Sur la théorie des surfaces de Riemann

A NNALES SCIENTIFIQUES DE L ’É.N.S.

L ÉONCE F OURÈS

Sur la théorie des surfaces de Riemann

Annales scientifiques de l’É.N.S. 3^e série, tome 68 (1951), p. 1-64

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A N N A L E S

SCIENTIFIQUES

DE

L'ÉCOLE NORMALE SUPÉRIEURE

SUR LA THÉORIE DES SURFACES

DE R I E M A N N

PAR M. LÉONCE FOURÈS.

I N T R O D U C T I O N .

De nombreux travaux ont été consacrés aux surfaces de Riemann depuis H. Poincaré et P. Kœbe qui en 1907 énonçaient le théorème fondamental de l'uniformisation déjà énoncé par Riemann pour les surfaces algébriques.

Poincaré et Kœbe utilisaient les fonctions de Green définies sur des surfaces de Riemann obtenues par prolongement analytique de Weierstrass. H. Weyl(i9i3) et T. Rado (1925) donnent des définitions axiomatiques des surfaces de R i e m a n n , construites sur des espaces topologiques. R. Courant (1922) donne une démonstration du théorème de l'uniformisation utilisant encore les fonctions harmoniques : cette démonstration sera précisée dans l'édition de 1929 de sa Funktionentheorie et par G. Valiron dans son cours à la faculté des Sciences de Paris en 1949-1950 (1). En 1927, Kœbe ÇActa Mathematiça, t, 5o) avait donné la première démonstration de ce théorème sans utiliser les fonctions harmoniques, et Bieberbach publiait dans sa Funktionentheorie, une démonstration originale ne faisant intervenir que la définition du prolon- gement analytique de Weierstrass. Les deux premiers Chapitres du présent travail sont consacrés a une extension des travaux de Bieberbach : au Chapitre I, j ^ é t u d i e une suite de fonctions univalentes définies dans des domaines de plus en plus grands : l'utilisation du Verzerrungsatz de

(1) A paraître dans Cours d'Aivdrse^ t. 111.

Afin. Éc. Norm., (3), LXVIIÏ. — FASC. 1. l

2 LÉONCE FOURÈS.

Bieberbach, et des familles normales de P. Montel, permet d'obtenir des résultats précis sur la fonction limite et son comportement à la frontière. La suite du chapitre est consacrée au raccordement de domaines plans, dont certains cas ont été étudiés par Bieberbach; d'autres types de raccordement sont ici étudiés, et trouveront une application au chapitre suivant et dans des travaux ultérieurs; une large part est consacrée à l'étude des frontières.

Au Chapitre II je rappelle la définition de Rado, des surfaces de R i e m a n n , en utilisant les axiomes de topologie sous la forme que leur a donnée Bourbaki (dont je conserve aussi les notations) : j'en déduis la représentation para- métrique des surfaces de Riemann, et l'étude de l'intersection de deux éléments de définition souligne l'importance de la régularité de l'espace topo- logique sur lequel est définie la surface de Riemann. L'étude du raccordement des surfaces de Riemann, conduit alors aux théorèmes de l'uniformisation, étendus aux surfaces définies par H. WeyI. Le premier de ces théorèmes concerne les surfaces simplement connexes, le second les surfaces ouvertes quelconques.

Le deuxième théorème de l'uniformisation conduit à la considération des surfaces de recouvrement de la surface initiale. De la définition des recou- vrements d'espaces topologiques, donnée par C. Chevalley, je déduis une défi- n i t i o n axiomatique des recouvrements abstraits de surfaces de Riemann, et de la surface de recouvrement relativement non ramifiée. Tout ce qui suit ne concerne plus alors que des surfaces de Riemann définies par prolongement analytique de Weierstrass. L'arbre topologique défini par Speiser, et utilisé par Nevanlinna, Ulrich, Elfving, etc. permet-il de déterminer si la surface qu'il représente est, ou non, la surface de recouvrement d'une surface de R i e m a n n ? Ayant défini dans ce but les arbres topologiques régulièrement ramifiés, je caractérise parmi eux une classe d'arbres qui satisfont à la question posée.

On peut pour chacun de ces arbres, déterminer une surface fermée dont la surface de recouvrement admet précisément pour arbre topologique l'arbre donné. Ces considérations font l'objet du Chapitre III.

Le Chapitre IV est consacré à la décomposition en feuillets des surfaces de R i e m a n n simplement connexes, ou, ce qui revient au même, à la construction des domaines d'univalence pour la fonction inverse de l'uniformisante. Ce problème a été abordé en igSi par F. Marty, dans le cas général, et par T. Schimizu dans le cas des surfaces de Riemann de type parabolique.

G. Valiron (1940) a mis en évidence certaines singularités possibles pour les domaines d'univalence et leur disposition. J'indique u n e première méthode de résolution qui consiste à enfermer les singularités transcendantes dans des domaines de diamètres décroissants, quand cela est possible. On obtient ainsi une classification des points transcendants isolés, d'après l'allure des domaines d'univalence. Dans le cas des surfaces de Riemann de type parabolique la méthode des étoiles d'holomorphie permet de résoudre le problème : les

SUR LA THÉORIE DES SURFACES DE RIEMANN. 3

domaines d'univalence correspondants, pour la fonction inverse de Tunifor- misante, ont tous leurs points frontières accessibles, mais leur répartition peut présenter le cas de division impropre.

Qu'il me soit permis d'exprimer ici ma gratitude pour MM. Montel, Valiron et Cartan dont les cours à la faculté des Sciences et à l'École Normale Supérieure, ont décidé de l'orientation de mes recherches, et je suis heureux qu'ils aient bien voulu accepter de constituer le jury de ma thèse. Je remercie tout particulièrement M. G. Valiron pour l'intérêt bienveillant qu'il n'a cessé d'apporter à mon travail. Ses encouragements et ses conseils m'ont été extrêmement précieux.

CHAPITRE 1.

THÉORIE DU RACCORDEMENT.

A. — Sur les suites de fonctions univalentes.

Soit une suite de fonctions z^=f^n) vérifiant les conditions suivantes : û. fn(^n) est holomorphe univalente dans Cn ( ^/J^/^) avec /,,(o)=o, /,:(o)=i;

&. l'image de G,< par/^ est un domaine TnCCn+r

j . /^+i^maxi/^(^)l^/¹/,. Soit R la limite finie ou i n f i n i e de la suite /y.

2. fn+kÇ^n+h) est une fonction ç/,,/^i(^,,) holomorphe univalente dans C,, et normalisée au centre. Les <fn,h (ⁿ fixe, A ^ > o ) formant une famille bornée normale dans l'intérieur de C^, soit y,,^ une suite convergeant uniformément dans l'intérieur de Cn vers $,,(^) holomorphe, univalente dans Cn, normalisée

au centre.

Soit m^>n^ et 8^ un ensemble fermé intérieur à C,,, d'image o^ dans C,^. La famille Çm,^(^n)? (/^-4- ^i= Tî+Ai, ^^>o) bornée dans l'intérieur de G/«, converge dans S^ donc uniformément dans l'intérieur de C,n vers <1?^(^), holomorphe, univalente et normalisée au centre de C,n. $m°ç/2,m-«== $/z dans

Cn pour tout m^> n.

3. Soit C le cercle \z <^ R.

a. Si ^€C«, $n(^)eC sinon il existerait h, tel que fn,h^n) | > R^/n^/,, ce qui est contraire à la condition 6.

P. Tout cercle 1-3 ^ c < ^ R est couvert par l'image par ^==$,,(^) d ' u n cercle Cn pour n assez grand.

LÉONCE FOURÈS.

Choisissons pi et /^vérifiant p <^ p , <^/',<<R. Désignons par ç^ la suite Çn,/^;

Si R est fini^, '-^ ^~r' Soit A > i. On peut choisir n assez grand pour q u e — << A .

^ f'n ru

l •> 9

(B) ^ Si R est infini, -^ ^ - — — — ^ — ^ < 7——^-^-En se limitant au disque |^| ^^/^

J ^/t v / i — 1 ^ 1 ) " v / î —^r )~

avec r^> pi ; une fois r' fixé on peut choisir n pour que -——f—— < A .

{^n — f Y

Par un calcul fait par Bieberbach (^ ) on trouve :

\^n,p— ^n\ -^/A^—I.pi.

valable pour ^ ^ p i <^r, avec r<^i\, si H est fini, r^/-' si R est infini.

Soit £ donné : choisissons alors p i ^ > c + c , puis ^ ^ > p i (et 7^'^>r si R est infini). Ayant calculé A pour que H <^ £, on peut déterminer n pour que r,^r (^> ^ si R est infini), et que les conditions (B) soient satisfaites.

