do the norms II Τ II
" c 1 1 ρ dépend on the compact support of Τ ?
Let c^(u,v) = exp(27Tik Im (u|v)) be the power of the Weyl cocycle on (Cn , with (u|v) the Hilbert-inner-product on < En on define
U I P( K ) = inf ( H τ H /11 τ H )
k " c " p 1 1 e 11 ρ
the infimum taken over ail Τ with support in the compact set K. Sharp estimâtes are given for thèse functions u£ , in particular for B(t) = iz £ <En ; |z| ^ t} we
1 1
show uf(G(t)) ~ ( |k| t ) m with r = min { - , 1 •}.
^k \ \ ' ρ ρ (Joined work with Detlef Muller).
k k k kkk k k k k
14-1
