Etude métrique des arcs A. Rectification.

Etude métrique des arcs

A. Rectification.

1. Arcs rectifiables.

2. Théorème de rectification ; abscisse curviligne.

3. Cas euclidien.

4. Exemples.

B. Courbure des courbes planes.

1. Repère de Frénet.

2. Centre et cercle de courbure.

3. Développée d’une courbe.

4. Détermination pratique de la courbure.

5. Développantes d’une courbe.

6. Equation intrinsèque d’une courbe plane.

C. Courbure et torsion des courbes gauches.

1. Repère de Frénet.

2. Courbure, torsion.

3. Généralisation en dimension n.

Pierre-Jean Hormière

___________

A. Rectification

« Rectifier » une courbe, c’est calculer sa longueur. Comme toujours en théorie de la mesure, il faut commencer par définir la classe des courbes pour lesquelles un tel calcul est possible : seules les courbes « rectifiables » ont une longueur. Dans cette étude, E désigne un espace métrique (§ 1 et 2), un espace normé en § 3 et euclidien en § 4.

1. Arcs rectifiables.

1.1. Rappels sur les arcs paramétrés.

Définition 1 : Soient (E, d) un espace métrique, I le segment [a, b], t ∈ I → M(t) ∈ E une fonction continue, dont l’image est notée S. Le triplet Γ = (I, M, S) est appelé arc paramétré d’image ou de support S, d’origine A = M(a) et d’extrémité B = M(b). Si A = B, on dit que Γ est un lacet.

L’image S, appelée aussi support de l’arc, est une partie compacte et connexe par arcs de E.

On appelle changement de paramétrage tout homéomorphisme θ : J = [c, d] → I = [a, b].

Alors Γ’ = (J, M o θ, S) est un arc paramétré, dit équivalent à Γ.

Une classe d’équivalence d’arcs paramétrés est appelée arc géométrique.

Deux arcs paramétrés équivalents ont même support. La réciproque est fausse.

Ainsi, les arcs M(t) = exp(it) et M(t) = exp(2it) paramétrés par t∈[0, 2π] ne sont pas équivalents.

Au fond, un arc paramétré n’est pas seulement un ensemble de points, mais un ensemble de points

« équipé d’une cinématique ».

L’arc paramétré Γ = (I, M, S) est dit simple si t ∈ I → M(t) ∈ E est injective. L’application t → M(t) réalise alors un homéomorphisme de I sur S. Un arc équivalent à un arc simple est lui-même simple.

Soient Γ = ([0, 1], M, S) et Γ’ = ([0, 1], P, S’) deux chemins. On appelle composé des deux chemins le chemin Γ.Γ’ = ([0, 1], Q, S ∪ S’) défini par :

Q(t) = M(2t) si 0 ≤ t ≤ ½ et Q(t) = P(2(1 − t)) si ½ ≤ t ≤ 1.

Exercice 1 : Montrer que la composition est compatible avec l’équivalence, et définit sur l’ensemble des chemins tracés dans E et paramétrés par [0, 1] une structure de monoïde.

Deux arcs paramétrés Γ = (I, M, S) et Γ’ = (J, P, S) sont dits de même orientation s’il existe un homéomorphisme croissant θ : J → I tel que P = M o θ. Les classes d’équivalence sont les arcs géométriques orientés.

Un arc géométrique donne naissance à au plus deux arcs géométriques orientés.

En effet si Γ’ = (J, P, S) est équivalent à Γ = (I, M, S), il a même orientation que Γ, ou que l’arc

« opposé » Γ = (I, M , S), où M (t) = M(a + b − t). Mais il peut arriver que Γ et Γ aient même orientation. Ainsi, l’arc réel (I = [0, 1], M, S) : M(t) = 2t (0 ≤ t ≤ ½) et M(t) = 2(1 − t) (½ ≤ t ≤ 1) a même orientation que l’arc opposé. De même, l’arc plan (I = [0, π], M, S) : M(t) = (sin t , cos² t), dont le support est l’arc de parabole y = 1 − x², 0 ≤ x ≤ 1, parcouru dans les deux sens.

1.2. Longueur d’un arc, arcs rectifiables.

Soient Γ = (I, M, S) un arc paramétré, σ = (t₀= a < t₁< ... < t_n = b) une subdivision de I.

On note L(Γ, σ) =

∑

⁻

= +

1

0

1) , (

n

i

i

i M

M

d , où M_i = M(t_i).

