Déformations et lois de groupes formels

P UBLICATIONS DU D ÉPARTEMENT DE MATHÉMATIQUES DE L ^YON

R. B ^ERGER

Déformations et lois de groupes formels

Publications du Département de Mathématiques de Lyon, 1987, fascicule 1B

« Actes du colloque Jean Braconnier », , p. 163-173

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D E F O R M A T I O N S ET LOIS DE CROUPES FORMELS p a r R. BERGER

Cet exposé t r a i t e des d é f o r m a t i o n s d ' a l g è b r e s a s s o c i a t i v e s d ' u n t y p e p a r - t i c u l i e r : l e s a l g è b r e s de polynômes. I l v i s e à c o n s t r u i r e e x p l i c i t e m e n t des d é f o r - m a t i o n s , sans c o n s i d é r a t i o n cohomologique.

1 . INTRODUCTION

Pour i n t r o d u i r e l e s deux m o t s - c l é s du t i t r e , revenons à l ' o r i g i n e physique de l a t h é o r i e des d é f o r m a t i o n s :

F o n c t i o n s d é f i n i e s s u r Correspondance Opérateurs d ' u n espace l ' e s p a c e des phases de Weyl * de H i l b e r t

q » q

p ^f p

L o r s q u ' o n r e s t r e i n t l a correspondance de Weyl aux polynômes en p e t q , c ' e s t l a s y m é t r i s a t i o n .

Par exemple :

q * p » \ (q P + P q ) -

La r e l a t i o n de commutation de Heisenberg

[ q , p ] = A (= i fi)

permet d ' e x p r i m e r l e s o p é r a t e u r s à l ' a i d e de s y m é t r i s é s . A i n s i : ( 1 ) q p = 21 1 (q P + P q ) + ^? A .

Quand on t r a n s p o r t e l a c o m p o s i t i o n des o p é r a t e u r s par l a correspondance de Weyl, on o b t i e n t un p r o d u i t * a s s o c i a t i f , non c o m m u t a t i f , s u r l e s polynômes en p e t q , appelé p r o d u i t de Moyal. La r e l a t i o n ( 1 ) donne par exemple :

q * p = q p + - ^ X .

Plus g é n é r a l e m e n t , l e p r o d u i t * de deux polynômes quelconques a e t b e s t

o

a * b = a x b + XC^(a,b) + X ( ^ ( a ^ ) + . . . ,

s i b i e n que l e p r o d u i t de Moyal e s t une d é f o r m a t i o n (au sens de G e r s t e n h a b e r ) du

i

p r o d u i t o r d i n a i r e . On n o t e r a que = ^ { , } où { , } e s t l e c r o c h e t de Poisson c l a s s i q u e .

Ce que nous venons de f a i r e t r o u v e sa p l a c e dans un cadre c o n c e p t u e l beaucoup p l u s l a r g e . S o i t g l ' a l g è b r e de L i e de H e i s e n b e r g , de base q , p , X . Le c r o c h e t de g ( q u i v é r i f i e t q ^ p l ^ = X) se p r o l o n g e par d é r i v a t i o n en un c r o c h e t de P o i s s o n , noté encore [ , ] , de l ' a l g è b r e s y m é t r i q u e S . Par exemple, s i a e t b s o n t des polynômes en p e t q uniquement, on a :

[ a , b ] = X { a , b } .

La s y m é t r i s a t i o n a de S dans l ' a l g è b r e enveloppante U de g donne, par

S S t r a n s p o r t , une d é f o r m a t i o n * de S q u i p r o l o n g e Moyal e t q u i sera appelée

d é f o r m a t i o n de Weyl. Pour a e t b dans , on peut é c r i r e :

a * b = ab + F j ( a , b ) + F²( a , b ) + . . . , où e s t d é f i n i par l a c o n d i t i o n :

a homogène de degré p "î ^v F^Ca^b) homogène de degré b homogène de degré q J p + q - k .