Dans ces conditions [<t>»—^[^£, et l'image par $„ du cercle \Zn ^ p i est limitée par une courbe située dans la couronne ( ( p ^ — £ , p i + £ ) ) . L'image du cercle C^, a fortiori, couvre le cercle z |^p.

4. Supposons que les 9/^(^/1) ne convergent pas. On peut définir une fonction ^F/,(^,,) possédant les mêmes propriétés que <t^. Soit^eC, et^eC/.tel que ^pÇ^p) = C avec représentation conforme biunivoque des voisinages; ^p est unique dans C,,. Soit 'Q= ^(^p), ^p est le seul point de C/, dont l'image par W,, est ^ . ^/e s t indépendant d e p :

^(Ç/,) == ^ o (p^^y_^(^) -=z Ç quel que soit q >p

^== ç^, ^_^(^/) est le seul point de C,/ dont l'image par <i>,y est Ç

^ ( ^ ) = ^ o ^ ^ ( ^ ) = ^ ( ^ ) = ç^/.

On peut donc réaliser une correspondance Ç<">^ de C sur lui-même, avec représentation conforme biunivoque des voisinages, dans laquelle le centre de C est son propre homologue, la dérivée y étant i. C'est l'identité.

5. Si un arc de la circonférence C,i est représenté par tout o,^ suivant un arc de la circonférence C^+/^, la fonction <&^ représente Vintérieur de cet arc analyti- quement sur un arc de la circonférence de C qui est de rayon fini.

Soit y cet arc de la circonférence Cn et T un morceau simplement connexe de C,, et contigu à y. Les fonctions ç^,/,(^,i) analytiques dans T ê t sur sa frontière ( s a u f peut-être aux extrémités de v), représentent T sur1\cC,,+//, et sont aussi holomorphes univalentes dans © = t u t/U Y (°ù À est l'intérieur de A, e t T '

(1) FunktionerUheorie, igSi, p. 1 8 1 (édition Chelsea).

SUR LA THÉORIE DES SURFACES DE R I E M A N N . 5

l'image de T par rapport à la circonférence C,,); De la limitation de ]<p^/< --et -I ç^J dans l'intérieur de T on déduit l'existence d'une borne pour [ y,,/,] dans l'intérieur de @ : il suffît pour cela d'introduire un nombre fini de cercles intérieurs à C u © ? recouvrant un domaine arbitraire intérieur à ©; dans chacun d'eux les y,,/, sont bornés, ce qu'on peut voir en opérant de proche en proche à partir de ceux de ces cercles qui ont leur centre dans C,,. La suite (pa+h converge donc uniformément dans tout domaine intérieur à ©^ domaine que l'on peut supposer contenir n'importe quel arc ^ ' C f .

Posons z,,=j\e^\ ^ correspond à Ô^^Q^O',. On a |y,,/,(7^^⁰)] ==/^/,.

On peut trouver h assez grand pour que \^n—ç/i,/J <^ s dans tout un

Fig.

domaine contenant y à son intérieur. Si <î),J ^ const. sur y on aurait 1 ^n{r^') \ — \ ^n{r^") \ | = a. Prenant £ < | on aurait

| rn-^h — \ ^n ( /•/. e^' ) 1 < a et [ r,,^ — ; € » / / ( r,, e^" ) \ \ < a,

1 • 0 1 " 1 0

ce qui est impossible, donc a = o.

|$^)==const. sur ^ mais ^^const. sinon elle serait aussi constante dans Cn. \^n est bornée dans ©, donc C est un cercle de rayon fini et la repré- sentation de y' sur un arc de la circonférence de C est analytique.

B. — Raccordement de première espèce.

1. POSITION DU PROBLÈME.

D É F I N I T I O N S . — S o i e n t dans les plans z et ^ deux domaines A et B et deux parties A' et W de A et B en correspondance conforme biunivoque parÇ=d^).

A' et B/ sont supposés maxima, c'est-à-dire que *€ = ^p(^) n'est pas prolongeable dans A — A7, ^p(^) restant univalente à valeurs dans B.

DÉFINITION. — Raccorder les domaines A et B des plans z et Ç, par <^, ou suivant A7, c'est déterminer unç fonction w= f(z') et une fonction ^=<p(Ç),

6 . LÉONCE FOURÈS.

méromorphes et univalentes dans A et dans B, prenant les mêmes valeurs en deux points homologues de A' et W [associés par ^ = ^p(^)] et des valeurs distinctes pour

tout autre couple s € A et Ç € B.

On écrira que w est méromorphe univalente dans A^LB ou ( A ^ L B ) .

Si le raccordement est possible l'ensemble A des valeurs prises par w lorsque

^ parcourt A et ^ parcourt B forme un domaine : soient A* et B^ les domaines images de A et B p a r / e t y. z^ et ^o étant choisis homologues dans A' et B', q^=y(^o)= yCCo) : (^eA^ et ^çV peuvent être joints à ^ par deux courbes respectivement intérieures à A^ et B* donc à A. A connexe est bien un

domaine. Nous écrirons A == (A ^L B).

Si P €  (ou Ê) son image par fÇz) [ou çp(Ç)]eÂ, et inversement P^e est l'image d'un point €  ou eB.

Si A est simplement connexe, soit A1 une image conforme de A : A1 est un cercle dont le centre est l'image de ^ o € E À , avec ( —^p- ) = i ? on écrira

\ az Ao

^=(A^ïi)^

UNICITÉ. — Soient A^^A^B),; e t A³= ( A ^ B ) ^ . P^^^e¹ est l'image de ^ € =  (ou de Ç&Ê) qui a lui-même pour image dans A², Q\ Cette image est unique même si ^ € A ' , et en vertu de Tunivalence des fonctions/¹, y¹, /², y², la correspondance établie entre P* et y est localement conforme biunivoque, donc aussi globalement. La représentation de A1 sur A2 normalisée au centre est l'identité.

TYPES DE RACCORDEMENT. — Soient un cercle A, A^/ une portion connexe de ce cercle limitée par des arcs de Jordan (sans points doubles) dont tous les points sont accessibles par l'intérieur (une exception sera envisagée : voir remarque 3, p, i3). Soit CÏ= A — A ' .

i" Disposition en croissant. — A' simplement connexe, et Cl admettent chacune au moins un arc de la circonférence de A, comme élément frontière.

Cette circonférence est partagée en un nombre fini d'arcs frontières de A' et (fl;

2° Disposition en pince. — ÛL connexe; A^/ simplement connexe admet toute la circonférence de A comme frontière, un point de cette circonférence étant frontière de CX;

3° Disposition en anneau. — Aucun point de la circonférence de A n'est frontière pour (SI. A' est de connexion finie ^2.

Nous étudierons quatre types de raccordement :

Raccordement par croissants lorsque les décompositions de A et B se font en croissants. On se bornera au cas où 0î> est simplement connexe.

SUR LA THÉORIE DES SURFACES DE R I E M A N N . 7

Raccordement par croissant et pince : décomposition de A en croissant,de B en pince.

Raccordement par pinces : décomposition de A et B en pinces;

croissant pince Fi g. 2.

Raccordement par anneaux : décomposition de A et B en a n n e a u x . On se bornera au cas où A' (donc aussi W) est doublement connexe.

CAS D'IMPOSSIBILITÉ. — Sur la frontière de A^ nous distinguerons les arcs externes qui appartiennent à la circonférence de A et les arcs internes dont les intérieurs CÂ. Les frontières de A' et B' se correspondent ponctuellement et continûment par ^ = ^ ( ^ ) . On pourra donc distinguer sur la périphérie de A' les -arcs homologues d'arcs internes de W et les arcs homologues d'arcs externes de B'.

THÉORÈME. — Si sur la périphérie de A' les homologues des arcs externes de B/ ne couvrent pas les arcs internes de A^ le raccordement Aj^LB ne peut être réalisé.

Remarque. — Si les homologues des arcs externes de B^ couvrent les arcs internes de A7, c'est que tout point d'un arc interne de A' correspond à un point de la circonférence de B, donc un point d'un arc interne de B' ne peut correspondre qu'à un point de la circonférence de A; c'est dire que les homo- logues des arcs externes de A' couvrent les arcs internes de B7.

Soient sur la circonférence de A, l et // les ensembles des arcs frontières de 0L et A'; soient l" la frontière interne de A', et yJ l'ensemble des homologues

Fig. 3. Fig. 4.

des arcs externes de B^ De la même façon, m désigne l'ensemble des arcs frontières de (33, situés sur la circonférence de B, m ' l a frontière externe de B^, m" sa frontière interne.