Si Σ désigne l’ensemble des subdivisions de I, la famille (L(Γ, σ))_σ∈Σ de réels ≥ 0 est filtrante croissante, en ce sens que si σ’ est plus fine que σ, L(Γ, σ) ≤ L(Γ, σ’), et si σ’’ est la réunion de σ et de σ’, on a L(Γ, σ) ≤ L(Γ, σ’’), et L(Γ, σ’) ≤ L(Γ, σ’’).

Définition 2 : On dit que l’arc paramétré Γ est rectifiable si la famille (L(Γ, σ))_σ∈Σ est majorée dans R, et on appelle longueur de Γ : L(Γ) = sup_σ∈Σ

L(Γ, σ) ∈ [0, +∞].

Remarques : 1) Si Γ n’est pas rectifiable, on pose L(Γ) = + ∞.

2) Attention, la figure ci-contre est trompeuse, elle suppose l’existence de segments joignant M_i à M_i+1; cela n’a lieu que si E est un espace normé et dans d’autres cas (cf. § 2)

Propriétés :

1) Soit Γ = (I, M, S) un arc paramétré d’extrémités A = M(a) et B = M(b). On a d(A, B) ≤ L(Γ).

2) Soit J = [c, d] ⊂ I, le sous-arc Γ’ = (J, M|J, M(J))vérifie L(Γ’) ≤ L(Γ).

En particulier, un sous-arc d’un arc rectifiable est rectifiable.

3) Formule de Chasles. Si a < c < b, L([a, b]) = L([a, c]) + L([c, b]).

En particulier, Γ est rectifiable ssi chacun des sous-arcs restreints à [a, c] et [c, b] l’est.

4) Deux arcs opposés ont même longueur.

5) Composée de deux arcs : L(Γ.Γ’) = L(Γ) + L(Γ’).

6) Si on remplace la distance de E par une distance équivalente, on ne change pas les arcs rectifiables, mais on change la longueur.

7) Deux arcs équivalents ont même longueur. La longueur est donc une notion géométrique, indépendante de l’orientation.

Preuve : 3) Soit σ = (t₀ = a < t¹ < ... < tⁿ = b) une subdivision de [a, b]. Si c n’est pas l’un des t_k, adjoignons-lui le point c. On obtient une subdivision

σ

recollée d’une subdivision σ’ de [a, c] et d’une subdivision σ’’ de [c, b]. Alors

L(Γ, σ) ≤ L(Γ,

σ

^{) = L(}Γ, σ’) + L(Γ, σ’’) ≤ L([a, c]) + L([c, b]).

Passant au sup, il vient L([a, b]) ≤ L([a, c]) + L([c, b]).

Choisissons σ’ et σ’’ telles que L([a, c]) −ε≤ L(Γ, σ’) et L([c, b]) −ε≤ L(Γ, σ’’). Alors : L([a, c]) + L([c, b]) − 2ε≤ L(Γ, σ’) + L(Γ, σ’’) = L(Γ,

σ

⁾ ≤ L([a, b]).

Il reste à faire tendre ε vers 0.

Théorème de Jordan : Soit Γ = (I, M, S) un arc rectifiable. L(Γ) est aussi la limite des longueurs L(Γ, σ) lorsque le pas de la subdivision σ tend vers 0.

2. Théorème de rectification ; abscisse curviligne.

Dans ce §, (E, || . ||) désigne un espace vectoriel normé, supposé éventuellement complet, ou l’espace affine (EEEE, d) attaché à un tel espace, muni de la distance induite.

Notons dès à présent qu’un arc continu n’est pas toujours rectifiable.

2.1. Le théorème fondamental de rectification.

Proposition 1 : Segments, lignes polygonales.

a) Soit Γ = (I, M, S), I = [0, 1], le segment d’extrémités A et B, i.e. M(t) = (1 − t).A + t.B. Alors : L(Γ) = ||

AB

||.

b) Soit Γ = (I, M, S) une ligne polygonale continue, σ = (x₀ = a < x₁ < ... < x_n = b) une subdivision adaptée, M(xi^{) = M}i. Alors L(Γ) =

∑

_||MiMi+1||.

Théorème 2 (Jordan) : Soit Γ = (I, f, S) un arc paramétré tracé dans R. Il est rectifiable si et seulement si f est différence de deux fonctions continues croissantes sur I.

Indication : Ici, f est une fonction continue de I dans R, d’image S.