On d i t a l o r s que e s t une d é f o r m a t i o n graduée.

Mais i l e s t c l a i r que l a n o t i o n de d é f o r m a t i o n de Weyl s ' é t e n d à t o u t e a l g è b r e de L i e complexe ( e n t r e a u t r e s ) . C ' e s t pour ces d é f o r m a t i o n s de Weyl que A b e l l a n a s e t M a r t i n e z Alonso ( Q u a n t i z a t i o n f r o m t h e a l g e b r a i c v i è w p o i n t , J . o f Math. P h y s . , 17, n° 8 , August 1976) ont démontré l a f o r m u l e :

( 2 ) a * b ( z ) = e x p ( z g ( ^ , A ) ) . a ( x ) b ( y ) |^{x = y = z}

dans l a q u e l l e g e s t l a p a r t i e non l i n é a i r e de l a f o r m u l e de C a m p b e l l - H a u s d o r f f . C e t t e d e r n i è r e e s t d é f i n i e comme s u i t . Une base de g é t a n t donnée, l ' a p p l i c a t i o n e x p o n e n t i e l l e exp a p p l i q u e (Cⁿ (n = d i m g ) dans G (groupe de L i e d ' a l g è b r e de L i e g ) . Pour (x..) e t (y..) dans Cⁿ suffisamment p e t i t s , on pose :

f ( x , y ) = ( f . j ( x , y ) ) = exp ( e x p ( xⁱ) e x p ( yⁱ) ) .

Les f ^ ( x , y ) sont des s é r i e s en x e t y de l a forme

f . j ( x , y ) = xⁱ + y^ + termes de degré 2.

Plus p r é c i s é m e n t , on a l e s r e l a t i o n s

( 3 ) f f ( x , 0 ) = x f ( 0 , y ) = y ( f ( f ( x , y ) , z ) = f ( x , f ( y , z ) ) .

Autrement d i t f e s t une l o i de groupe f o r m e l ( d i t e , dans ce c a s , de C a m p b e l l - H a u s d o r f f ) . La p a r t i e non l i n é a i r e e s t

g ( x , y ) = f ( x , y ) - x - y .

2. LE THEOREME

Mon o b j e c t i f e s t d ' é t e n d r e l a f o r m u l e ( 2 ) aux l o i s de groupes f o r m e l s q u e l c o n q u e s . Ceci p e r m e t t r a d ' a v o i r des d é f o r m a t i o n s d i f f é r e n t e s de Weyl ; i l s u f f i r a , par exemple, de remplacer l a c a r t e canonique en l ' é l é m e n t n e u t r e de G par une a u t r e pour o b t e n i r une l o i de groupe f o r m e l d i s t i n c t e de C H .

Nous a l l o n s v o i r que l e s d é f o r m a t i o n s graduées associées aux l o i s q u e l - conques s o n t exactement c e l l e s qui r e s p e c t e n t l e c o p r o d u i t n a t u r e l de , c ' e s t - à - d i r e l ' a p p l i c a t i o n d i a g o n a l e A : + S^g 8 S^g ( v o i r l ' e x p o s é de J , H e l m s t e t t e r ) . Les d é f o r m a t i o n s r e s p e c t a n t A ont é t é i n t r o d u i t e s dans ma t h è s e de 3è c y c l e

(Lyon 1979) sous l e nom de c o d é f o r m a t i o n s . Je l e u r p r é f è r e a u j o u r d ' h u i l e nom de A - d é f o r m a t i o n s .

