Introduction ` a la th´eorie des extrˆemes et des grandes d´eviations
TD7-MAPI3 2016-2017
1 Statistiques d’ordre et extrˆ emes
1.1 Etude empirique des lois limites des extrˆ ´ emes
1.1.1 Etude th´´ eorique
On consid`ere un ´echantillon X1,· · ·, Xn, (n ∈ N∗) de variables al´eatoires i.i.d. de densit´e f support´ee par un intervalle R. D´eterminer la densit´e de Zn := maxi=1,···,nXi. Trouver des suites (an) et (bn) telles que an(Zn−bn) converge en loi dans les cas suivants :
1. f est la loi de Rayleigh, sur R+f(x) :=xexp(−x2/2), 2. f est loi exponentielle de param`etre 1,
3. f est la loi uniforme sur [0,1], 4. f est la loi de Cauchy,
5. f est la loi de Pareto de densit´e sur ]1,+∞[ f(x) :=αx−1−α, (α >0).
1.1.2 Etude Num´´ erique
Simuler N ´echantillon de taille n de loi f et illustrer les r´esultats limites mis en ´evidence dans le paragraphe pr´ec´edent.
1.2 M´ ediane
1.2.1 M´ediane d’une loi
On se place dans le mˆeme cadre que celui de l’exercice pr´ec´edent. On appelle m´ediane le plus petit r´eel µtel queP(X1 ≤µ)≥1/2. Montrer que µminimise la fonctionϕ(x) :=E|X1−x|, (x∈R). Calculer les m´edianes des lois de l’exercice pr´ec´edent.
1.2.2 M´ediane empirique
soitµn l’unique minimiseur de la fonction
ϕn(x) := 1 n
n
X
i=1
|Xi−x|, (x∈R).
Calculer µn. Montrer que µn converge en probabilit´e vers µ et que √
n(µn −µ) converge en loi vers une gaussienne centr´ee de variance `a pr´eciser.
1.2.3 Etude Num´´ erique
Dans le cadre des lois de la section pr´ec´edente, illustrer par des simulations les deux r´esultats limites sur la m´ediane empirique.
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2 Grandes d´ eviations et ´ ev´ enements rares
2.1 Echantillonnage pr´ ef´ erentiel et th´ eor` eme de Cram´ er
Pour n ≥ 1, on consid`ere un ´echantillon X1. . . , Xn de variables i.i.d. de loi F. On prendra, par exemple, n= 50,100,500. Comme toujours, on poseXn :=n−1Pn
i=1Xi. On ´etudiera les cas suivants :
• F est la loi gaussienne standard,
• F est la loi exponentielle de param`etre 1,
• F est la loi de Poisson de param`etre 1,
• F est la loi de Bernoulli ´equilibr´ee,
• F est la loi g´eom´etrique de param`etre 1/2.
Pour c >E(X1), on posep(c) :=P(Xn ≥c). On souhaite ici comprendre exp´erimentalement `a partir de quel niveauc le th´eor`eme de Bahadur-Rao donne une meilleure approximation que celui de la limite centrale.
1. Tracer `a l’aide des fonctionsScilab cdfbin, cdfgam, cdfnbn, cdfnor, cdfpoiles courbesp(c).
2. Reprendre la question pr´ec´edente mais estimer les probabilit´es `a l’aide d’une m´ethode de Monte Carlode base.
3. Reprendre la question pr´ec´edente mais estimer les probabilit´es `a l’aide d’une m´ethode de Monte Carlo qui utilise le changement de probabilit´e des grandes d´eviations. Conclusions?
4. Tracer les approximationsp(c) et ˜b p(c) obtenues par utilisation du th´eor`eme de Bahadur Rao et de la limite centrale. Conclusions?
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