L’idée est d’écrire f(x) = g(x) − h(x), où g(x) = V[a,x](f) et h(x) = V_[a,x](f) − f(x)

Il est facile d’établir que g et h sont croissantes. Le lecteur montrera en exercice que g est continue.

Corollaire : Soit Γ = (I, M, S) un arc paramétré tracé dans un espace normé de dimension finie E, rapporté à une base (e , …, ₁ en). Notons

OM

(x) =

∑

= n

i

i

i x e

f

1

).

( . L’arc Γ est rectifiable ssi chaque fi est différence de deux fonctions continues croissantes sur I.

Théorème 3 : Tout arc paramétré Γ = (I, M, S) de classe C¹ est rectifiable et : L(Γ) = ^b M t dt

a '( ).

∫

Preuve : a) Montrons d’abord que Γ est rectifiable et que L(Γ) ≤ ^b M t dt

a '( ).

∫

^.

Soit σ = (x₀= a < x₁< ... < x_n= b) une subdivision de I. Il vient : L(Γ, σ) =

∑

⁻

= +

1

0

1 n

i

i

iM

M =

∑ ∫

⁻

= 1 +

0

. ) (

1 '

n

i x

xⁱ M t dt

i

≤ M t dt

n

i x x

i i

. ) ( '

1

0

∑∫

⁻ 1

=

+ = ^b M t dt

a '( ).

∫

^{. cqfd.}

b) Montrons ensuite que ∀x∈[a, b] L(Γ|_[a,x])= ^x M t dt

a '( ).

∫

. Il suffira ensuite de faire x = b.

Notant ϕ(x) = L(Γ|_[a,x]) , on a pour x < y :

||

M

(

x

)

M

(

y

)

||

≤ L(Γ|[x,y])= ϕ(y) − ϕ(x) ≤ ^y M t dt

x '( ).

∫

^.

D’où

||

x y

y M x M

− ) ( )

(

||

≤

x y

x y

−

− ( ) )

(

ϕ

ϕ

≤ x y−

1 ^y M t dt

x '( ).

∫

^.

Faisons tendre y vers x + 0 ; il vient ϕ'd(x) = ||

M

' x( )||

Faisons tendre x vers y − 0 ; il vient ϕ'_g(y) = ||

M

' y( )||.

Corollaire : Tout arc paramétré Γ = (I, M, S) continu, et C¹ par morceaux, est rectifiable et : L(Γ) =

∑

⁻

= 1

0 n

i

∫

^{i+1 '( ).}

i

x

x M t dt pour toute subdivision adaptée.

2.2. Résultats complémentaires.

On peut légèrement étendre le champ de validité du théorème 3. Ainsi :

− Si M : I → E est k-lipschitzienne, alors Γ = (I, M, S) est rectifiable et L(Γ) ≤ k ( b − a ).

C’est le cas en particulier si M est dérivable et à dérivée bornée (∀x ∈ I) ||

M

' x( )|| ≤ k.

− Si Γ = (I, M, S) est de la forme

OM

(x) =

∫

_a^x

^ϕ

⁽

^{t). dt}

pour une fonction ϕ réglée sur I, alors Γ est rectifiable et L(Γ) = ^b t dt

a ( ).

∫ ^ϕ

( Tuloup ).

Cela reste vrai si ϕ est Riemann ou Lebesgue intégrable sur I.

Mais un arc paramétré ΓΓΓΓ = (I, M, S) continu ou même dérivable, n’est pas toujours rectifiable.

− La fonction f(x) = x.sin²

x

1 _{si x ∈} ]0, 1], f(0) = 0, est continue, non dérivable en 0, et n’est pas rectifiable, pas plus que l’arc paramétré x ∈ [0, 1] → (x, f(x)).

[

Considérer la subdivision σ = ( 0 ,

2 / 1

π π

+

n

^,

ⁿ

¹

π

^{, ... , 21}

π

^{, 3}

π

^{1/2 ,}

π

^{1 , 1 ).}

]

− Idem pour la fonction g(x) = x² sin

² 1

x

^{si x} ∈ ]0, 1], g(0) = 0, est dérivable, et n’est pas rectifiable, pas plus que l’arc paramétré x ∈ [0, 1] → (x, g(x)).

Toutefois, certains arcs paramétrés sont rectifiables sans être dérivables, comme le montre : Exercice 2 : Montrer que x → x est rectifiable sur [0, 1] ; calcule sa longueur.