Les hypothèses du théorème s e r o n t l e s s u i v a n t e s : K e s t un anneau c o m m u t a t i f dans l e q u e l l e s e n t i e r s sont i n v e r s i b l e s , V e s t un K-module l i b r e de base ( z ^ ) ^ j , A e s t l ' a l g è b r e s y m é t r i q u e de V i d e n t i f i é e à K [ z . ] . Ceux que l a g é n é r a l i t é de

l ' a l g è b r e r e b u t e n t penseront à K = R ou (C. I c i , l ' i n t é r ê t de c e t t e g é n é r a l i t é e s t de deux o r d r e s . D'une p a r t , l a d é m o n s t r a t i o n e s t indépendante de t o u t e t o p o l o g i e s u r K. D ' a u t r e p a r t , e l l e e s t v a l a b l e en dimension q u e l c o n q u e , même i n f i n i e (aucune r e s t r i c t i o n s u r I ) .

Passons à l a d é f i n i t i o n de A : A A 8 A. En i d e n t i f i a n t A avec Ktz-j]

e t A 8 A avec K [ x . , y . ] , on a

A ( P ( z . ) ) = P ( x . + y . ) .

D é f i n i s s o n s m a i n t e n a n t l e s A - d é f o r m a t i o n s . Une d é f o r m a t i o n F de A é t a n t donnée, on d é f i n i t à p a r t i r de l ' a l g è b r e a s s o c i a t i v e ( A , * ) l ' a l g è b r e a s s o c i a t i v e

" p r o d u i t t e n s o r i e l " (A 8 A, O . De même, à p a r t i r de l a cogèbre ( A , A ) , on F

2

d é f i n i t n a t u r e l l e m e n t l a cogèbre (A 8 A , A ) . Les p r o p r i é t é s s u i v a n t e s : ( i ) * : (A 8 A,A ) -> ( A , A ) morphisme de cogèbres

( i i ) A : ( A , * ) " M A 0 A , 0 morphisme d ' a l g è b r e s

F r^c

s o n t é q u i v a l e n t e s . Si e l l e s sont s a t i s f a i t e s , F e s t appelée une A - d é f o r m a t i o n

THEOREME. - Pour toute k-déformation graduée F de A, il existe une seule loi de groupe formel f ( x⁵y ) = (f... ( x , y ) ) .. ^e j e n l e s indéterminées X = U..).. ^£ j Gt y - ( y ^ ) ^ ^ j e t à coefficients dans K telle que :

( 4 ) a * b ( z ) = exp(z g( ^ , ^ ) ) . a ( x ) b ( y ) |^{x = y = z}.

où g e s t la partie non linéaire de f .

Réciproquement, pour toute loi de groupe formel définie sur i l existe une seule A - d éf o r m a t i o n graduée de A vérifiant (4).

La d é m o n s t r a t i o n de A b e l l a n a s e t M a r t i n e z Alonso u t i l i s a i t l a t r a n s f o r m é e de F o u r i e r . La mienne, dans l e cadre général où j e me p l a c e e s t basée s u r l a d u a l i t é de C a r t i e r (pour l a d é f i n i t i o n de c e t t e d u a l i t é , c o n s u l t e r J . Dieudonné, I n t r o d u c t i o n t o t h e t h e o r y o f f o r m a i g r o u p s , D e k k e r ) . Je v a i s j u s t e donner l ' i d é e e s s e n t i e l l e de l a p r e u v e .

Au K-module l i b r e A de base ( x^a) , a e K ^ , on a s s o c i e l e K-module dual A' de pseudo-base ( x^a* ) . Tout élément de A' se développe en s é r i e en l e s x^a* , s i b i e n que A' e s t muni d'une t o p o l o g i e n a t u r e l l e de K-module t o p o l o g i q u e c o m p l e t . Par t r a n s p o s i t i o n , au p r o d u i t x de A correspond un c o p r o d u i t c o n t i n u * x de A ' , e t au c o p r o d u i t A de A correspond un p r o d u i t c o n t i n u *A de A ' . Quand on déforme x en

* , on o b t i e n t une ( c o ) - d é f o r m a t i o n de *x en .