Supposons ///— ;J/ non vide, il s'agit d'un arc ///— ^ au sens de l'accessibilité dans h.' : il se pourrait pour un point de /// que pour certains chemin& d'accès

8 LÉONCE FOURÈS.

il appartienne à [j/ et pour d'autres il appartienne à /^{/ /}—;j/ (fig'- 3). Soit PO €5^— ^/ ( P o € Â ) et Vo un voisinage de Pô, V o C Â . Comme /// est une courbe de Jordan on peut trouver dans Vo un point P ( P € /^{/ /}— ^ / ) et V i ( P ) c V o partagé par /^// en deux morceaux seulement V^ et V^ dont l'un au moins vérifie V^cA'. Supposons le raccordement A j ^ B réalisable : w=fÇz) holomorphe univalente dans V\ le représente sur V^. D'autre part la correspondance A'^-^B⁷ continue sur les frontières associe à P au moins un point Q sur m" ( Q e È ) , unique si V", ((A^ w=- <p(^) représente sur V^ un voisinage Vg de Q. La considération de deux suites de points homologues dans ^f\ et Va tendant respectivement vers P et Q montre que P et Q ont même image II dans le plan ^. IIe^i II €^2 donc V,cV^=W ^0 : soit WCW un voisinage de II partagé en deux morceaux seulement W et W par l'image de /^//. Soient alors Wi, W^, W[ les images dans le plan z par z= f~\^) de Wy W, W \ Wa, W,, W^ leurs images dans le plan ^ par ^== op"¹^). ^= ^p(^) définit une correspondance conforme biunivoque entre W^ et W<,; ^==(p^--^l(^) est holo- morphe univalente dans W donc ^= y"1 °/(^) est holomorphe univalente dans Wi, identique à ^p(^) dans W ^ ; ^(^) est alors prolongeable dans A^{/ /}= A^/U \ V ^ ses valeurs restant dans B puisqu'elles sont dans W ^ ; deux cas

sont alors possibles :

a. ^(^) ainsi prolongée est univalente dans un domaine A^A⁷; A⁷ ne serait pas m a x i m u m ;

&. m!' ne pénétrant pas dans W^ et certains points de W^ appartenant à B\

c'est que W;cB'. Soit W^^-^W^'U^/^W:)^ y(W:) =/(W':); mais / e s t univalente donc W ^ W ^ , et W'^cA^ La fonction ^(^) donnée est identique dans 'W[ au prolongement dans Wi entier de ^p(^) donnée dans W^.

La correspondance A'^—^B⁷ s'étend donc à la portion de /^// (et m") intérieure à W^ (et Wa) : iV ne serait pas maximum.

Remarque. — Soit À = A — ( // /— ; j / ) que nous supposons simplement connexe. Un « raccordement » de A et B suivant A^ où l'on admettrait la possibilité pour les points de (///— ^/) d'avoir pour image, des points frontières du domaine image de ce « raccordement » n'est autre que le raccordement Â^B, où À* est une image conforme circulaire de À. On est ainsi ramené au cas où pt/ 3 /^//.

2. RACCORDEMENT PAR CROISSANTS.

Soient Ri et pg les extrémités de m', R'j et (^ celles de u J . Soient ai et as sur la circonférence de A les extrémités de l'arc de cette circonférence, frontière de A^/ et contenant p'^, ==frontière de A' —;j/. ?, sera dit extrémité régulière de B' s'il est possible de construire à l'intérieur de B^ une courbe aboutissant

SUR LA THÉORIE DES SURFACES DE R I E M A N N . 9

en pi en coupant la circonférence de B sous un angle 7^0 (à Â'ïi près); dans le cas contraire on dira que pi est une extrémité irrégulière de B\ Remarquons que la frontière interne de B' reste à une distance finie de tout arc intérieur à m¹'.

CAS RÉGULIER. — ^ et ^2 sont extrémités régulières de B⁷. On peut alors construire un arc de cercle Ci intérieur à W coupant Fg (circonférence de B) en 81 et ^ sous un angle 9 == -^ (/i entier). A C< correspond dans A un arc ^ joignant Q\ et ^, séparant A' en deux parties d o n t l'une ÛL, est contiguè à cl.

Posons 0i^=0L\j0C^\jl". ^ étant un point choisi dans CX, il existe z^=f^z) représenta-nt ÛLi simplement connexe, sur un cercle Ai, la correspondance étant analytique entre les frontières (sauf en ^ et ^), et avec /i(J;)== o, /,^/(^)==I. Soit r\ l'image de ^ : les autres éléments de Ai seront notés par

Fig. 5.

les mêmes lettres que leurs éléments homologues dans A; soit ^ l'arc de la circonférence de Ai, autre que 1^. Le domaine <^m'\ Ci ^> limité par m' et Ci (plan 0 est en correspondance conforme biunivoque avec <^ [j/, r\ ^> du plan z^\ cette correspondance peut être prolongée par la méthode des images par rapport aux côtés homologues Ci et r\. Soit €3 l'image de m! par rapport à Ci, et ^2 Fimage de ^ par rapport à r\. <^ ?, ^2 ^> simplement connexe, à frontière accessible, est représenté sur A^ par z^=f^(z^) normalisée à Porigine .A^=Ç€i,^a^<^m^r, C^}^. Soit T., l'image de ^2. De la même façon le prolongement de la correspondance existant entre <^ m\ €3 ^> et <^ ^', F2 ^>

au delà de €3 et Fa fournit dans un plan ^3, A3==(el^</^, C3>)^. On poursuivra l'opération, et l'on obtiendra dans le plan ^+1,

A/^= (e^ ^ < m', G.^ >)^= (a, ^L B)^

puisque B == < m', C^+i > (¹ ).

Soient ^14-1= /(^) et ^,^i==(p(^) les fonctions ainsi déterminées dans eXi

(¹) Cette construction, sous des hypothèses moins larges, est indiquée dans Bleberbach (ouv. cité p. 172), la validité du raccordement n'étant pas assurée dans A entier.

Ann. Éc. Norm., (3), LXVIII. — FASC. 1. 2

10 LÉONCE FOUR ES.

et B. Pour ^ç0L\ /(^)==(p o ^(^); mais 9 0 ^ est défini dans tout A\ donc aussi/(^) qui satisfait à / ^ o ) ^ ^ ^ ) ? p o u r ^ o et ^o homologues quelconques dans A7 et B\ Donc A,,+i = (eXi ^ B ) ^ = ( A ^ B ) ^ . On peut enfin par une transformation homographique w=h(z^^) de A,,,+i sur un cercle A obtenir A == (A^B)^ où Z est un point quelconque de A ou de B.

Remarque. — A et B n'ont pas joué initialement le même rôle : on a été conduit à supposer d3. simplement connexe pour déterminer m' donc y J , ce qui ne pouvait se faire si aucun des deux domaines (9L ou cB n'était connexe.

On a construit Ci dans B', mais on pourrait réaliser la construction de A par le même processus fini à partir d'un arc de cercle C, intérieur à A7 et d'extrémité ai et ag (pourvu qu'elles soient régulières).

CAS IRRÉGULIER. — Si le problème ne peut être résolu par l'examen précédent c'est que l'une au moins des extrémités (a^, 03), et Fune au moins des extrémités (pi, ^2) sont irrégulières. Remarquons aussi que si ^ et a^ sont distincts, on peut prendre sur l'arc pa^ un point quelconque ^3 comme extré- mité régulière de W (ou 03 sur l'arc correspondant ocap',). Le seul cas excep- t i o n n e l est donc le suivant : dans B, o^. •= ?, extrémité irrégulière de B^ pour au moins une v a l e u r de / ( i ou 2); dans A, 0,= p^. extrémité irrégulière de A7, pour au moins une valeur d e y ( i ou 2).

Supposons o^ == Ri extrémité irrégulière. Soit une exhaustion de m, ni^m.C - - • 0/^C . . .; rn^m! ayant pour extrémités pi^ et py „. La suite des pi,,, converge vers ^i, et ^2,71 pourra être choisi •= ^ si ^ est extrémité régulière de W, ou à ^3 si ^ ^ a ^ , sinon P ^ - ^ ^ - Pour n^>rio, p ^ ç A (où Pi^ correspond à pi,^), p^-— ai. Soit A,, le domaine obtenu en retirant de A'Parc ai ^'^n (arc interne de A') et éventuellement l'arc 03 p^». Soit dans le plan ^,,, A,<===(A,^B)^. Tout point P^çÀ,,, étant lui-même image d'un point P(/€A^ ou B avec représentation conforme biunivoque des voi&inages, se représente de la même façon sur P,^eA,« ( m ^ > n ) où P^ est u n i q u e . Inversement P^€Â/n est image soit d'un point P(,€È, soit de P o €  ^ ; Pô est alors soit frontière soit intérieur à A^, et dans ce dernier cas seulement P^ est l'image d'un point P^eÀ» unique. En particulier s i w = / î + i on définit ûnesuite Wn+Y == y/i ,1 (^) satisfaisant aux conditions du paragraphe A. SoitA le cercle limite des cercles A,,. Pc À est image d\in P^eÂ,, Çn assez grand) lui-même image

o o o o o

de P o € soit à B soit à A,, donc à A. Inversement si P o € B ou €:A, il existe n tel q u e Po€:B ou À,;, et Pô a u n e image unique P,,€Â^ donc une image P€:A.