Même question pour la courbe d’équation x +

y

= 1.

2.3. Abscisses curvilignes.

Définition 1 : Soit Γ = (I, M, S) un arc paramétré de classe C¹, orienté dans le sens des t croissants.

Soit t₀ ∈ I, et M0 = M(t₀) le point correspondant.

On appelle abscisse curviligne de M(t) d’origine M₀ s(t) = ^t M u du

t '( ).

∫

0 ^.

Propriétés de la fonction s :

1) s(t) est la longueur algébrique de l’arc M₀M(t).

2) La fonction s : t ∈ I → s(t) ∈ R est continue, croissante, de classe C¹, et vérifie dt ds =

||

dt M d ||

. 3) Cette fonction est indépendante du paramétrage, en ce sens que si M(t) = M(θ(u)) = P(u), où θ : J = [c, d] → I = [a, b] est un re-paramétrage, alors

dt M d

=

du P d

dt

du. Si l’on note s(t) l’abscisse curviligne du point M(t) en prenant pour origine M(t₀), et σ(u) l’abscisse curviligne du point P(u) en prenant pour origine P(u₀), où u₀ = θ(t0), alors s(t) = σ(u) et

dt ds =

du dσ

dt du.

En somme, il n’y a aucun inconvénient à adopter les conventions « des physiciens », et à noter M(t)

= M(u), s(t) = s(u). Les formules précédentes s’écrivent

dt

M d

=

du M d

dt du et

dt ds =

du ds

dt du. Ces abus de langage n’entraînent aucune erreur, si l’on sait de quoi l’on parle.

4) Si l’arc Γ = (I, M, S) est régulier, c’est-à-dire si (∀t)

dt

M

d

≠ 0, alors s : t ∈ I → s = s(t) ∈ R est elle-même un chgt de paramètre admissible, c’est-à-dire un C¹-difféomorphisme, vérifiant :

(∀s)

||

ds M

d ||

= 1. Le vecteur

T

(s) =

ds

M

d

est appelé vecteur unitaire tangent associé.

Plus généralement :

Définition 2 : Soit Γ = (I, M, S) un arc paramétré orienté de classe C¹. On appelle paramétrisation admissible¹ ou normale de cet arc tout C¹-difféomorphisme σ : t ∈ I → σ(t) ∈ J tel que

(∀σ)

||

σ d

M

d ||

^{= 1.}

Proposition : Si s est une abscisse curviligne sur Γ, les autres paramétrisations normales sont de la forme σ(t) = ± s(t) + cte.

5) Si Γ = (I, M, S) est de classe C¹, et s’il n’y a aucun sous-intervalle de I sur lequel

dt

M d

= 0, alors s : t ∈ I → s = s(t) ∈ R est elle-même un homéomorphisme de classe C¹, dont la bijection réciproque n’est pas de classe C¹. Exemple : cycloïde, ci-dessous.

6) Interprétation cinématique.

Si t est le temps, dt ds =

||

dt M

d ||

⁼

|| V

(

M

(

t

))

||

, vitesse numérique.

7) Equivalence de la corde et de l’arc.

Soit Γ = (I, M, S) un arc paramétré de classe C¹ orienté dans le sens des t croissants, M₀ un point régulier, s(t) l’abscisse curviligne d’origine M₀. On a

|| M

₀

M

(

t

)

||

∼ |s(t)| quand t → 0, et, plus généralement,

|| M

(

t

)

M

(

u

)

||

∼ |s(u) − s(t)| quand t et u tendent vers 0.

Exemple : Prenant un cercle de rayon a, il vient a u ∼ 2a sin 2

u quand u → 0.

3. Cas euclidien.

3.1. Dans ce paragraphe, (E, E) désigne un espace affine euclidien orienté de dimension n, rapporté à un repère orthonormé direct R _{= (O,} B), où O est un point de E_{, et} B ₌ (e1 , …, en) une base orthonormée directe de E.

L’arc paramétré

OM

(t) =

∑

= n

i

i

i t e

x

1

).

( est de classe C^k ssi chacune des fonctions x_i l’est.

Il a alors pour longueur L =

∫

_a^b

^x

^1'²(

^t

^)+...+

^x

^n'²(

^t

^).

