P UBLICATIONS DU D ÉPARTEMENT DE MATHÉMATIQUES DE L YON
A LEXIS M ARIN
Les arbres de Shub-Smale
Publications du Département de Mathématiques de Lyon, 1987, fascicule 4B , p. 1-7
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LES ARBRES DE SHUB-SMALE par Alexis Marin
*
En calculant des valeurs approchées des racines d'un polynôme d'une variable c o m p l e x e , Shub e t Smale ont associé à chaque polynôme p un arbre plongé dans (E. Smale a alors demandé quels arbres aplatis pouvaient s'obtenir ainsi. C e t exposé répond à c e t t e question ; il apparaîtra que les arbres de Shub-Smale permettent de paramétrer les polynômes par leurs valeurs critiques.
I. C O M M E N T SHUB ET S M A L E O N T INTRODUIT L E U R S A R B R E S ; U N E I N T E R P R E T A T I O N G E O M E T R I Q U E DE L A METHODE DE N E W T O N .
Pour approcher une racine d'un polynôme p N e w t o n i t è r e l'appli- cation N ( v ) - v - ^TTT à partir d'un point v . Si la valeur initiale v
p ' ( v ) K K o o
est proche d'une racine w la suite = Nn( vQ) c o nv erg e quadratiquement
2 2n- l
vers w ( I v . - w I ^ A I v - w I et donc I v - w I ^ ( A I v ~w I ) I v - w I ) . i n + j i 1 n 1 1 n 1 ' o ' ' o ' Si v. est éloigné des racines, la suite de N e w t o n v ^ peut avoir un c o m p o r t e m e n t chaotique e t l'on cherche, en modifiant la méthode de N e w t o n , à obtenir, quitte à perdre en vitesse, une méthode i t é r a t i v e ayant une meilleure c o n v e r g e n c e globale.
L ' i d é e essentielle des travaux de Shub e t Smale est de considérer le champ de vecteur n ( v ) = , l'application de N e w t o n s'interprète alors c o m m e l'itération d'Euler a v e c le pas 1 pour résoudre l'équation d i f f é r e n t i e l l e :
v' = - n ( v ) ( 1 )
C o m m e p ' ( v ) n ( v ) = p ( v ) les courbes intégrales de ( 1 ) sont e n v o y é e s par p sur les rayons issus de 0, le f e u i l l e t a g e o r i e n t é (par n) & que ces courbes définissent, est donc la p r é i m a g e par p du f e u i l l e t a g e par les rayons issus de 0 dans le but. Remarquons aussi que n ( v ) est p o s i t i v e m e n t c o l i n é a i r e à v ( v ) - 2 p ' ( v ) p ( v ) , le gradient de | p | , e t donc, suivre les courbes i n t é g r a l e s de ( 1 ) , revient à minimiser | p | en descendant les lignes de gra- d i e n t .
L e s algorithmes que Shub e t Smale proposent consistent à chercher à c o l l e r de plus près aux feuilles de : une étude de la g é o m é t r i e de est donc nécessaire.