Remplaçons l a pseudo-base (x ) par (z ) = ( a ! x ) . A l o r s , A ( r e s p . x ) s ' i d e n t i f i e au p r o d u i t usuel ( r e s p . au c o p r o d u i t u s u e l ) de l ' a l g è b r e des s é r i e s f o r m e l l e s K [ [ z . ] ] . Le morphisme de cogèbres c o n t i n u ^l* e s t donc e n t i è r e m e n t

t

d é t e r m i n é par l e s * ( z ^ ) q u i s o n t des s é r i e s f o r m e l l e s en x e t y e t qui s o n t l e s f . j ( x , y ) c h e r c h é e s ,

3. CONSEQUENCES DU THEOREME

3 . 1 . On peut e x p r i m e r l e s c o e f f i c i e n t s F^ en f o n c t i o n de g. En e f f e t , ( 4 ) s ' é c r i t :

a * b ( z ) = I m -^T 9^a( — , — ) . a ( x ) b ( y ) |

F a ^e I T ' 3X ' 3 y^{; v y /}» x = y = z ⁵

a .

avec g^a = II g -¹ . S i g ^{a, r} e s t l a p a r t i e homogène de degré t o t a l r , on a

i € I ¹

r _ za na , | a | + k , 3 9 A

k

u k k < k

-

A i n s i , e s t un o p é r a t e u r b i d i f f é r e n t i e l . Par s u i t e , t o u t e A - d é f o r m a t i o n graduée e s t d i f f é r e n t i a b l e .

3 . 2 . La f o r m u l e ( 4 ) permet de p r o l o n g e r * à d ' a u t r e s o b j e t s , f o n c t i o n s ou d i s - t r i b u t i o n s .

Prenons K = C e t supposons que l e s g^ s o n t des f o n c t i o n s e n t i è r e s

( I é t a n t f i n i ) . Pour des d i s t r i b u t i o n s T>| e t T² à s u p p o r t compact dans Pⁿ (n = dim V ) , on s a i t que l e u r s t r a n s f o r m é e s de F o u r i e r sont des f o n c t i o n s s u r Rⁿ, p r o l o n g e â m e s en f o n c t i o n s e n t i è r e s s u r (C ⁿ. D'après l e s p r o p r i é t é s de l a t r a n s f o r m é e de F o u r i e r ,

Jx ' Jy

^ V

) ^ V

^ x = y = z

F e n t i è r e . On peut d ' a i l l e u r s é c r i r e :

( 5 ) &T^] * ^ T² = < T¹ 8 T² , exp(z f ) >

où v s i g n i f i e que l ' o n a remplacé x par - 2 î r i x e t y par - 2 TT i y dans l a s é r i e f .

M a i s , en g é n é r a l , SF'X ^ * ^ n ' e s t pas dans ^ ' ( Rⁿ) c a r i l ne v é r i f i e pas t o u j o u r s l a c o n d i t i o n du théorème de P a l e y - W i e n e r . Par c o n t r e , s i P e s t un polynôme e t s i T e s t dans ^ ' ( Eⁿ) , a l o r s P * J ^ T e t J ^ T * P s o n t dans ^ ' ( Rⁿ) . On a même des f o r m u l e s e x p l i c i t e s de ces p r o d u i t s en f o n c t i o n des c o e f f i c i e n t s de l a l o i de groupe f o r m e l . Par exemple :

n v

z . * ^ T = z . A ^ T + I z . j * ( C . . T ) ,

i ^{F 1} j ⁼i J u

où C_jj e s t l e c o e f f i c i e n t de x^ dans g j

La f o r m u l e ( 5 ) permet de r e t r o u v e r l e s e x p r e s s i o n s i n t é g r a l e s du p r o d u i t de M o y a l , a i n s i que d ' a u t r e s p r o d u i t s u t i l i s é s en q u a n t i f i c a t i o n . Nous a l l o n s j u s t e donner l e s l o i s de groupes f o r m e l s , l a i s s a n t l e s o i n au l e c t e u r d ' é c r i r e l e s

e x p r e s s i o n s i n t é g r a l e s .