^dt

⁼

∫

_a^{b (}

^dx

^1)²+...+(

^dx

^{n)² ,}

en notations symboliques. L’abscisse curviligne d’origine M₀ = M(t₀) est :

1 Marcel Berger les nomme : « l.a.-paramétisations » (« l. a. » pour longueur de l’arc).

s(t) =

∫

_t^{t x u + +xn u du}

0

. ) '²(

...

)

1'²( =

∫

_t^{t dx + + dxn}

0

)² ( ...

)²

( ₁ .

Autrement dit, (ds)² = ||dM ||² = (dx₁)² + … + (dx_n)² , forme mnémotechnique commode.

De plus, l’abscisse curviligne possède une propriété importante, particulière aux normes eucli- diennes, et plus généralement aux normes C^∞ sur E − {O} :

Proposition : Sur un arc géométrique orienté régulier, s(t) =

∫

_t^{t x u + +xn u du}

0

. ) '²(

...

)

1'²( est un

changement de paramètre admissible.

3.2. Cas n = 2.

En cartésiennes : (ds)² = (dx)² + (dy)² . En polaires : (ds)² = (dr)² + r² (dθ)² .

La première formule est facile à retenir : c’est un théorème de Pythagore infinitésimal.

3.3. Cas n = 3.

En cartésiennes : (ds)² = (dx)² + (dy)² + (dz)² . En cylindriques : (ds)² = (dr)² + r² (dθ)² + (dz)² .

En sphériques : (ds)² = (dρ)² + ρ² (dθ)² + ρ² sin²θ (dϕ)² .

Rappelons que (r, θ , z) est un couple de coordonnées cylindriques de M(x, y, z) ssi : x = r.cos θ , y = r.sin θ .

et que (ρ, θ, ϕ) est un couple de coordonnées sphériques de M(x, y, z) ssi : x = ρ.sin θ.cos ϕ , y = ρ.sin θ.sin ϕ , z = ρ.cos θ . 4. Exemples.

4.1. La parabole.

Considérons la parabole PPPP d’équation x² = 2py, de point courant M(x) = (x, p x 2

² _).

Orientons-la dans le sens des x croissants, et prenons O comme origine des abscisses curvilignes.

Elément de longueur ds² = dx² + dy² = ( 1 +

²

²

px ).dx². Longueur de l’arc joignant O à M(x) : s(x) = dt

p

x t

². 1 ²

∫

0 ^{+ =} ₂^p

^[

^Argsh _p^{x + x}_p ¹⁺_p^x²_²

^]

^.

x → s(x) est un C¹-difféomorphisme, et s est un paramètre admissible.

> with(plots):

> Par:=p->plot(x^2/(2*p),x=-3..3,0..5,color=blue,thickness=2):

> Long:=p->plot(p/2*(arcsinh(x/p)+x/p*sqrt(1+x^2/p^2)),x=-3..3, -5..5,color=red,thickness=2):

> display({Par(1),Long(1)},scaling=constrained);

4.2. L’ellipse.

Considérons l’ellipse EEEE d’équation

²

²

a x

₊

²

² b

y = 1 ( a ≥ b > 0 ).

Rappelons qu’on peut la paramétrer en x = a.cos t , y = b.sin t ou x = a.

² 1

² 1

u

+

u

− _{, y =}

² 1

2

u

+

bu

^.

Orientons-la dans le sens des t croissants, et prenons A(a, 0) comme origine des abscisses curvilignes.

Elément de longueur ds² = dx² + dy² = ( a².sin²t + b².cos²t ).dt².

Longueur de l’arc en prenant A(a, 0) comme origine et en orientant E dans le sens des t croissants : s(t) =

∫

₀^t

^a

^².sin²

^u

⁺

^b

^².cos²

^u

^.

^du

^{= a}

∫

₀^{t 1−}

^e

^².cos²

^u

^.

^du

^.

t → s(t) est un C¹-difféomorphisme, et s est un paramètre admissible.

Mais, si a > b, l’intégrale donnant s(t) ne se calcule pas élémentairement : elle s’exprime à l’aide des fonctions elliptiques classifiées par Legendre.

> assume(a > 0);assume(b > 0);

F:=(a,b)->int(sqrt(a^2*sin(t)^2+b^2*cos(t)^2),t=0..2*Pi);

> F(a,b);

4 

 



EllipticE a~² − b~²

a~ a~

Proposition : La longueur totale de l’ellipse EEEE est donnée par L(a, b) = 4a.EllipticE(e), où e =

a c

₌

a

b

a

²− ² est l’excentricité.