Comme toutes ces images s'accompagnent de représentation conforme b i u n i - voque des voisinages et que deux points homologues par Ç== ^(^) ont même

image dans tout A,,, donc dans A on a A = = ( A ^ L B ) ^ .

SUR LA THÉORIE DES SURFACES DE RIEMANN. U

THÉORÈME. — S o u s les hypothèses du raccordement par croissants (p. 6), si

^homologue de l^arc externe punique) de W couvre F ensemble des arcs internes de A\ le raccordement A j ^ B est réalisable^ A==(ALI.B)^ étant un cercle de rayon fini.

LA FRONTIÈRE DE A. — Soient sur la circonférence de A, (0^2) l'arc a^D/, et (o^aa)7 son complémentaire. Soit (a^a/ le complémentaire de ( a ^ / s u r la frontière de A^. ( P i ^ ) » ( P i P a V » ( P i P a Y représentent les éléments analogues dans B.

La construction de A dans le cas régulier montre que les points ai 03 ?i Ra ont pour images sur la circonférence de A, F^, des points a:a^p:p:, la corres- pondance entre (a^) et (a:a:), ( P i p s ) et ([^PO étant analytique, et les arcs ( a i ^ y et ( p i ^ Y ^ ayant pour images des courbes de Jordan aboutissant en a:, a: et'?:,?:.

C^ irrégulier. — A est de rayon fini : (ai 03) a une image suivant un arc de circonférence de chaque A,,. En appliquant le résultat (§A, 5) on trouve que (a.^) se représente analytiquement sur un arc ouvert de F^. De même pour (p/Pa).

Image des extrémités ai et aa : soit dans (9L une courbe L aboutissant en a^.

Supposons que son image L* dans A n'aboutisse pas en un point de F^;

L* approche uniformément un arc K de F^. K ne peut contenir deux points accessibles de la frontière de A* (image de A dans A), sinon on pourrait trouver sur L* deux suites de points convergeant respectivement verjs chacun de ces points, et auxquelles devraient correspondre dans A deux suites convergeant vers des points distincts de I\, ce qui est contraire au fait que L aboutit en ai. Soit donc K'cF^, le support inaccessible de la frontière de A*;

K c K/. S o i t À „ = a ^ ^ , n = = Â — Â „ . A „ a p o u r i m a g e d a n s A , A ; = = A — ) ^ , où X;

est l'image de X^. Pour la même raison que précédemment K ne peut contenir deux points accessibles de la frontière de A^ : soit alors /ccF^, l'arc limite de /^i K C ^ . Ni K7, ni K, ni k ne peuvent couvrir FA, donc ils ont chacun deux extrémités :

•^1 "t^^_K ^

-rr—~^

Fig. 6.

a. K et k ont au moins une extrémité commune; sinon K c K ' e t F o n pourrait construire un rectangle dont K serait un arc frontière et contenant L* (à partir d'un certain point); mais ce même rectangle serait séparé endeux régions par

12 LÉONCE FOURÈS. .' V:

un arc de À;, et cela aussi près de K ( u n i f o r m é m e n t ) que l'on veut. I/ ne pourrait travefser cet arc donc s'approcher de K (fig\ 6).

A. K^EEE/:. k ne peut contenir deux points accessibles de la frontière de A*

donc K' D k. Mais pi -==== y/, et pour B* les rôles de K7 et k sont permutés et (^ ^}"

possède au voisinage de ^ les mêmes propriétés que \n au voisinage de ai.

Donc ÀOK⁷ soit^K/.

c. K7 est un bout premier de la frontière de A^ : soient une suite quelconque de points intérieurs ou frontières (accessibles) de A^, ayant tous ses points limites sur K' et deux points accessibles quelconques de A* qui sont soit sur l'image de (a^), extrémités comprises, soit sur celle de (a^a^) . Dans tous les cas à partir d'un certain rang les traces des points de la suite ne séparent pas les deux points : la suite initiale est u n e suite pure et les suites ainsi définies sont toutes équivalentes.

Remarque 1. — Supposons [^ extrémité régulière de ( p i ^ y . Soit sur FA (a/p,) l'arc a, ^ contenant (a,a^). Sur la circonférence de A,/ il y a un arc ^ formé des images de (a^) et ( p i p a ) ayant une extrémité commune image continue de ^ et pa. Les résultats d u paragraphe A, 5 s'appliquent à y,,, donc (a, P,) e t ( p i p , , ) ont pour image sur F^ deux arcs ayant une extrémité commune image continue de P^ et ?2-

2. L'arc K' peut effectivement exister sans être réduit à un point. Soient dans un cercle A deux courbes £ et JIZ s'accumulant suivant le même arc K/ de la circonférence de A, et partageant A en troi s domaines eX\ A^ (limité par £ et Jll) etd3\ Soît A*=el^uA^U^ et B*=A^u<?UuB\ Dans la représentation de A*

sur un cercle A, K' est un bout premier correspondant à un point o^ de la circonférence de A, et G- a pour image / aboutissant en ai. Soit sur la circon- férence de B (image de B*), ^ le point image du bout premier K' et m

Fig. 7. Fig. 8.

aboutissant en pi l'image de JH. a^ et R i sont nécessairement extrémités irrégulières de A' et B^/ (images de A^ dans A et B) sinon A j ^ B serait possible avec correspondance ponctuelle des frontières même en o^ {fig. 7).

Application. —L'étude précédente fournit une solution simple à un problème de représentation conforme au^voisinage de la frontière : soit D un domaine

SUR LA THEORIE DES SURFACES DE R I E M A N N . l 3

simplement connexe, et K^ un arc support inaccessible d'éléments frontières;

soit C une courbe issue d'un point eD et s'accumulant suivant K c K \ Complétons C de façon à former une courbe L aboutissant en P accessible sur la frontière de D; L sépare D en CX* et A7*; soit d3* un domaine limité par la frontière de D et une courbe construite à l'extérieur de D, joignant P à l'extré- mité de K/ non accessible dans D. Dans la représentation de D sur un cercle A, K/ est un bout premier correspondant à a^ qui est extrémité irrégulière de A' image de A^. Cela résulte de ce que Dutô* peut être considéré comme ( A ^ L B ) ou B est l'image circulaire de A^U^. Si ai n'était pas irrégulière K serait réduit à un point {fig- 8).

THÉORÈME. — K bout premier (T un domaine D représenté sur un cercle A, a pour image un point a de ce cercle. A une courbe aboutissant régulièrement en a correspond dans D un arc aboutissant à l'extrémité accessible du bout premier^, 3. Si nous admettons la possibilité pour la frontière de A'' de s'accumuler suivant un arc de la circonférence de A, on peut cependant réaliser A ^ B par

K K

irreQiilier Fi g. 8 bis.

la méthode indiquée dans l'étude du cas irrégulier. Chaque cas nécessitera une étude spéciale des frontières et l'on sera amené à distinguer les arcs inacces- sibles extrémités régulières et irrégulières de A suivant que de l'extrémité accessible du bout premier on peut ou non construire une courbe i n t é r i e u r e à A' faisant avec la circonférence de A7 u n angle ^=f=- o (fig^ 8 bis).

3. — RÉDUCTION AU RACCORDEMENT PAR CROISSANTS.

A. RACCORDEMENT PAR PINCE ET CROISSANT. — pi et ^ distincts sur la frontière de W sont confondus en [3 sur la circonférence de B.

a. y\ -^ ^i. i0^ extrémité non irrégulière de B. On prendra pour Ci un arc de cercle a', pa; 20 ?2= ^ se repporter aux méthodes b ci-dessous.

6. a', = P,, a'., == [Î2- i° a! et as sont extrémités régulières de A ' . On construit dans A/ l'arc de cercle C, et l'on construit (AJ^B)^ où ? C ^ si tô^^). Il est possible que ié=0, c'est donc tô est formé d ' u n ou plusieurs arcs de courbes issus de p. On prendra alors pour ^ une extrémité de d3 et l'on devra après chaque opération représenter sur un cercle un domaine simplement connexe

i4 LÉONCE FOURÈS.

constitué par le plan privé d'une courbe joignant à l'infini un point image de (3.

On peut encore construire (AL^B)^ donc aussi (A^B)^ par un processus fini;

/ N

2° si a, (ou a_,) est irrégulière on entaillera A suivant A , , = a i p ^ ce qui conduira à la construction de A comme limite de domaines A,, (c/, cas irrégulier).