P
Les singularités de & ^ sont des sources aux racines de p e t des selles ( é v e n t u e l l e m e n t multiples) aux points critiques non racines. L a réunion des séparatrices aboutissant à de tels points critiques est un graphe sur lequel C se r é t r a c t e (en remontant les feuilles de ) c ' e s t donc un arbre, la classe d'isotopie de c e t arbre dans d est l'arbre de Shub-Smale
r de p. On note F+ l'union de F
P a P P , i ,
e t des séparatrices partant des points ^ J v * c r i t i q u e s , découpe (E en les bassins \ * ^ Z* d ' a t t r a c t i o n des racines de p : la figure 1 ) c | ^ ? / ^ *
r e p r é s e n t e & , T , T+ pour > ZQ 1 T ~V' /
1 3 P P P t P \ z 2 /
P ( V ) = -r V3- V + l . v , I < v
' * ! < ; p
"V \
On montre que ^ est trans- P
verse à tout c e r c l e S contenant les racines F i g u r e 11 et que T+ coupe 5 en au plus 2 ( d - l ) points. Si
p d 1
de plus p ( v ) - v + a , . v + . . . + a a v e c la. I ^ 1 e t R ^ 2 alors le c e r c l e
r r d-1 o 1 i1
= { | v | - R } contient les racines de p et si v est hors de 2 ( d - l )
R 1 1 j ° 1
i n t e r v a l l e s chacun de mesure normalisée [ 8 + 2arc sin(-^—^)] l e polynôme P <Vo >
p a un inverse sur le secteur W ( p ( vQ) , 9 ) = { z e C | | A r g ( — - — ) | < 6 } • Lorsqu'une valeur initiale V q a un tel secteur de s é c u r i t é , une m o d i f i c a t i o n de la méthode de N e w t o n permet d'approcher une racine de p en un nombre d'itérations e x p l i c i t e m e n t c o n t r ô l é . C o m m e sur les mauvaises valeurs initiales sont dans une réunion de 2 ( d - l ) intervalles dont on connaît la mesure, un principe des tiroirs p e r m e t , en un nombre d'itérations e x p l i c i - t e m e n t donné en fonction de R , 0 ,d e t e d'obtenir un vn a v e c
| p ( v ^ ) | < e . Pour un exposé plus détaillé des travaux de Shub-Smale voir l'exposé n° 670 du Séminaire Bourbaki.
II. R E A L I S A T I O N DES ARBRES DE S H U B - S M A L E .
Smale a demandé : "Quels arbres aplatis s'obtiennent c o m m e arbre de Shub-Smale d'un polynôme de degré d ?"
Pour répondre à c e t t e question il suffit d'extraire les propriétés combinatoires des arbres de Shub-Smale de polynômes réduits de d e g r é d on obtient ainsi la notion d'arbre de Shub-Smale abstrait (ou S-arbre) de degré d. Correspondant aux valeurs critiques de p on a la notion de S-arbre coloré. La réponse à la question de Smale est alors donnée par les deux lemmes suivants :
Lemme 1 . Tout S -arbre a une coloration admissible.
Lemme 2. Soit ( I \ c ) un S-arbre coloré de degré d, alors il y a un poly- d d 2
nome réduit p ( v ) = v + a . ~ v + . . . + a avec ( V ,p) = ( T , c ) . Si q est
r d-2 o p r n
on autre tel polynôme il y a une racine d-ienne de Vunité w telle que q ( v ) = p(u)v).
Définitions. Un S-arbre est une classe d'isotopie d'arbres orientés F plongés dans (E a v e c :
( i ) r° = Z j , U X p Z j , sont les zéros de r, X p les points critiques de r . (ii) Il n'y a pas d'arête aboutissant à un z é r o .
( i i i ) En tout point critique il y a au moins deux arêtes rentrantes e t toute a r ê t e sortante est adjacente à deux arêtes rentrantes.
L e degré du S-arbre T est / / ( Z p).
Un zéro z de F est voisin d'un point critique x s'il y a un chemin d é c r o i s - sant dans T allant de x à z qui, à chaque point critique rencontré, prend la "première à d r o i t e " . On note V ^ ( x ) l'ensemble des zéros voisins de x, le plongement de T dans Œ muni V p ( x ) d'un ordre cyclique.
Une coloration admissible d'un S-arbre Y est c : X r + Œ t e l l e que : ( i v ) Sur l ' é t o i l e de tout z é r o A r g o c définit le m ê m e ordre c y c l i q u e que
le plongement de T dans (E.
( v ) S'il y a une a r ê t e croissante joignant à alors c ( x ^ ) - t c ( x ^ ) a v e c t > 1.
( v i ) Si c ( x j ) = c ( x ^ ) alors soit X j = x^, soit V p ( x ^ ) n V p ( x ^ ) - 0 .
Un S-arbre est dit générique si tous ses sommets critiques sont d'ordre 2 e t s'il n'y a pas de liaison entre eux. Une coloration générique d'un S-arbre générique est une coloration c t e l l e que A r g o est i n j e c t i v e .
Remarquons que la donnée d'un S-arbre générique V sans son plongement dans (E e t c : X p -> <T a v e c A r g o c i n j e c t i v e p e r m e t de definir une unique classe d'isotropie de plongements de F dans (C faisant de ( T , c ) un S-arbre c o l o r é .