Preuve : Par définition EllipticE(k) =

∫

₀^{1 1−}₁₋^k_t^²_²^t².dt.

L(a, b) = a

∫

₀^{2π 1−}

^e

^².cos²

^u

^.

^du

^{= 4a}

∫

₀^{π/2 1−}

^e

^².cos²

^u

^.

^du

^{= 4a}

∫

₀^{1 1}₁⁻₋^e_t^²_²^t².dt

Si l’on fait le changement de variable t = cos u.

Exercice 1 : Le Petit Larousse donne comme valeur approchée du périmètre de l’ellipse : P ≈π

2 , 2

)²

²) (

² (

2 a b

b

a + − − . Justifier cette formule.

Exercice 2 : Calculer avec Maple la longueur totale de l’ellipse d’équation x² + 4.y² = 4.

Comparer la valeur obtenue avec celle que donne la formule de l’exercice précédent.

Exercice 3 : Montrer qu’en cartésiennes, s(x) =

∫

_a^x

^a _a

^²−_²−

^e _t

^²_²

^t

^².

^dt

(Wallis, 1655).

Sous cette forme, Newton obtint un dse en x (1669), Euler un dse en e (1733).

4.3. L’hyperbole.

Considérons l’hyperbole HHHH d’équation

²

²

a x

₋

²

² b

y = 1 ( a et b > 0 ). Ici c² = a² + b². Rappelons qu’on peut la paramétrer en x = ± a.ch t , y = b.sh t .

Orientons une branche dans le sens des t croissants, et prenons A(a, 0) comme origine des abscisses curvilignes.

Elément de longueur ds² = dx² + dy² = ( a².sh² t + b².ch² t ).dt². Longueur de l’arc s(t) =

∫

₀^t

^a

^².

^sh

^²

^u

⁺

^b

^².

^ch

^²

^u

^.

^du

^{= a.}

∫

₀^t

^e

^².

^ch

^²

^u

^−1.

^du

t → s(t) est un C¹-difféomorphisme, et s est un paramètre admissible. Mais l’intégrale donnant s(t) ne se calcule pas élémentairement : c’est aussi une « fonction elliptique ».

4.4. La spirale logarithmique.

C’est la courbe d’équation polaire r = C.e^mθ , où m = cotan V.

Supposons C et m > 0. Rectifions (C) : ds² = dr² + r².dθ² = C² ( m² + 1 ) e^2mθdθ². Si l’on oriente (C) dans le sens des θ croissants, ds = C m²+1 e^mθ.dθ .

Si l’on prend M(θ0) comme origine, s(θ) =

∫

_θ^{θ +}

0

. . 1

²

. m e dt

C ^mt = C

m

m 1

²+ _{( e}^mθ _{− e}^mθ0 _).

On en déduit que le pôle O est non seulement adhérent à (C), mais encore peut être pris comme origine des abscisses curvilignes.

L’abscisse curviligne de M(θ) est alors s(θ) =

∫

₋^θ_∞

^C

^.

^m

^²+1.

^e

^mt.

^dt

^{= C}

^{m 1} _m

^{²+ emθ.}

Exercice 5 : Montrer que (C) ∪ {O} est connexe par arcs.

4.5. La cycloïde.

Définition : La cycloïde (ou roulette) est la courbe décrite par un point d’un cercle qui roule sans glisser sur une droite fixe.

Notons D la droite (base du mouvement), C le cercle (roulante), P le point de contact de d et C, a le rayon de C. Prenons D pour axe des abscisses, et supposons que le point fixe M du cercle passe en O à l’instant initial, et que le cercle roule vers la droite, donc tourne dans le sens des aiguilles d’une montre. Il faut écrire que Arc(OM) =

OP

. Notons u = (

AM

,

AP

), il vient Arc(OM) =

OP

= au.

OM = OA +

AM

, d’où, en complexes, z(M) = au + i.a − ia.e^−iu. x = a.( u − sin u )

y = a.( 1 − cos u )

Rectification : Orientons la cycloïde dans le sens des u croissants, et prenons O pour origine des abscisses curvilignes.

Il vient du

ds = 2a

|

sin 2 u

|

.

Sur l’arche u ∈ [0, 2π], s(u) = 4a ( 1 − cos 2 u ).

La longueur d’une arche vaut donc 8a (Wren, Roberval, Huygens, 1658).