Prenons pour g l ' a l g è b r e de Heisenberg de base ^x< | > - - - >^x2^m+ i ( ^avec I^e c r o c h e t h a b i t u e l ) . La l o i de groupe f o r m e l associée à Weyl a pour p a r t i e non

W

l i n é a i r e g d é f i n i e par :

f g " = 0 pour 1 ^v< j ^v< 2m

J w 1 ^m

I l y a aussi l a A - d é f o r m a t i o n graduée s t a n d a r d ( r e s p . a n t i s t a n d a r d ) d é f i n i e par l ' a p p l i c a t i o n de S dans U. q u i a s s o c i e à a , , x . . . x a , ( a - € g e t k > 1 )

l ' é l é m e n t a ^ . . . a ^ ( r e s p . a ^ . - a ^ ) . La l o i de groupe f o r m e l associée e s t :

( g? ( r e s p . g J^S ) = 0 pour 1 ^N< j ^N< 2m

I S AS ^{m m}

l 9ⁿ ( r e s p . gⁿ ) = I x^jy.^+m ( r e s p . - z x . ^ )

En remplaçant l a base ( x , , . . . ^ ) par ( x^{j +}i x^{j + m} , X j - i x ^ ) ^ . ^ , on o b t i e n t à p a r t i r de s t a n d a r d e t d ' a n t i s t a n d a r d l e s d é f o r m a t i o n s normale e t a n t i n o r m a l e dont i l e s t f a c i l e d ' é c r i r e l e s l o i s de groupes f o r m e l s .

3.3 Le théorème permet de r e p é r e r f a c i l e m e n t s i une A - d é f o r m a t i o n graduée e â t un

^ - p r o d u i t . Par d é f i n i t i o n , une d é f o r m a t i o n F e s t un * - p r o d u i t s i

V k >^y 1 , F^k( b , a ) = ( - 1 )^k F^k( a , b ) .

Par exemple, Moyal e s t un ^ - p r o d u i t . Sous l e s hypothèses du théorème, notons

f ^ ( x , y ) l a p a r t i e homogène de degré t o t a l k de f ( x , y ) . On démontre que :

( 6 ) F e s t un * - p r o d u i t ^ > V k ^ 1 , f^{( k )}( y , x ) = (-1 )^Mf ^k( x , y ) .

C ' e s t grâce à c e t t e p r o p r i é t é que l ' o n prouve que t o u t e d é f o r m a t i o n de Weyl e s t un * - p r o d u i t .

4 . DES EXEMPLES NOUVEAUX.

On prend K = R e t dim V = 1 . A l o r s g e s t a b é l i e n n e . Puisque A = S(V) = U t o u t e A - d é f o r m a t i o n graduée e s t cortimutati v e . I l e s t c l a i r que l e s d é f o r m a t i o n s de Weyl, s t a n d a r d e t a n t i s t a n d a r d c o ï n c i d e n t avec l e p r o d u i t o r d i n a i r e e t que l a l o i de groupe f o r m e l a s s o c i é e e s t l a l o i a d d i t i v e x+y. Dans ce c a s , l a f o r m u l e ( 4 ) n ' e s t a u t r e que l a f o r m u l e de T a y l o r du polynôme a * b.

4 . 1 . La c a r t e F —* F^x en l ' é l é m e n t n e u t r e du groupe m u l t i p l i c a t i f R^x des r é e l s x —* 1+x

non n u l s f o u r n i t l a l o i de groupe f o r m e l m u l t i p l i c a t i v e : f ( x , y ) = ( 1 + x ) ( 1 + y ) - 1 = x+y+xy .

D'après ( 6 ) , l a d é f o r m a t i o n a s s o c i é e F n ' e s t pas un ^ - p r o d u i t . La f o r m u l e ( 4 ) donne i c i :

a * b ( x ) - I i r ! l

<4 .

