UPS TOULOUSE III MODELISATION
MAF, TP2 2015
Statistiques d’ordre et extrˆ emes
1 Etude empirique des lois limites des extrˆ ´ emes
1.1 Etude th´´ eorique
On consid`ere un ´echantillon X1,· · · , Xn, (n ∈ N∗) de variables al´eatoires i.i.d. de densit´e f support´ee par un intervalle R. D´eterminer la densit´e de Zn := maxi=1,···,nXi. Trouver des suites (an) et (bn) telles quean(Zn−bn) converge en loi dans les cas suivants :
1. f est la loi de Rayleigh, sur R+ f(x) :=xexp(−x2/2), 2. f est loi exponentielle de param`etre 1,
3. f est la loi uniforme sur [0,1], 4. f est la loi de Cauchy,
5. f est la loi de Pareto de densit´e sur ]1,+∞[f(x) :=αx−1−α, (α >0).
1.2 Etude Num´´ erique
Simuler N ´echantillon de taillen de loi f et illustrer les r´esultats limites mis en ´evidence dans le paragraphe pr´ec´edent.
2 M´ ediane
2.1 M´ediane d’une loi
On se place dans le mˆeme cadre que celui de l’exercice pr´ec´edent. On appelle m´ediane le plus petit r´eel µtel que P(X1 ≤µ) ≥1/2. Montrer que µ minimise la fonction ϕ(x) :=E|X1−x|, (x∈R). Calculer les m´edianes des lois de l’exercice pr´ec´edent.
2.2 M´ediane empirique
soitµn l’unique minimiseur de la fonction
ϕn(x) := 1 n
n
X
i=1
|Xi−x|, (x∈R).
Calculer µn. Montrer queµn converge en probabilit´e vers µet que √
n(µn−µ) converge en loi vers une gaussienne centr´ee de variance `a pr´eciser.
2.3 Etude Num´´ erique
Dans le cadre des lois de la section pr´ec´edente, illustrer par des simulations les deux r´esultats limites sur la m´ediane empirique.
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