Du fait de la présence de points critiques, s(u) =

∫

₀^{u a t .dt}

sin2

2 est un homéomorphisme croissant de classe C¹, mais n’est pas un C¹-difféomorphisme.

4.6. La cissoïde de Dioclès.

Exercice : Soit (C) un cercle de diamètre OA, (T) la tangente en A à (C).

Une sécante mobile issue de O recoupe (C) en B et (T) en D. On porte sur cette droite le point M tel que

OM

= BD. On appelle cissoïde de Dioclès, ou cissoïde droite, le lieu du point M.

1) Montrer que, dans un repère convenable, la cissoïde a pour équation cartésienne y² =

x a

x

− 2

3

, et pour équation polaire r =

θ θ

cos

² sin .

2a _.

Représentation graphique et tracé animé ?

2) Résoudre à l’aide de la cissoïde le problème déliaque, ou problème de la duplication du cube.

3) Rectifier la cissoïde, en cartésiennes et en polaires, en prenant O comme origine. Soit H la projection de M sur OA. Montrer que Arc(OM) – MH converge quand M s’éloigne à l’infini sur la cissoïde.

4.7. L’escalier du diable.

Fuyons sous la spirale De l’escalier profond.

Victor Hugo, Les Djinns Exercice : A toute fonction continue g : [0, 1] → R telle que g(0) = 0 et g(1) = 1, on associe la fonction Lg définie par : 

2

1g(3x) si 0 ≤ x ≤ 3 1 Lg(x) = 

2

1 si 3 1_{≤ x ≤}

3

2

 2 1₊

2

1g(3x − 2) si 3

2_{≤ x ≤ 1}

1) Montrer que Lg est continue sur [0, 1]. Montrer qu’il existe une et une seule fonction continue f : [0, 1] → [0, 1] telle que f = L(f).

2) Indiquer une suite (f_n) de fonctions continues, croissantes, affines par morceaux tendant unifor- mément vers f. Représenter graphiquement ces fonctions.

3) Montrer que f est croissante et vérifie (∀x) f(1 − x) = 1 − f(x). Calculer

∫

₀¹

^f

⁽

^x

^).

^dx

^.

4) Soit x un point de K (ensemble de Cantor), x = 0,(2a₁)(2a₂)(2a₃) … son développement triadique où a_i ∈ {0, 1}. Montrer que f(x) a pour développement dyadique 0, a₁ a₂ a₃ …

Montrer que f induit un homéomorphisme de K (ensemble de Cantor) sur [0, 1]

5) Montrer que f’(x) = 0 en tout point x ∉ K ; f est-elle dérivable en un point de K ?

6) Montrer que l’arc x → (x, f(x)) est rectifiable de longueur 2. Autrement dit, il a même longueur que les deux côtés du carré unité.

Solution heuristique de 6) : La n-ième ligne polygonale inscrite est formée de 2ⁿ – 1 segments horizontaux de longueur totale

∑

=

− n

k k k

1 1

3

2 = 1 −(

32 )ⁿ , et de 2ⁿ segments égaux de pente (

23 )ⁿ , et de longueur totale (

32 )ⁿ )²ⁿ 2 (3

1+ ; chacun de ces termes tend vers 1…

N.B. : Marc Deléglise a généralisé ce résultat aux fonctions croissantes à dérivée presque partout nulle.

4.8. Le flocon de Von Koch (1904).

Cette courbe célèbre fournit un bel exemple de fonction continue non rectifiable : la figure ci-contre montre les premières étapes de sa construction. A chaque étape, le tiers médian de chaque segment est remplacé par les deux autres côtés du triangle équilatéral basé sur ce tiers médian.

L’arc paramétré limite t ∈ [0, 1] → M(t) est continu. Pour montrer cela, paramétrons chaque ligne brisée Γn par M_n : t ∈ [0, 1] → M_n(t), de sorte que

M

_n(

t

)

M

_n+1(

t

) soit perpendiculaire au segment de Γn sur lequel se trouve M_n(t).

Alors

|| M

_n(

t

)

M

_n+1(

t

)

||

≤ 2

3 3 1

1

+

n , de sorte que

OM

(t) =

OM

0(

t

) +

∑

^+∞

= +

0

1( ) )

(

n

n

n t M t

M est

somme d’une série normalement convergente de fonctions continues. Mais cet arc n’est pas rectifiable, car les lignes polygonales obtenues à chaque itération sont toutes inscrites dans la courbe limite, or elles ont pour longueurs 1,

3 4_{, (}

3

4₎²_{, etc.}

Mieux ! aucun sous-arc non réduit à un point n’est rectifiable, et cette propriété est vérifiée par toutes les courbes fractales, et les distingue de courbes plus simples. Les spirales (d’Archimède par exemple) ne sont pas toujours rectifiables, mais la plupart de leurs sous-arcs le sont.

