Compacité, connexité par arcs
1. Les ensembles suivants sont-ils des compacts deR? (a) A={x∈R/1 +x7+x8>0}
(b) B={x∈R/∃y∈Rtq x2 4 −y2
9 = 1}
(c) D=f−1([0,1]) oùf est une fonction continue deRdansRavecf(0) = 0?
(d) E=p(B)oùB est un compact deR2 etpla projection
(R2→R (x, y)→x . (e) F ={x∈R/ (x2+ 1)ex−1cos(x)∈[0,1]}.
2. Soit E un espace vectoriel normé, K un compact de E et f une isométrie de K (c’est-à-dire que f est une application deK dansKtelle que ∀(x, x0)∈K2, kf(x)−f(x0)k=kx−x0k).
(a) Vérifier quef est injective.
(b) On suppose que ∃x0∈K\f(K). Montrer qued(x0, f(K)) =r >0.
Considérer la suite(xn)n∈N de points deK telle que∀n∈N, xn+1=f(xn)et prouver que
∀(p, q)∈N2, p6=q=⇒ kxp−xqk ≥r.
Montrer que l’on aboutit à une contradiction. Qu’en conclut-on ? 3. SoitE=R[X]normé par la norme
X
i
aiXi
=sup
i
|ai|. Montrer queB={P/kPk61}n’est pas compact.
4. SoitEun evn.
(a) SoitK1 etK2 deux compacts deE. Montrer qu’il existex1∈K1 etx2∈K2 tels que d(x1, x2) =Inf{d(x, y)/ x∈K1, y∈K2}=d(K1, K2)
(b) SoitK un compact deE et F un fermé deE. Montrer que siKet F sont disjoints, alorsd(K, F)6= 0.
(c) Montrer que ce résultat est faux dans le cas oùK est seulement fermé.
5. E un espace de Banach, etKun compact de E. Soitf une application deE telle quef(K)⊂Kvérifiant :
∀x, y∈K, x6=y=⇒ kf(x)−f(y)k<kx−yk.
En considérant l’applicationx→d(x, f(x)), montrer quef admet 1 et 1 seul point fixe.
6. SoitE=C([0,2π])muni de la normek.k2. Pour n∈N, on posefn(x) = cos(nx).
(a) Calculerkfn−fpk2pour n, p∈N.
(b) En déduire queB(0,1)n’est pas compacte.
7. SoitIun intervalle de Retf :I→Rcontinue surI et injective. Montrer quefest strictement monotone : on pourra considérerX ={(x, y)∈I2/ x < y} montrer queX est connexe, puis considérerϕ:X→Rdéfinie par ϕ(x, y) =f(x)−f(y).
8. Montrer queGLn(R)n’est pas connexe par arcs dansMn(R).
9. E un evn de dimension finie, etAetB deux parties deE connexes par arcs.
Montrer queA×B est connexe par arcs.
Montrer queA+B ={a+b/ a∈a, b∈B} est aussi connexe par arcs.
10. E un evn de dimension finie, et f : E → E contractante. Soit a ∈ E. On définit une suite (an)n∈N par
∀n∈N, an+1=f(an).
(a) Montrer que la sérieX
(an−an+1)converge dansE.
(b) Montrer que f a un unique point fixe.
11. On note u={z ∈C/|z|= 1} et on considère f : U →Rune application continue. Montrer qu’il existe deux points diamétralement opposés du cercle unitéU ayant même image parf.
