À propos des convoluteurs d'un groupe quotient

P UBLICATIONS DU D ÉPARTEMENT DE MATHÉMATIQUES DE L ^YON

A. D ^ERIGHETTI

À propos des convoluteurs d’un groupe quotient

Publications du Département de Mathématiques de Lyon, 1982, fascicule 4B

« Journées d’analyse harmonique », , p. 1-3

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A PROPOS D E S C O N V O L U T E U R S D'UN G R O U P E Q U O T I E N T par A . D E R I C H E T T I

(Université de Lausanne)

Soient G un groupe localement compact et H un sous-groupe fermé de G

normal dans G, On sait que T f(x) = f f(xh) dh définit une contraction de L (G) 1 _ H

sur L (G/H), qui admet un prolongement naturel, noté encore T , du Banach M (G),

ri

1 1 espace des mesures de Radon bornées sur G, sur M (G/H). De plus^;M (G/H) est iso- métrique au quotient de M (G) par le noyau de T • 1

H

Soient 1 < p < 0 0 et CVp(G) les p-convoluteurs de LP( G ) ; M1( G ) sTidentifie de façon naturelle à un sous-espace de CV^(G). Si G est moyennable et H normal dans G, M. Anker a construit [1] une contraction R de CV (G) dans CV (G/H) qui

P P sur les convoluteurs associés à des mesures coïncide avec T .

n

Nous commençons par apporter un additif concernant cette application R.

THEOREME 1. - Supposons G abélien. Pour tout T E CV^(G) dont la transformée de Fourier T est uniformément continue sur G R(T)~ coïncide localement

presque partout sur H~^~ = (x £ G | x(H) = {1} } avec la restriction de T à H1.

REMARQUE. - Ce résultat a été obtenu en collaboration avec M. Anker (cf. aussi [1]).

Si f est définie sur G a,x € G on pose f(x) = f(ax) et f(x) = f(x ) . a

f y

Pour tout k £ L^P( G ) # G L^P (G) la relation ^A( T) < M ) = / dt(T <j> ., (k) ^t (fc) )dt G

avec T £ CV^(G); (j) £ LP( G ) , I/J £ L^P (G) définit un p-convoluteur de G dont la norme satisfait à la condition ||| It ⁰(T)||| < ||| T ||| ||k|| ||&|| , .

K , x. P p p p

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Si G est moyennable, T est limite faible, avec contrôle des normes, d^fopérateurs du type K (T). Au surplus, M- (T) est dans 1^!adhérence normique

k, £ ^{K , £}

dans CV^(G) de l^fensemble des convoluteurs à support compact. Notons cet espace cv (G).

P

Soient 3 une fonction de Bruhat associée à la paire (H,G), k G L^P( G ) et

£ G L^P (G) (1 < p < oo , •+ ~^? = 1 ) . La relation

(n^{K J J L}(T)(|),ip) = J dt(T T^h[ 0 ^t- K k 3^{1 / p t}) ] > T^H[ip ^t- t( A B1 / p) ] ) , G

T

où T £ CV (G), <j) £ L^P( G ) ^ G L^P (G) définit un convoluteur Q (T) de G. On a en P K- > £

fait ft „(T) G c v (G).

K> £ P

THEOREME 2. - Supposons G moyennable et H sous-groupe fermé de G normal dans G.

Pour tout K G L^P( G ) et £ G L^P (G),on a R^cft^k ^ ⁼ \ £ ^{a v ec}

COROLLAIRE. - Supposons en outre G/H compact. On a R ( ^^k ^(T)) = T pour tout

T G CV^p(G/H) , où k = ( A^GB )^{1 / , p} et £ = ( A ^ 3) ^ ^^P ; fi ^fc ^ est une isométrie de CV (G/H) dans c v (G).

P P

REMARQUE. - Si G est de plus abélien,on retrouve un résultat de Figà-Talamanca et Gaudry [2] et de N. Lohoué [3].

EXEMPLE. - Le Banach cv^(T) est isométrique, par une application explicite, au quotient de cv^(M(2)), où M(2) est le groupe des déplacements de plan, par le noyau de R dans cv^(M(2)).

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THEOREME 3. - Supposons G moyennable et H sous-groupe fermé de G normal dans G , Alors cVp(G/H) est isométrique au quotient de cv^(G) par le noyau de R

dans cv (G) . P

EXEMPLE. Le Banach cv ((R ) est isométrique à un quotient de cv (G), où G est

P P le groupe affine de IR.

REMARQUE. - Les preuves des résultats contenus dans ce texte feront l'objet d'une publication séparée.

BIBLIOGRAPHIE.

[1] J. PH. ANKER, Aspects de la ^-induction en Analyse Harmonique, Thèse, Lausanne 1982.

[2] A. FIGA-TALAMANCA, G.I. AUDRY, Extensions of Multipliers, Boll. Un. Mat.

Ital. (4) 3, 1003-1014 (1970).

[3] N. LOHOUE, Algèbres A (G) et convoluteurs de LP( G ) , Thèse, Université de P

Paris-Sud, Centre d?0rsay, 1971.

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