2 Diverses applications de la formule de Riemann-Hurwitz

E XAMEN DE M1 SUR “S URFACES DE R IEMANN ” AVEC CORRIG E SUCCINCT ´

19 mai 2010

L’´epreuve dure quatre heures. L’usage des documents (notes de cours, polycopi´es, livres) est autoris´e.

1 Courbes de Fermat

Notations. Soient n un entier ≥3, P(X,Y) :=Xⁿ+Yⁿ−1∈ C[X,Y] et Γ⊂C² la courbe alg´ebrique affine d’´equation P(x,y) =0. On notera de plusP(X,Y,Z)le polynˆome homog´en´eis´e dePetΓ⊂P²(C)la projectifi´ee deΓ.

1) D´emontrer quePest irr´eductible etΓnon singuli`ere. Justifier tr`es bri`evement la possibilit´e d’associer `a Γune surface de Riemann, que l’on notera Σ. On pr´ecisera la possibilit´e d’utiliser comme carte analytique l’une ou l’autre des applicationsφ:(x,y)7→xetψ:(x,y)7→y.

Solution:

Irr´eductibilit´e deP: crit`ere d’Eisenstein en utilisant l’anneauA=C[X]et l’´el´ement irr´eductible X−1.

Non singularit´e : les d´eriv´ees partielles nXⁿ⁻¹etnYⁿ⁻¹ ne s’annulent ensemble qu’en(0,0)qui n’est pas sur la courbe.

D’apr`es le cours, φest une carte analytique l`a o`uP<sub>y</sub><sup>0</sup> 6=0, c’est `a dire en tout point autre que les n points (e^2iπj/n,0). De mˆeme, ψ est une carte analytique en tout point autre que les n points (0,e^2iπj/n). Il y a des cartes analytiques en tout point d’o`u une structure analytique.

2) V´erifier que l’applicationφdeΣdansCest un morphisme de degr´en. Montrer qu’elle est ramifi´ee ennpointsP₁, . . . ,Pnque l’on d´eterminera. Calculer les multiplicit´eseP_j(φ).

Solution:

L’holomorphie se v´erifie dans les cartes. Dans la carte φ, c’est trivial. Au voisinage de chaque point(e^2iπj/n,0), on utilise la carte ψ: la fonction φ◦ψ⁻¹ est l’une desn d´eterminations de la fonction holomorphey7→√ⁿ

1−yⁿ, celle telle que 07→e^2iπj/n.

Un pointx∈Ca en g´en´eralnant´ec´edents distincts, le degr´e deφest doncn.

Les seules exceptions sont les x=e^2iπj/n, j=1, . . . ,n, dont les ant´ec´edents sont lesn points de ramificationP_j= (e^2iπj/n,0).

Comme chaquePjest seul dans sa fibre,eP_j(φ) =n.

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3) D´eterminer l’´equation homog`enePdeΓet v´erifier que cette derni`ere est non singuli`ere et que la surface de Riemann associ´eeΣest compacte.

Solution:

On aP(X,Y,Z) =ZⁿP(X/Z,Y/Z) =Xⁿ+Yⁿ−Zⁿ.

Ses d´eriv´ees partielles ne s’annulent ensemble qu’en(0,0,0)qui ne correspond pas `a un point de P<sup>2</sup>(C), d’o`u la non singularit´e.

La surfaceΣest un ferm´e deP²(C), donc compacte.

4) D´eterminer lesnpoints `a l’infiniQj, j=1, . . . ,n, par leurs coordonn´ees projectives[Xj:Yj: Z_j]et par leurs coordonn´ees(uj,vj)dans la carte affineu=Y/X,v=Z/X. V´erifier que(u,v)7→v est une carte analytique en chaqueQj.

Solution:

En faisantZ=0, on trouve (par exemple)[Xj:Yj:Zj] = [1 :yj: 0], o`uyj=e^(2j+1)iπ/n(les racines n^esde−1).

Dans la carte affine(u,v), cela donne(uj,vj) = (yj,0).

L’´equation de la courbe dans cette carte est 1+uⁿ−vⁿ=0, et la d´eriv´ee partielle par rapport `au ne s’annule pas en lesQj, donc(u,v)7→vy est une carte analytique.