F n>0 d x " d x "

I l e s t f a c i l e de c a l c u l e r de proche en proche l e s x ⁿ :

* 2 2 x = x +x

* 3 3 . 2 x = x +3x +x

* 4 4 , 3 ⁷ 2

X = X + D X + / X + X .

Le l o i de f o r m a t i o n des c o e f f i c i e n t s e s t s i m p l e à o b t e n i r ( J . H e l m s t e t t e r m'a s i g n a l é que c e u x - c i s o n t l e s nombres de S t i r l i n g de 2e e s p è c e ) .

Plus i n t é r e s s a n t e s t l e c a l c u l du s p e c t r e de x , au sens de B a y e n - F l a t o - f n *

F r o n s d a l - L i c h n e r o w i c z - S t e r n h e i m e r . Pour c e l a , on pose E x p ( t x ) = x x ⁿ ( t £ I ) .

Et on cherche l e développement de D i r i c h l e t :

( 7 ) E x p ( t x ) = I i u ( x j e^{X t} Л € I

dans l e q u e l l e s u p p o r t I sera l e s p e c t r e cherché e t l e s u^ sont l e s p r o j e c t e u r s a s s o c i é s . Une conséquence f o r m e l l e de ( 7 ) e s t

" x * и^л = Аи^л ( 8 ) J F

Uy * и^л = и^л . V Л p Л л

On e s t donc amené à résoudre l ' é q u a t i o n

( 9 ) x * и = Au , и non n u l l e . I c i , i l e s t c l a i r que c e t t e é q u a t i o n e s t

x ( u + u ' ) = Au ,

de s o l u t i o n и = С x ^ e " ^ . R e p o r t a n t dans l ' é q u a t i o n и * и = и , on c o n s t a t e que f o r c é m e n t A e s t un e n t i e r n a t u r e l e t que С = ^ ,

On c o n j e c t u r e a l o r s que l e développement vaut : E x p ( t x ) = I ( 7ГГ e " "^x) e^{n t} ,

n>0 ⁿ-

ce qui se v é r i f i e a i s é m e n t . A i n s i , l e s p e c t r e de x e s t M e t l e p r o j e c t e u r a s s o c i é xⁿ - x

à n e s t uⁿ = - ^ p e .

REMARQUE. L ' é q u a t i o n ( 9 ) dans l e cas Weyl e s t x x и = Au q u i n'a pas de s o l u t i o n non n u l l e . Le s p e c t r e de x ne peut donc ê t r e d i s c r e t .

La f o r m u l e #•+<» . t x ⁼ ô ( A - x ) e^{A L}d A

e Jo

(6 d i s t r i b u t i o n de D i r a c ) montre que ce s p e c t r e e s t c o n t i n u e t e s t égal à [ 0⁵+ «>[. En c o n c l u s i o n , , l e remplacement (apparemment a n o d i n ) d ' u n e l o i a d d i t i v e

par une l o i m u l t i p l i c a t i v e f a i t passer d'une s i t u a t i o n c l a s s i q u e à une s i t u a t i o n q u a n t i q u e .

Notons d ' a u t r e p a r t que T o n v i e n t d¹o b t e n i r deux déformat i ons m a t h é m a t i - quement é q u i v a l e n t e s ( e t même t o u t e s deux t r i v i a l e s au sens de G e r s t e n h a b e r ) q u i o n t des s p e c t r e s d i f f é r e n t s .

4 . 2 . La c a r t e de 4 . 1 se g é n é r a l i s e évidemment à GL(nJR ) . M a i s , en g é n é r a l , e l l e ne c o n v i e n t pas à un sous-groupe de L i e G de G L ( n , F ) . C ' e s t l e cas de G = S 0 ( 2 ) . Dans un t e l c a s , on peut u t i l i s e r l a t r a n s f o r m a t i o n de Cayley ( j e d o i s l ' i d é e de c e t t e u t i l i s a t i o n à A. W e i n s t e i n ) .