Il est clair que si p est un polynôme réduit ( i . e . sans racines multi- ples) de d e g r é d alors Z p - p_ 1( 0 ) , X p - ( p T ^ O ) e t c - P |x définit
p p 1
sur r une structure de S-arbre c o l o r é . P
L e l e m m e 1 est un e x e r c i c e f a c i l e . Pour démontrer le l e m m e 2 il suffit de remarquer que :
L e S-arbre coloré ( T ^,p) d'un polynôme réduit p détermine la monodromie de p vu comme revêtement ramifié de (C.
Soient en e f f e t C j , . . . , cn les valeurs critiques du polynôme réduit p e t Y p . . . , y^ les lacets de (E - { c j , . . . , cm} représentés sur la figure 2 e t notons
Y *
P : 7T « c - { c ,...,c } ) + < è ( p ~!( 0 ) ) / c ^ V * / ^ " c \
la monodromie de p. En utilisant, au voisi- \ \ J / — nage de chaque point critique x. des cartes \ \ If • cu
(à la source e t au but) dans lesquelles p \ / / / / — ^ s ' é c r i v e v1— • v ^ ( m . ^ 2 ) , on obtient la \iv
J ^ 0
décomposition en c y c l e s de P ( Y J ) :
Figure 2
( * ) p ( y • ) = II Vr ( x . ) (où les zéros voisins de x. sont rangés
1 D ( X ) = C D ' '
v y i ¥ dans leur ordre c y c l i q u e ) .
C e t t e description est donc donnée uniquement en t e r m e s du S-arbre c o l o r é ( Tp,p) e t donc pour tout S-arbre c o l o r é ( T , c ) de d e g r é d on peut considérer la surface de Riemann S munie d'une application m é r é o m o r p h e TÍ : S CC u 0 0 r a m i f i é e sur I m ( c ) u { ° ° } dont la monodromie est d é c r i t e par ( * ) (ou l'on substitue ( T , c ) à ( T , p ) I ) . C o m m e en descendant le long
P - l
des préimages des rayons issus de 0 on r é t r a c t e S ~ ÏÏ~ ( ° ° ) sur un arbre (isomorphe à T ) la surface S est de genre 0 et TT ~ * ( °°) est réduit à un point L e t h é o r è m e d'uniformisation de Riemann fournit alors un isomor- phisme holomorphe cp : ((C,00) + (S, °° ) e t , c o m m e p = TT (f : ( [ u 0 0 ^
-1 . v é r i f i e p ( ° ° ) = { ° ° } , p est un polynôme de degré celui de TT, soit
/ / ( Z p ) = d. L e reste du l e m m e résulte de c e que cp est unique modulo les isomorphismes affines de (E(v >—• av+b, a / 0 ) .
III. E X E R C I C E S ET P R O B L E M E S .
Un e x e r c i c e marqué d'une é t o i l e est un e x e r c i c e que je ne sais pas résoudre mais qui ne semble pas conduire au d é m a r r a g e d'une série d'énoncés intéressants c o m m e c ' e s t le cas pour les problèmes (bien sûr je ne sais pas résoudre les problèmes ! ) •
E x e r c i c e 1.
a) Soit p un polynôme réduit dont on connaît le graphe c o l o r é ; d é t e r m i n e z le graphe c o l o r é de p+k où k e <E.
b) D é t e r m i n e z le graphe c o l o r é de pt( v ) = v^-5v+4t où t = x+iy e <X. [ I l change quand t franchit l'une des 12 demi-droites
c jX + c2y = Gj e2, | t | > 1 a v e c ( e { 9 ^ { - 1 , 0 , 1 } 2 - { ( 0 , 0 ) } . ]
P r o b l è m e 1.
a) Soient p e t q deux polynômes réduits ; d é t e r m i n e z , lorsque les polynômes p+q, p.q e t p o q sont réduits, leur S-arbre c o l o r é en fonction de ceux de p e t de q ( i . e . peut-on "calculer" a v e c la représentation d'un polynôme par, valeurs critiques e t monodromie ?)
b) ( C f . R i s l e r , exposé n° 637 du Séminaire Bourbaki)- Soit p un polynôme à c o e f f i c i e n t s réels ( r e s p e c t i v e m e n t c o m p l e x e s ) ; le d i a m è t r e c o m b i n a - t o i r e de Tp est-il borné en fonction de la c o m p l e x i t é a d d i t i v e de p sur IR ( r e s p . sur (E) indépendamment du d e g r é de p ?