Fig- 9-

Frontière de A. — Dans tous les cas A est un cercle de rayon fini dqnt la circonférence contient un arc image analytique de (a^ a^) : dans le cas a i°, la circonférence F^ est image analytique de ( P i p ^ ) , dans le cas b i°, elle est image analytique, de ( a i a 3 ) = ( ^ ^ ) , Dans le cas 02°, il peut apparaître sur FA un arc K bout premier correspondant à 03 ; dans le cas b 2°, on peut avoir deux arcs KI et K^ bout à bout ou se chevauchant, arcs d'accumulation de l'image de (ociOCaV7 : ces singularités peuvent avoir lieu même si ^ et ^3 sont extrémités régulières de B^. Les figures suivantes donnent des exemples de singularités.

Fig. 10.

B. RACCORDEMENT PAR PINCES. — Sur I\, a i s a 2 = a et sur Fj^ p i ^ p s ^ p . c. a'j 7^ ?. 1° On peut réaliser le raccordement par u n processus fini comme dans a i° sauf si : 2° a.j= ?'., avec a^ et ^ extrémités irrégulières de Af et B7. On introduit alors les domaines A», en retirant de A des arcs a<jp^ ^ de ( a , a^V.

d. a 4 = E ^ , a.j x p^. Nous ne distinguerons pas entre les cas d'extrémités régulières et irrégulières. On introduit les domaines A,, obtenus en retirant de A des arcs a^ p^ et a.^3^ de (aiû^y7 — dans le cas où une des extrémités

SUR LA THÉORIE DES SURFACES DE RIEMANN. ï5

P.- ou o, est régulière, on peut prendre [^^=Q.^ — L a suite des cercles A,,= (A,^,B)^ « converge » vers un cercle A = (Aj^B)^ de rayon fini ou infini.

Frontière de A. — Dans le cas c, l'arc (a^, )' de I\ correspondant a (a^y r^ est en correspondance analytique avec un arc de FA qui peut être la circon- férence de A tout entière ou seulement un arc dont le complémentaire K est alors bout premier dans la représentation, de A^ sur A (et correspondant à a) et de B* sur B (et correspondant à ?).

Dans le cas d, A est de rayon fini ou infini, de frontière FA; à toute suite de

Fig. ii.

Fig. 12.

points convergeant dans A vers FA correspond une suite de points dans A ou dans B (ou dans chacun des deux) dont le seul point limite est a ou p.

Supposons A de rayon fini. Supposons que deux points de FA soient frontières accessibles de A* : deux suites de points intérieurs à A* et convergeant vers ces points, seraient les images de deux suites convergeant dans A vers deux points distincts de I\, ce qui est impossible, ces suites ne pouvant converger que vers a. Il y a au plus sur FA un point frontière accessible de A* et un point frontière accessible de B*. Tout point de FA est donc frontière à la fois pour A* et pour B\ D^autre part un point de FA frontière accessible de A^ serait frontière accessible de A* et B*; il ne peut y avoir qu'un tel point au plus. La circonférence FA est un bout premier correspondant à a (resp. P) dans la représentation de A^ sur A (resp. B* sur B^ : Toutefois s'il y a sur î\ un point frontière accessible de A*, il peut être exceptionnel pour certaines suites pures convergeant vers le b o u t premier FA

l6 LÉONCE FOURÈS

4. — RACCORDEMENT PAR ANNEAUX.

Décomposition de A et B en a n n e a u . A' et B/ doublement connexes.

Introduisons dans W un cercle de même centre q u e B et d'image -yi dans A7. Soit dli l'intérieur de ^1 etdVi = d i — cl. La méthode utilisée par Bieberbach(1) permet de construire (eXi^B). Les deux fonctions obtenues ^=f(s)et

^= (p(^) prennent la même valeur en deux p o i n t s homologues de 0L\ et^(d/,).

f^)= ç > o d > ( J ) pour zç(?L\ mais ç o ^ p est défini dans tout A', donc on définit un prolongement de f dans A', f ainsi définie dans A réalise avec ç(0 le raccordement A^B. Le d o m a i n e image de ce raccordement est le plan entier.

G. — Raccordement de deuxième espèce.

1. — REPRÉSENTATION CONFORME DES BANDES.

Soit G une courbe de Jordan fermée, analytique par morceaux, présentant un nombre fini de points doubles. G sépare le plan en u n n o m b r e fini de régions S/.

S o i t M ( ^ ) u n point sur G, f ê t a n t le paramètre de G. Une bande étroite entourant G est un domaine B(C) satisfaisant à la condition :

1° P e B ( G ) s'il existe M ( ^ ) e C tel que MP^£(^) où z{f) est une fonction donnée caractérisant la bande o <^ c(<) <^ £ et satisfaisant à :

2° Toute région S/ contient au m o i n s un point Q^B(C).

3° L'ensemble des points QeS.et ^B(C) forme u n seul domaine connexes,.

1

Les transformations de la forme ^\ = ( s — ^V, v ^> o ou w^= log(^ ~ *() où *€

est l'affixe d'un point €£/, représentent une bande étroite conformément et b i u n i v o q u e m e n t sur une autre bande étroite pour v convenablement choisi, et *€ dans une S/ convenable. Cela suppose qu'initialement on a considéré deux branches de B(C) dans le voisinage d'un point double de G* Après avoir effectué sur le plan de B(C) une transformation homographique, on considérera un élément de la fonction w^=ei^^z : cet élément prolongé dans B ( C ) représente B(C) sur une autre bande étroite. La combinaison des transformations ^'i, ^'2, (^3 permet de représenter conformément et biunivoquement B( C) sur une bande étroite (®(e) où (3 est sans points doubles; on se ramène ensuite à une couronne circulaire par les procédés classiques de la représentation conforme.

2. — HYPOTHÈSES DU R A C C O R D E M E N T .

Soit dans le plan z une partition du cercle D en trois morceaux s i m p l e m e n t connexes A, A', (fl (A et A' non contigus). Il existe entre points de A et A' une correspondance 2 ' = ^(^) holomorphe univalente.

(1) Ouvrage cité p. 174-

SUR LA THEORIE DES SURFACES DE R I E M A N N . 17

DÉFINITION. — Raccorder D par ^ (ou suivant A, A) c'est déterminer une fonction w= ./(^) holomorphe dans D, univalente dans 0L\J K et dans €L\J K' et prenant la même valeur en deux points homologues z et^'j^CEA,^çA¹' , z ' = ^(z)].

Le domaine couvert par w=f{z) sera A== (DA.D).

Supposons que dans chacun des domaines A, A', cl les frontières soient accessibles : soientm,^, les arcs externes, l e t lr les arcs internes respectivement de A et A'; soient a, p les extrémités de /, y et S7 celles de //. La correspondance c o n t i n u e existant par ^ entre les contours de A et A/ associe les éléments suivants : a<-->o^, p<-^, Y<"^Y', o^—^, l^-^V. A^--^. Comme pour le raccordement de première espèce, D-L D n'est possible que si m 3 A (alors m^À').

Supposons qu^il existe une fonction ^(^) holomorphe et univalente sur A , prolongeable analytiquement y suivant une courbe (2 sans points doubles, intérieure à D, jusque dans A, sur lequel ^(^) prolongée est univalente etprenden tout point de A' la même valeur qu au point homologue de A.

Raccorder D par ^ c'est déduire de l'existence de ^(^) l'existence d'une fonction /(^) v é r i f i a n t la c o n d i t i o n précédente, et prolongeable dans D entier,

univalente dans A U ^ X .

De l'hypothèse précédente et de la théorie de la représentation conforme des bandes on déduit qu'il existe u n e bande B C Û L , reliant A et A\ et u n e fonction

^=<|\(^) réalisant U-LU où U = A u B u A \ le domaine couvert par w^ étant une couronne ((I\, 1^)).

3. — CONSTRUCTION D E ( D ^ D ) .