La c a r t e " t r a n s f o r m a t i o n de Cayley" de g dans G e s t d é f i n i e pour G = S0(2) par :

(

T+o? 7+c?

2 a 1 - a²

J

E l l e f o u r n i t l a l o i de groupe f o r m e l

2 2 2 3 3 2

C ' e s t l a s é r i e x+y+(xy +x y ) + (x y +x y ) + . . . . I l e s t c l a i r que l a d é f o r m a t i o n F

* n

a s s o c i é e e s t un ^ - p r o d u i t . I c i , l e s x o n t des c o e f f i c i e n t s p l u s d i f f i c i l e s à o b t e n i r . On a :

* 2 - 2 x = x

* 3 3

x ^J = x^J+ 2 x

• 4 4 2 x ^H = x % 8 x ^ .

L ' é q u a t i o n ( 9 ) d e v i e n t : x ( u + u " ) = Au, dont j e n ' a i pas pu t r o u v e r un système fondamental e x p l i c i t e de s o l u t i o n s . Je n ' a i donc pas l e s p e c t r e de x .

4 . 3 . A t o u t groupe a l g é b r i q u e G e t à t o u t e base de 8 , on s a i t a s s o c i e r n a t u - r e l l e m e n t une l o i de groupe f o r m e l appelé sa f o r m a l i s a t i o n ( v o i r l e l i v r e de Dieudonné d é j à c i t é ) . La f o r m a l i s a t i o n de G = S0(2) e s t :

f ( x , y ) = x / l - y ² + y / l - x ² i . e .

f ( x , y ) = x+y - ] ( x y² + x²y ) - ^ ( x y⁴ + x⁴y ) - - ^ ( x y⁶ + x⁶y ) - . . .

La d é f o r m a t i o n F a s s o c i é e e s t un * - p r o d u i t . Et on a :

* 2 2 x = x

* 3 3 x = x - x

x 4 = x - 4x .

L ' é q u a t i o n ( 9 ) donne l ' é q u a t i o n d i f f é r e n t i e l l e i n f i n i e : x (^u . 1 d²u _ 1 d⁴u ^ 1 d⁶u _ ,

x [ u 2 7 7 ÏÏ'~74 T6 T T A U .

dx dx dx

Dans ce c a s , c ' e s t 1 ' e x i s t e n c e même de l a s o l u t i o n u ( f o n c t i o n ou d i s - t r i b u t i o n ) q u i se pose. Le s p e c t r e de x e s t encore p l u s l o i n . . .

5. CONCLUSION. Les c i n q a u t e u r s c i t é s à propos du s p e c t r e s o n t l e s i n s p i r a t e u r s du

" p r o j e t d é f o r m a t i o n " de p r é s e n t a t i o n de l a Mécanique Q u a n t i q u e . Leur a r t i c l e f o n - damental e s t : D e f o r m a t i o n t h e o r y and q u a n t i z a t i o n , I and I I , Ann. o f Physics I I I , 1978, 6 1 - 1 5 1 . Dans l ' e x e m p l e 4 . 1 , i l s e r a i t i n t é r e s s a n t d ' a v o i r une i n t e r p r é t a t i o n physique où les é t a t s q u a n t i q u e s s e r a i e n t e n t i e r s n a t u r e l s e t l e s f o n c t i o n s d'onde associées s e r a i e n t l e s uⁿ-

A d é f a u t d ' i n t e r p r é t a t i o n p h y s i q u e , i l y en a une p r o b a b i l i s t e puisque ( uⁿ) e s t l a l o i de Poisson de moyenne x . Si b i e n que c e t exposé a u r a i t pu p o r t e r ce t i t n

"Du c r o c h e t de Poisson à l a l o i de P o i s s o n ' . . . " .