5) Montrer queφs’´etend en une fonction m´eromorpheφsurΣ, admettant des pˆoles simples en lesQj. En d´eduire les multiplicit´eseQ_j(φ). Calculer le diviseur(φ)deφ.

Solution:

Dans la carte(u,v), la fonctionφs’´ecrit 1

v. Commevest une carte holomorphe en chaqueQj, ce sont bien des pˆoles simples de la fonction m´eromorpheφsurΣ; en particulier,eQ_j(φ) =1.

Les z´eros de φsont ceux de φ, donc, dans la carte affine(x,y), les points de coordonn´ees (0,y) avecyⁿ=1, donc lesRj(0,e^2iπj/n), j=1, . . . ,n. Le diviseur deφest donc :

(φ) = [R₁] +· · ·+ [Rn]−[Q₁]− · · · −[Qn].

6) D´eduire du th´eor`eme de Riemann-Hurwitz (premi`ere version) la caract´eristique d’Euler- Poincar´e et le genre deΣ.

Solution:

On aχ Σ

=nχ(S)−r, avec icir=

n

∑

j=1

eP_j(φ)−1

=n(n−1), d’o`uχ Σ

=−n²+3n. Le genre deΣest donc (n−1)(n−2)

2 ·

7) Justifier l’existence d’une forme diff´erentielle holomorphe ω sur Σ qui s’´ecrit dx yⁿ⁻¹ =

− dy

xⁿ⁻¹. Quels sont ses z´eros ?

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Solution:

La forme dx

yⁿ⁻¹, resp.− dy

xⁿ⁻¹, est d´efinie dans la cartex, resp. dans la cartey. Dexⁿ+yⁿ=1, on d´eduitxⁿ⁻¹dx+yⁿ⁻¹dy=0, d’o`u la compatibilit´e des deux formes et la d´efinition deω∈Ω¹(Σ).

D’apr`es les deux ´ecritures ci-dessus,ωn’a aucun z´ero surΣ.

8) On ´etendωen une forme diff´erentielle m´eromorpheωsurΣ. Calculer le diviseur(ω)et en d´eduire une confirmation du genre deΣ.

Solution:

En utilisant les formulesx=1 v,y=u

v, on trouve que, dans la carte affine(u,v), la formeωs’´ecrit

−vⁿ⁻³dv

uⁿ⁻¹ qui est holomorphe en les points `a l’infiniQj(hypoth`esen≥3) et s’y annule `a l’ordre n−3.

Le diviseur deωest donc :

(ω) = (n−3)

n

∑

j=1

[Qj].

Son degr´e est n(n−3) =2g−2 (deuxi`eme forme de Riemann-Hurwitz) et l’on retrouve bien l’´egalit´eg=(n−1)(n−2)

2 ·

9) `A quelle condition la forme xⁱy^jω est-elle holomorphe surΣ? En d´eduire une minoration de la dimension duC-espace vectorielΩ¹ Σ

. Solution:

Dans la carte affine(x,y), on trouve imm´ediatement la conditioni,j≥0. Dans la carte affine(u,v), la forme s’´ecrit−u^−n+1+jv^{n−3−i−j}dv, d’o`u les conditions j≤n−1 eti+j≤n−3. Il y a au total

(n−1)(n−2)

2 tels couples. Comme lesxⁱy^jωsont lin´eairement ind´ependantes surC, on trouve : dimCΩ¹ Σ

≥g.

En fait, on peut montrer qu’il y a ´egalit´e comme suit : toute forme diff´erentielle m´eromorphe s’´ecrit fωo`u f est une fonction m´eromorphe surΣ. D’apr`es la partie du dernier chapitre qui n’a pas ´et´e trait´ee en cours (cf. les feuilles distribu´ees), f est une fonction rationnelle dex,y, donc de la forme

n−1

∑

i=0

Pi(x)yⁱ, lesPi ´etant des fractions rationnelles : c’est dˆu au fait queyest alg´ebrique de degr´ensurC(x). Il reste `a v´erifier que, pour que fωsoit holomorphe surΣ, il faut que chaquePi

soit un polynˆome de degr´e≤n−3−i.

10) (Plus difficile.) La courbe Γ admet-elle d’autres points `a coordonn´ees rationnelles que (0,1),(1,0)? (Attention : il y a un pi`ege.)