Soient cli et €i^ les deux composantes s i m p l e m e n t connexes de D — LL Soit dans un p l a n a i un cercle Ci image du domaine A u e X i U B , C\ étant l'image de B u A . La décomposition de Ci en C', et C i — C ^ . Soit ri dans le plan ^ la circonférence extérieure de ((Fi, Fi)). Soient Ai le cercle l i m i t é par Fi, A^

l'image s i m p l e m e n t connexe de A U B . On peut construire A 2 = = ( A i ^ - j C i ) ; la correspondance entre A^ et C\ étant définie par l'intermédiaire de A u B . La courbe I\ a pour image une courbe fermée I^ intérieure à As. Représentons A.' U^Xi U B sur un cercle Ci et soit Ci == Ci — image de k ' ^ ' . Comme Aa contient une image de ((Fi, r/)), on peut considérer l'image de A dans A^ comme une

<,/

image de A', et noter A^ l'image de C'i dans As. S o i t A 3 = ( A 2 — X i ) à l'intérieur duquel T. est l'image de -T,; Fy étant la circonférence de A3, la couronne ((Ï3, r',)) peut être représenté conformément et b i u n i v o q u e m e n t sur une couronne circulaire ((1^, IV))^ la circonférence extérieure F^ correspondant à P.,. Nous appellerons A/, le cercle i n t é r i e u r à F ' , . Soient C,, un cercle image conforme de D — A ' , et A^ l'image dans A,, de A U B U Cl, représenté dans C_>

Ann. Éc. Norm., (3), LXV1II. — FASC. J . 3

l 8 LÉONCE FOURÈS.

sur ^.Construisons Ag =(A^ C). Soit €, un cercle image conforme de D — A , et C,= €3— image de/o'. €', a pour image dans A, un d o m a i n e A7, et l'on peut construire Ae= (A.^Go). Soit r\ l'image dans Ae de la courbe fermée F,

o c '1; — î / P '

L 7l k

Fig. i3.

Fig. i4.

représentée en F, dans A,. Le domaine doublement connexe compris entre les courbes I\ et F, (contour extérieur de Ag) est représentable conformément et biunivoquement sur une couronne circulaire ÎD. 3( = (DJ^D)

exemple de singularité6 aux frontières

Fig. i5. Fig. 16.

Remarque. — Supposons qu'il existe initialement {voir hypothèse § 2) u n e fonction ^(^) holomorphe et univalente dans A, prolongeableanalytiquement suivant u n e courbe G sans points doubles, non nécessairement intérieure à D, jusque dans A\ sur lequel . . ., etc. On peut alors construire un domaine H simplement connexe contenant A, A' et e et une partie de D simplement connexe dans laquelle on peut construire une bande B reliant A et A'. H est

SUR LA T H É O R I E DES SURFACES DE R I E M A N N . 19

représentable sur un cercle H* d'un plan ^; le domaine A U A ' u B se représente s u i v a n t un a n n e a u , sans point multiple, d'où l'existence d'une fonction ^(j) satisfaisant à l'hypothèse du paragraphe 2.

CHAPITRE II.

UNIFORMISATION DES SURFACES DE RIEMANN.

A . — Définition des surfaces de Riemann (j ).

i. — VARIÉTÉS A DEUX DIMENSIONS.

Soient E un espace topologique régulier [au sens de Bourbaki (2)], et U ( P ) un voisinage faisant partie de la famille ^(P) des voisinages du point P. Un domaine G c E est un domaine élémentaire s'il est topologiquement repré- sentable sur u n cercle : une variété à deux dimensions e-st un espace topologique connexe pour lequel il existe un système de voisinages q u i sont des domaines élémentaires à deux dimensions ( ^ ).

Triangulabilité, — II y a équivalence entre l'hypothèse de triangulabilité et la suivante : // existe un ensemble dénombrable de domaines élémentaires^ qui recouvre la variété,

Représentation conforme locale, — Supposons données les représentations topologiques T ( U ) qui représentent topologiquement les U sur le cercle unité :

Axiome de conformité, — Soit GcCUinLV), G\ et 0', les domaines images de G, respectivement par T(Ui) et T^). La correspondance IXUa^T^Ui)]"¹ est une représentation conforme directe de G\ sur G'^ .*

DÉFINITION. — Une surface de Riemann est une variété à deux dimensions^

triangulable pour laquelle sont données les T(U) satisfaisant à T axiome de conformité,

La surface S, variété t r i a n g u l a b l e à partir de laquelle est définie la surface de Riemann (Ji s'appellera support de i^. L'en semble des cercles unités'^(images des U<), et des correspondances entre régions des 'V/ constitue Y atlas de <Jl. La représentation T(U;) sera appelée F uniformisante locale (Ortsumîormisïerende) de Vi, ou édielle de Vi,

( ' ) H. WErL, Die /(lie d e / ' Hieinannslie Flucfie; T. RADO, Acta Sze^ed, ^, 1925.

( •2) BOURBAKI, Topologle générule, Ch. I. E satisfait aux axiomes ViVîV^V.'^ à l'axiome de Hausdorff U, et à l'axiome Oui.

(^j) Dans 1a suite les systèmes de voisinages seront toujours des domaines élémentaires.

•20 LEONCE FOURES.

IDENTITÉ DE DEUX SURFACES DE RIEMANN. — Pour que deux surfaces de Riemann soient identiques, il faut qu'elles aient même support (kollokale). Soient d e u x surfaces de même support ^l1 et <^2, ( U ' ) et ( U2) les systèmes de voisinages (équivalents) de (^ et ôi\ (P) et (P) les ensembles des uniformisantes locales correspondantes. La réunion ( U ^ L ^ U2) forme un système de voisinages de S; si alors en conservant les mêmes uniformisantes locales, Paxiome de conformité est vérifié par le nouvel atlas les deux surfaces sont identiques.

Pour vérifier la t r a n s i t i v i t é de l'identité : c%i=^lo, (R^=C^Q, -^ai^==(R^, il suffira de vérifier la transitivité pour les structures analytiques, la transitivité de l'équivalence (topologique) des systèmes de voisinages définissant So, Si et Sa étant connues.

MORCEAU DE SURFACE DE RIEMANN. — Un morceau G de cTi est un sous-espace de S s u r lequel les v o i s i n a g e s définissant la structure analytique, sont ceux définissant Ôi et contenus dans G, les uniformisantes locales étant les mêmes.

*2. — R E P R É S E N T A T I O N S C O N F O R M E S .

Définition. — Soient cJl et (R' de supports respectifs S et S7 et 0 une repré- sentation topologique de S sur S'. A ( U ) correspond par <î>, (U*) sur S'. Les représentations T ^ ( U ^ ) = T^U^^-^U'') c o n s t i t u e n t un système d ' u n i f o r - misantes locales d'une surface de R i e m a n n (R^ de support S'. Nous dirons que $ représente conformément ^ sur (PJ si et s e u l e m e n t si ôi*== <^/.

Justification de l'identité. — Soient 01^=01.^ 4) leur fait correspondre û^\

' et ^, dont les systèmes ( U ^ ) et (L^) avec leurs uniformisantes locales, 1\ o ^ - ^ U ^ ) et Ta ocD^^LJ^) forment par réunion un système vérifiant l'axiome de conformité comme T i ( U , ) et l^U.,). L'identité de deux surfaces de Riemann se conserve par représentation conforme.

Inversion. — ^ r e p r é s e n t a n t <Ji sur ( J i ' , on peut définir cR/ par (U*) et les uniformisantes locales T*(U*). ^-1 transforme (U*) en (U) et les uniformisantes locales sont T*(U'')o^(Ù) ^ T f ^ o ^ - ^ l J ^ o ^ U ) = T(U). <ï>-1 représente c o n f o r m é m e n t (T\! sur Ûi.

Tranntfvùé. — Ji^(îi^ par <&i, ffi^ûi^ par ^3. P r e n o n s pour (U,) les ( U ^ ) et pour (U.}) les ( U ^ ) . <I^o(I^ réalise une représentation topologique de (Ji^

sur cR.3 et le système (U;.,) a d m e t pour u n i f o r m i s a n t e s locales :

ï l ( L \ ) o [ ( t l , o ( ï ) / j - - ' ( U : 3 ) = T l ( LTl ) o ^ 71^ LT, ) o a ) 71( LT: ) = T 2 ( U . O o ^l^ U

^jo^i transforme conformément c^li en c^;;.

THÉORÈME. — T(,U) représente conformément U sur le cercle unité.

Le cercle unité est muni de la topologie ordinaire (métrique euclidienne) et

SUR LA THEORIE DES SURFACES DE R I E M A N N . 21

les uniformisantes locales sont les représentations conformes ordinaires entre domaines plans.

Soit Uo représenté par T o ( U o ) sur le cercle u n i t é V o ; soient V la famille des voisinages définissant la topologie dans Vo, V l'image conforme sur le cercle unité de V. Soit U c U o , To représente U sur 11*0 Vo. T^oT'^ÏI*) définit sur Vo u n e surface de R i e m a n n . Par hypothèse To est topologique, il reste à vérifier que les systèmes (V) et (U*) équivalents, vérifient l'axiome de confor- mité. Soit H i = = U ^ n V i . La correspondance entre points de Hi considérés comme points de U^ et de V^ est l ' i d e n t i t é / d o n c est conforme après représen- tation de Vi sur Vi. Comme U o n U i = Uo les images de l^ parTo, e t p a r T ( U i ) sont en correspondance conforme; ces images sont U^ et son image par T ( l î ) o T , ' ( l I ; ) . Les images de H, sur \, d'une part, et par T ^ U ^ T . ^ L ^ ) d'autre part sont en correspondance conforme.