E x e r c i c e 2.
a) Soit r un graphe fini à n sommets { l , . . . , n } à chaque a r ê t e a de r associons la transposition T des e x t r é m i t é s de a. Soit G le sous-grou-
a I pe de fe^ engendré par les x^. P r o u v e z que G ^ a g i t t r a n s i t i v e m e n t
sur { l , . . . , n } si e t seulement si r est c o n n e x e .
b) Soient a ^ , . . . , am un ordre sur les a r ê t e s de Y ; prouvez que si
x o . . . o x est un c y c l e d'ordre n alors dim H . ( r ) est pair e t
a « a
1
1 m
que si T est un arbre, alors x o . . . o x est un c y c l e d ' o r d r e n.
a, a 1 m c ) ( * ) Donnez une démonstration purement c o m b i n a t o i r e de b ) .
d) ( * ) F a i r e l'analogue de a ) , b) et c ) correspondant au cas de S-arbres non génériques.
[Pour a ) e t b) remarquez qu'en groupant les deux a r ê t e s aboutissant à chaque point critique d'un S-arbre générique r on o b t i e n t un arbre dont les sommets sont Z ^ et les a r ê t e s X . ]
E x e r c i c e 3.
a) P r o u v e z que le nombre d'arbres à d sommets dont les a r ê t e s sont d 3
numérotées de 1 à d-1 est 1 pour d = 2 e t d pour d > 2.
b) En déduire ( g r â c e au l e m m e 2) que le d e g r é de l ' a p p l i c a t i o n q u i , à d 1 d 2
(a ,...,a , ~ ) fait correspondre (b ,...,b , J où v " + b , ~v + . . . + b
o ' ' d-2 K o ' ' d-2 d-2 o
est le polynôme dont les racines sont les valeurs critiques de
d d-2 + .d-2
v + a , ~v + . . . + a est d
d-2 o c ) ( * ) D é m o n t r e z b) a l g é b r i q u e m e n t .
P r o b l è m e 2.
Les quatre arbres à 4 sommets à a r ê t e s numérotées de 1 à 3 sont o 2
1 2 3 2 3 1 3 1 2 l i 3
o o o o , o o o o , o o- o o e t o—'.—ô — o . Lorsque l'on f i x e les valeurs critiques d'un polynôme p un arbre l i n é a i r e est trois fois plus fréquent qu'un arbre é t o i l e .
a) Soit E = { p ( v ) - v ^ + a ^ v ^ + a j v + aQ| |a. | ^ 1 e t - o — o — o — o } .
E s t - c e que la mesure de Lebesgue (sur les c o e f f i c i e n t s a.) de E est
3
proche de 3/4 ÏÏ ?
b) D é t e r m i n e z le nombre d'arbres à d sommets et pour chacun, le nombre d'arbres à arêtes numérotées lui correspondant. Quels sont les S-arbres les plus fréquents ?
( i ) quand on fixe les valeurs critiques d'un polynôme.
( i i ) quand on borne les c o e f f i c i e n t s du polynôme.
c ) G r â c e aux réponses obtenues en b) ( i i ) , donnez une manière i n t e l l i g e n t e d'appliquer le principe des tiroirs pour trouver toutes les racines d'un polynôme p.
*
Abordant la question de Smale du point de vue "stabilité des systèmes dynamiques définis par une équation d i f f é r e n t i e l l e " , Shub, Tishler e t Williams ont, de manière indépendante, répondu à la question de Smale [ T h e N e w - tonian Graph of a C o m p l e x P o l y n o m i a l , Soumis à S . L A . M . 3. of Math.
A n a l . ] .