Solution:

Voir Wiles, Andrew (1995). Modular elliptic curves and Fermat’s last theorem, Annals of Mathe- matics (141) (3), 443-551.

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2 Diverses applications de la formule de Riemann-Hurwitz

Soitφ:X→Y un morphisme non constant de surfaces de Riemann compactes. Que peut-on d´eduire de la formule de Riemann-Hurwitz lorsqueX est la sph`ere de Riemann ? LorsqueXest un tore complexe ?

Solution:

On aχ(X) =nχ(Y)−retn≥1,r≥0,χ(X),χ(Y)≤2. SiXest la sph`ere de Riemann,nχ(Y)≥2, ce qui n’est possible que si le genre de Y est 0. On peut montrer queY est alors la sph`ere de Riemann. Si X est un tore complexe,nχ(Y)≥0 , ce qui n’est possible que si le genre deY est 0 ou 1. De plus, dans le deuxi`eme cas (dont on peut montrer qu’il correspond `a un tore complexe), le morphisme est non ramifi´e (isog´enie).

3 Certains isomorphismes de coubes elliptiques

Soient Λ un r´eseau de C et a∈C^∗. L’applicationz7→az induit donc un isomorphisme de surfaces de Riemann f :C/Λ→C/Λ⁰, o`uΛ<sup>0</sup>=aΛ. Soit d’autre partφl’isomorphisme deC/Λsur une cubique projective non singuli`ereΓinduit parz7→ P_Λ(z),P⁰_Λ(z)

(fonction de Weierstrass et sa d´eriv´ee) ; soitφ⁰l’isomorphisme analogue deC/Λ⁰surΓ⁰. Expliciter l’isomorphismeφ⁰◦f◦φ⁻¹ deΓsurΓ⁰et v´erifier qu’il est compatible avec les ´equations deΓet deΓ⁰.

Solution:

Tout repose sur les formules P_Λ⁰(az) =a⁻²P_Λ(z) et P⁰_Λ0(az) =a⁻³P⁰_Λ(z) dont la preuve est imm´ediate. L’application deΓsurΓ⁰est donc(x,y)7→(a⁻²x,a⁻³y)en coordonn´ees affines,[X:Y : Z]7→[a⁻²X:a⁻³Y:Z]en coordonn´ees projectives. Cette application est bien bijective de la courbe Γd’´equationY²Z=4X³−g₂X²Z−g₃Z³sur la courbeΓ⁰ d’´equationY²Z=4X³−g⁰₂X²Z−g⁰₃Z³ parce qu’un calcul analogue au pr´ec´edent donneg⁰₂=a⁻⁴g₂etg⁰₃=a⁻⁶g₃.

4 Du bon usage des formes diff´erentielles

SoientΛ,Λ⁰deux tores complexes. On noteπ,π⁰les projections canoniques deCsur ces deux tores etω, resp.ω⁰l’unique forme diff´erentielle holomorphe surC/Λ, resp.C/Λ⁰telle queπ^∗ω= dz, resp.π^0∗ω⁰=dz. On rappelle que ω, resp.ω⁰ est une base duC-espace vectoriel Ω¹(C/Λ), resp.Ω¹(C/Λ⁰). Soit f:C/Λ→C/Λ⁰un morphisme de surfaces de Riemann. On noteφ= f◦π.

1) Montrer qu’il existea∈Ctel queφ^∗ω⁰=adz.

2) Posantψ(z):=φ(z)−az (modΛ⁰), calculerψ^∗ω⁰. 3) En d´eduire queψest constante et queaΛ⊂Λ⁰. 4) Quel th´eor`eme du cours retrouve-t-on ainsi ? Solution:

1)φ^∗ω⁰∈Ω¹(C/Λ) =Cdz, donc il est de la formeadz.

2)ψ^∗ω⁰=φ^∗ω⁰−adz=0.

3) La d´eriv´ee de l’expression deψdans les cartes est donc nulle d’o`u la constance,i.e.φ(z) =az+b (modΛ⁰). Pour que cette application factorise parπ, il est n´ecessaire (et suffisant) queaΛ⊂Λ⁰. 4) On retrouve ainsi la description de tous les morphismes de surfaces de Riemann entre tores complexes.

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