THÉORÈME. — Les représentations conformes classiques sont des représentations conformes au sens ci-dessus.

Soient D et A deux domaines plans, ( F ) e t ( < D ) l e s f a m l l l e s d e s v o i s i n a g e s d e D et A, T(F) et ©(<&) les uniformisantes locales. ^ représente D sur A, donc F sur F* et, le système (F*) avec les uniformisantes locales T(F)o^-1 (F*), définissent sur A u n e surface de Riemann, identique à celle définie par (^>) avec les unifor- misantes locales ©($) — on le r e c o n n a î t en remarquant que les uniformisantes locales T^o^-^F^ et ©(<&) sont toutes deux des représentations conformes classiques.

3. — REPRÉSENTATION P A R A M É T R I Q U E DE iK (1).

Soient P e ^ et U ( P ) e ( U ) un voisinage de P, ayant pour image par T, V, dans lequel Q est l'image de P. Soit T d é d u i t de V par Fhomothétie <?€(Q, 1/2), et V l'image par l'homothétie ^C(Q, 2) de l'ensemble des points de V, intérieurs à V. SoitOL l'image de V par [^(U)]"' : c'est un d o m a i n e élémentaire Ole U(P) et PelL. Tous les points frontières de IL sont des p o i n t s de ôi. A chaque point P associons un 11 particulier, 11p.

S peut être recouvert par un ensemble d é n o m b r a b l e de domaines élémen- taires, D,, ayant pour image par une certaine transformation topologique î>,, un cercle d,. Soit une suite C\ de cercles fermés concentriques à d, et de rayons croissants tendant vers i. Les Q; étant compacts, leurs images (^ sur S par $~1

le sont aussi. Tout point de C^ est intérieur à un domaine élémentaire 'Up.

(^ peut être recouvert par un nombre fini de ILp, donc D, et aussi S peuvent

( ' ) NhVANLiNNA, FAn Satz uber offene fîiemrmnsc/ie Flâc/ien (^nn. ^c. Soi. Fenn.^ Ser. A, t. 51, n0 3 ) ; Ei/ideutig/i'eitsf/ri^en in der tf/eorie der konfonnen Abhildun^ (X^ Con^r. Mnth. Scanda Copenhague; 194^).

22 LEONCE FOURES.

être recouverts par une infinité dénombrable de "Up. Appelons éléments &.^

les ILp ainsi choisis pour recouvrir S.

Soit u n e surface de Riemann dl de support S définie par ( U ) et f ï ( U ) ] : on sait en déduire la famille des ILp et leurs images Vp par

<?€(Q, 2)oT(aLp)=^(aip). Soient D n ( ê , C ê 2 ) , Di e l D ^ ses images par ^(êi) et ©(ê^), D^ et D^ ses images par T(U,i) et T(U2). Les correspondances ponctuelles (déduites par identité des images sur D) sont conformes directes entre D| et D^, ainsi qu'entre Da et D^. Or le système (U) et [T(U)] satisfait à l'axiome de conformité, donc la correspondance est conforme directe entre D\

et D^ et aussi entre DI et Da.

On dit qu'on a obtenu une représentation paramétrique de Ûi lorsqu'on a défini sur Ûi une famille de domaines (&,) satisfaisant aux conditions :

i° Tout point de Ûï, appartient à un élément au moins de la famille dénom- brable (&,).

2° La frontière de tout &^ appartient à Oi.

3° Deux points quelconques de (R, peuvent être joints par une chaîne d^un nombre fini de (ê^) chacun ayant une partie commune avec le précédent.

4° Tout (ê.,) est représentable conformément sur un cercle K^(du plan ^) 3 |^i.

Cette représentation conforme biunivoque doit être prolongeable et rester blunivoque

dans &[, D&,, ê;, C<^.

5° Les images dans A^ et A^ de o == &^(\&^ sont en correspondance conforme.

Les cercles A., sont appelés cercles paramètrey leur ensemble et celui des corres- pondances conformes entre parties de A., et A^(1) constituent Y Atlas réduit de cïl.

CONSTRUCTION DE (R. — Donnons-nous un atlas réduit satisfaisant aux conditions suivantes :

a. A tout point frontière d'un A-, correspond par relation d'enchaînement un p o i n t intérieur d ' u n A^ au m o i n s ;

b. Si ^cA.; correspond à d^C\. et à ^cA,,, la relation d'enchaînement entre A^ - e t A\ représente conformément d^ sur ^4.

Bornons-nous à la construction d ' u n e surface de Riemann étalée (obtenue par prolongement d'éléments de Weierstrass) admettant l'atlas donné comme atlas réduit. La surface (R (si elle existe) dépend de l'élément êi que l'on fait corres- pondre au cercle paramètre Ai ; avec un même atlas, la construction de (îi peut être possible ou impossible suivant le choix de êi, sous la condition que les Ï ( U ) soient des représentations conformes classiques.

( ' ) Ou relations d'enchaînement.

SUR LA THÉORIE DES SURFACES DE R I E M A N N . ₂₃

Exemple. — Soient dans un plan z les trois cercles suivants :

- + - V ^ I ^ -

Keprésentons ces trois cercles sur les cercles A i , Aa, A3; les diverses images de C i H C a et C.nC^ définissent des relations d'enchaînement entre Ai Aa et A3, qui peuvent être regardés comme atlas réduit du morceau du plan complexes G l U C ^ u C ^ .

Soit alors C\: z |^i + a (o <^ a <^ \/2-—i). Représentons C^ sur le demi- plan ^ <^ o de la variable ^= S; + ^ en associant i + o<->-o, — i — a^-> oo. Aux cercles Ci et €3 correspondent les cercles F) et Fa, et la fonction log(^ — A), holomorphe dans Fi et Fa leur associe des domaines (pouvant se recouvrir), êi et 63. Associons à Ai l'élément ê^; par prolongement de la relation d'enchaî-

Fig. i 7 -

n e m e n t entre parties de A^ et A^>, on construit ^2 comme image de Aa sur cîl cherchée; la relation d'enchaînement entre A^ et A3 fournit une représentation conforme biunivoque entre un morceau de &^ et un morceau de A3, prolongeable dans une partie de A3 mais pas dans A; entier (il y a un point exceptionnel correspondant à z = — i — a ) . A Patlas Ai, As, A3 correspond un morceau de surface de R i e m a n n si l'on associe Ci à A^ mais ce n'est plus vrai si l'on associe <êi à A , . Ainsi toutes les relations d'enchaînement interviennent pour déterminer la possibilité de construction d'une surface de R i e m a n n admettant un atlas réduit donné, le premier élément étant aussi donné, la métrique conforme étant imposée.

4. CARACTÈRES TOPOLOGIQUES.

a. Une surface (Jl est fermée si toute suite infinie de points intérieurs à cTl admet un point limite intérieur à ai. Du fait que <%peut être recouverte par une infinité dénombrable d'éléments on déduit que cette définition des surfaces fermées (compacte au sens de Fréchet) est équivalente à la suivante : (Ji peut être recouverte par un nombre fini d'éléments. Ces surfaces sont aussi compactes au sens de Bourbaki. Û\ est d i t e ouverte si elle n'est pas fermée;

24 LÉONCE FOURÈS.

A. On appelle genre d'une surface cR, le nombre m a x i m u m de courbes fermées, disjointes que Fon peut tracer à l'intérieur de la surface sans la morceler.

Les surfaces de genre zéro, ou quasi simples (schlichtartige), sont homéo- morphes à des domaines plans.

c. Une surface de genre zéro est simplement connexe si toute courbe fermée tracée sur elle la sépare en deux morceaux dont Pun est formé exclusivement de points intérieurs à la surface, lorsqu'on l u i ajoute son adhérence.

