MPSIA 2012/2013 Programme de colles de math´ematiques, semaine 10 (du lundi 10 au vendredi 14 d´ecembre) lyc´ee Chaptal
Le corps des nombres r´ eels Suites de nombres r´ eels
I. Le vocabulaire des suites
II. Suites convergentes ; notion de limite III. Op´ erations sur les limites
IV. Th´ eor` emes d’existence des limites V. Relations de comparaison des suites
1. Domination et n´egligeabilit´e :D´efinitions quantifi´ees, notations de Landau, tra- duction `a l’aide d’un produit de suites, propri´et´es, op´erations.
2. ´Equivalence :d´efinition quantifi´ee, traduction `a l’aide d’un produit de suites. Conver- gence et ´equivalence ; application aux suites qui ne s’annulent pas, aux suites strictement positives.
Obtention d’´equivalents `a l’aide de la d´erivabilit´e d’une fonction. Exemples de sin(1/n), ln(1 + 1/n) etc.
3. Suites de r´ef´erencesRelation de comparaisons entre les suites (nα)n∈
N, (an)n∈
N, ((lnn)β)n∈
N∗, (n!)n∈
N.
Suites de nombres complexes
D´efinition d’une suite `a valeurs complexes ; convergence ; op´erations sur les limites ; lien avec les suites parties r´eelle et imaginaire ; suite extraite, th´eor`eme de Bolzano- Weierstrass.
Questions de cours
Q1. [facultative] D´emontrer le th´eor`eme de Bolzano-Weierstrass pour les suites `a valeurs r´eelles.
Q2. Admettant le th´eor`eme de Bolzano-Weierstrass pour les suites `a valeurs r´eelles, le d´emontrer pour les suites `a valeurs complexes.
Q3. Ecrire une proc´´ edure Maple qui donne une valeur approch´ee `aepspr`es dee. Il faut savoir expliquer la m´ethode ainsi que la vitesse de convergence.
Q4. Ecrire une proc´´ edure Maple de recherche de√
2 par dichotomie `aepspr`es. Il faut savoir expliquer la m´ethode ainsi que la vitesse de convergence.(dans le cas d’une recherche de z´ero de fonction, aucune difficult´e th´eorique li´ee `a la continuit´e n’est au programme)
Q5. D´emontrer quean= o
n→+∞(bn) si et seulement si il existe une suite (εn) qui converge vers 0 etn0∈Ntels que pour tout entiern>n0,an=εnbn.
Q6. D´emontrer quean= ∼
n→+∞bnsi et seulement si il existe une suite (αn) qui converge vers 1 etn0∈Ntels que pour tout entiern>n0,an=αnbn.
Q7. Expliquer la m´ethode de monotonie int´egrale.
Application : justifier la convergence de la suite
n
X
k=1
1 k2
!
n∈N∗
. Q8. Expliquer la m´ethode de monotonie int´egrale.
Application : justifier la divergence de la suite
n
X
k=1
√1 k
!
n∈N∗
.
Q9. [facultative]D´emontrer que la suite
n
X
k=1
1 k−ln(n)
!
n∈N∗
converge.
Q10. Si f est une application continue, croissante sur un segment I = [a, b] et v´erifie f(I) ⊂ I, alors toute suite r´ecurrente d´efinie par u0 ∈ I et pour tout naturel n, un+1=f(un), converge. Caract´eriser les limites possibles de la suite.
Q11. Liste d’´equivalents `a connaˆıtre et `a savoir justifier : (a) sin(n1) ;
(b) tan(n1) ; (c) arcsin(1n) ; (d) arctan(1n) ;
(e) sh(1n) ; (f) th(n1) ; (g) argsh(n1) ; (h) argth(n1) ;
(i) en1 −1 ; (j) ln(1 +n1) ; (k) (1 +1n)α−1 ;
A venir : espaces vectoriels.`