5. INTERSECTION DE D E U X ÉLÉMENTS.

Soient ®i et ê^ formés à p a r t i r de U, et Us, ayant pour images p a r T ( U ) , V^ et ¥3 contenant V^ et V^ images de ê, et êa. Soient d^ et d^ les images de r f = = U i H U 2 , limités par les circonférences C, et €3 de Vi et ¥3 et par des

Fig. 18.

courbes Ai et X^. Soit m^ un p o i n t de Ai : la correspondance résultant de l'identité des images sur (Ji, ne peut associer à m, un point /^eVa : soit M l'image de m^ sur S; M e U , , donc il existe ^ ( I V ^ c U ^ ; de même il existerait U^IVOcU,. Posons U ( M ) = U ^ l V ^ n U ^ M ) ; U(M)e(U). Soient

^(mi)cV,i et ^Çm^)C Va les images par T ( U ) de U(M). On aurait ^(Wi)C^i et ^(/T^crfs, ce qui serait contraire au fait que m, (et m^') sont frontières de rfi et rfa*

Soient C\ et C\ les circonférences de V\ et V^. C', est partagée par X, (image de €3) en un nombre fini ou infini d'arcs ? joignant deux points de ^ i , et auxquels correspondent dans ¥2 des arcs a joignant deux points de Ça. Une courbe y intérieure à V.^ (en p a r t i c u l i e r C,) ne p e u t être coupée que par un nombre fini d'arcs a : s i n o n on p o u r r a i t considérer une suite de points communs à y et aux arcs a; à cette suite correspondrait u n e suite de points sur C\ s'accumulant en un point qui serait aussi point d'accumulation d'extré- mités d'arcs 8; donc en revenant à l'image de la portion de ûi correspondante, sur Va, des points de Ça a u r a i e n t même point limite que des points d e y . Un arc a ne peut couper C', qu'en u n nombre fini de points : on peut extraire de (XQ un arc a ^ C ^ (en s u p p r i m a n t des voisinages des extrémités); à a'y

SUR LA THÉORIE DES SURFACES DE R I E M A N N 25

correspond ^ y C ^ i ; oc'o es^ Fimage par une fonction analytique de Farc de cercle ^ donc c'est un arc analytique ne pouvant couper (7, qu'en un nombre fini de points.

THÉORÈME. — Soient deux éléments &-^ &j d'images A,, Ay. L'image dans Ay de &i H &j est limitée par un nombre fini d'arcs analytiques intérieurs à Aj et corres- pondant à des arcs de la circonférence de A/.

<^2 — &\ comprend un nombre fini de composantes connexes. Si l'une n'est pas simplement connexe il existe une courbe fermée intérieure à V^ correspondant à un arc de C., donc à G'., entière. C'est aussi le cas, si l'une des composantes de êi 0^2 n'est pas simplement connexe, êi Hê^, satisfait à Fune des c o n d i t i o n s

suivantes :

THÉORÈME. — êiHê^, ê i — & ^ , &^ — ê,, sont formés d'un nombre fini de composantes simplement connexes ;

— êi H &^ doublement connexe est limité par la périphérie de <&i et celle de &^ ;

— <§i H ê_. = &i ou ê^ : l'un des éléments est contenu dans l'autre.

B. — Raccordement des surfaces de Riemann.

Soient sur Û\ deux domaines D et G, limités par un nombre fini d'arcs péri- phériques d'éléments &,. D et C sont représentés conformément sur les cercles A et F des plans complexes u et c. DnC a pour image P dans F. Soit dans un plan z û = (A J-.F) s'il existe.

a. A tout p o i n t M e ( D u C ) correspond un point z € Û et inversement. Il est immédiat que la représentation ^ == 3>(M) de D u C sur û est topologique.

6. Soit U e ( U ) qui définit c%; U C ( D U C ) et W = <I)(U). Soit V un voisinage dans Û et o = W n V . Pour montrer que ^ = ( & ( M ) est conforme il suffit de vérifier que S et son image par ^U)^"1^), ou W et T(U)o<E> ^ ( W ) (c'est-à- dire les images de U par <t> et'T) sont en correspondance conforme. Soit P € U , il existe U ( P ) c U . P e ( D Ù C ) donc P e D ou P e C . Supposons P e D , on peut prendre U ( P ) c D . Comme U n U ( P ) = U ( P ) les images de U ( P ) p a r T ( U ) e t T [ U ( P ) ] sont en correspondance conforme. La représentation conforme de D sur A représente U ( P ) sur U^p) en correspondance conforme avec l'image de U ( P ) par T[U(P)]. L'image de U ( P ) par î> se d é d u i s a n t de U^p) par repré- sentation conforme est elle-même image conforme du transformé de U ( P ) par T(î/). Cela ayant lieu pour tout P ç U , z -==$(M) est bien conforme.

1. — C O R R E S P O N D A N C E ENTRE FRONTIÈRES.

Supposons ^/ connexe. Si F' était doublement connexe il n'y aurait pas d'éléments frontières de û (plan entier). Supposons V simplement connexe.

Ann. Éc. Norm , (3), LXVI1I. — FASC. 1. ' 4

26 LEONCE FOURES.

Nous supposerons désormais que G est un morceau s i m p l e m e n t connexe d'un élément ê décomposé en C7 (image de F s u r c î l ) e t C — (7 tous deux simplement connexes.

a. Raccordement par croissants. — Si (A-LlF) est obtenu par un processus fini, la correspondance entre frontières est ponctuelle, analytique dans l'intérieur des arcs de circonférence, et continue même en ai, pi, 7.2, ps ( n o t a t i o n ch. I).

— Soit A le cercle image de & et V l'image de U (dont & est extrait) par prolongement de la représentation précédente. Soit b l'image dans V de D n U ; b est limité par une courbe X dont toute portion intérieure à V est formée d'un nombre fini d'arcs analytiques. Soit G l'image de C dans A, décomposée en G7

et G — G\ X coupe la périphérie de G en deux points seulement dont l'un ^ est, après représentation de G sur un cercle, extrémité singulière de l'image de G'.

Construisons un petit cercle de centre ^3, coupant X en deux points seulement (c'est possible d'après l'analyticité de À au voisinage de [3), dont l'un a est extérieur à A. Soit i le point où ce petit cercle coupe l'arc de circonférence de A intérieur à 6. Soit G i = G u triangle Ra?'; A décompose Gi en G\==:G'\j triangle pa^, et G — G ' . Soit H^ l'image circulaire de G ^ , G', ayant pour image H^ ; p i , oc\, i\ correspondent à ?, a, i. Les parties de A et H en correspondance conforme par identité des images sur cR, ou V, sont dans A et dans H, (H^ ), du type « en croissant ». Dans A, c^est l'homologue de a^ qui est extrémité de A^ (correspondant à H'/). Donc û = (AL'LLHJ se construit par un processus fini (puisque a',^?,). On reconnaît que û = = ( A ^ L G ) = = (AJ-r).

La correspondance est encore continue au point ? de V.

Remarque. — Si cela est nécessaire on fera la même construction a u t o u r du deuxième point d'intersection de X avec la périphérie de G.

&. Raccordement par pince et croissants. — La périphérie de l'un des deux domaines ne sort pas de l'autre. Si À c A , ce serait une courbe fermée ayant en c o m m u n avec la circonférence, soit un ou plusieurs arcs, soit plusieurs points, soit un p o i n t . Dans les deux premiers cas on aurait à réaliser u n raccordement par croissants entre A et u n e partie de A, dans le troisième cas on a u r a i t à

SUR LA THÉORIE DES SURFACES DE R I E M A N N . 27

réaliser un raccordement par pinces (fîg< a) ; À c A c'est le cas de raccordement par anneaux. Supposons donc la périphérie de G C ^ . Le partage de G est du type « e n p i n c e » : Le partage de A est du type « e n croissant» (fig- c\

A — A pouvant être formé d'un n o m b r e fini de composantes connexes. Si (A-I^F) est obtenu par un processus f i n i , la correspondance entre frontières est ponc- tuelle continue; s i n o n soient ^ et ^ Çfig- &)les points confondus ou les deux branches de À coupent la périphérie de G. Dans le voisinage de p chaque branche est composée de deux arcs analytiques, l'un extérieur, l'autre intérieur à A. Construisons un petit cercle de centre ^ coupant chaque branche de A en deux points seulement, deux points d'intersection a et a^A.vSoient i et ^ les

points où ce petit cercle coupe la circonférence de A. Soient G i = G u triangle (3a?u triangle 3*a^^, Hi l'image circulaire de Gj (flg\ e); a^, a^, ii, i\, Pi, ^ correspondent à a, a*, i, i^, (3, P*. La partie de A en correspondance conforme avec H^, par identité des images sur V est encore du type en croissant (fig-. c). a^", y^ ^, a'i, ^, ^ correspondent à a*, ^, r, a, p, i\ ^ ^ ( A ^ H i ) se construit par un processus f i n i en introduisant les arcs de cercles d^extrémités ^ P7- Û ^ ^ A J ^ r ) et la correspondance est ponctuelle c o n t i n u e au point ^ de V (y/^./).

c. Raccordement par pinces, — La périphérie de chaque domaine est intérieure à l'autre. À ne sort pas de A et a un point commun avec sa circonférence; dans le voisinage de ce point À est formé de deux arcs analytiques. La méthode précédente, par l'introduction d'un petit cercle de centre ^ conduit par raccor- d e m e n t par anneaux au d o m a i n e û, et la correspondance est encore ponc t u e l l e c o n t i n u e en p.