Exercice : Montrer que le flocon entoure un domaine d’aire finie, égale à 20

3.

B. Etude métrique des courbes planes.

« La courbure de sa jambe suspendue en l’air avait une perfection palladienne. »

Jamie O’Neill, At swim, two boys De la ligne droite au virage en épingle à cheveux, tout conducteur sait qu’il y a des courbes plus ou moins courbes. Peut-on mesurer la courbure d’une courbe en un point ? Intuitivement, la courbure est le quotient de la vitesse de rotation de la tangente par la distance parcourue sur la courbe : ρ =

ds

d α

. Le rayon de courbure est l’inverse de la courbure : en fait, c’est le rayon du cercle qui

« épouse » le mieux la courbe au point considéré. Plus une courbe est courbe, plus grande est sa courbure, et plus petit son rayon de courbure. La donnée de la courbure en chaque point permet-elle de retrouver la courbe ? La réponse est grosso modo positive pour les courbes planes, mais négative pour les courbes gauches, qui mettent en jeu un second invariant numérique, la torsion.

1. Repère de Frénet.

1.1. Propriétés du premier ordre.

Soient AAAA un arc géométrique orienté régulier de classe C¹, Γ = (I, M, S) un représentant de AAAA paramétré par t, t → s(t) une abscisse curviligne ou paramétrisation normale.

Le vecteur

ds

dM

est indépendant de la paramétrisation choisie ; on le note

T

. C’est le vecteur unitaire tangent :

T

=

ds dM

₌

dt dM

ds dt

_.

Soit α(s) = (Ox,

T

) l’angle orienté :

T

= cos α .i + sin α .

j

=

^u

(

α

)^.

L’existence d’une telle fonction continue s →α(s) découle du théorème de relèvement dans le cas continu.

En paramétriques : dx = cos α.ds , dy = sin α.ds.

En polaires, soit V = (OM ,

T

) , α = θ + V.

On a : OM = r.u ,

ds dM

₌

ds

dr

_{.u + r.}

ds d θ

_.v.

On obtient les formules dr = ds.cos V , r.dθ = ds.sin V , tan V = r.

dr d θ

_.

1.2. Propriétés du second ordre.

Complétons

T

en un repère orthonormé direct (M,

T

,N), appelé repère de Frénêt de AAAA _{au point} M. Supposons désormais l’arc AAAA de classe C².

Les applications s →

T

(s)et s →

N

(s) sont de classe C¹, et telles que : (∀s)

T

(s).

T

(s) = 1 ,

T

(s).

N

(s) = 0 ,

N

(s).

N

(s) = 1.

Ces relations ne font que traduire l’orthonormalité du repère de Frénet. Dérivons-les : 1)

ds

d

₍

T

(s).

T

(s)) = 0 donne

T

.

ds

dT

= 0 ; donc

ds

dT

est colinéaire à N . On pose par définition

ds

dT

_{= ρ.N =}

R N

R

R R

R est appelé rayon de courbure (algébrique) de AAAA _{en M, ρ =}

R

1 sa courbure.

2)

ds

d

₍

N

(s).

N

(s)) = 0 donne N.

ds

dN

= 0 ; donc

ds

dN

est colinéaire à

T

; posons

ds

dN

_{= σ.}

T

3)

ds

d

₍

N

(s).

T

(s)) = 0 donne N.

ds dT

₊

T

.

ds

dN

= 0 , i. e. σ = −ρ.

Formules de Frénet :

ds dT

₌

R N

_,

ds dN

_{= −}

R T

_.

Définition : Un point en lequel le rayon de courbure RRRR est extremum (local) est appelé sommet ou genou de l’arc.

1.3. Lien entre courbure et angle αααα.

On a, par définition de α :

T

= cos α.i + sin α.

j

=

^u

(

α

) ^{et N =}

^v

⁽

α

⁾.

ds

dT

₌

α d dT

_.

ds

d α

₌

^v

₍

α

₎^.

ds

d α

_{= N.}

ds

d α

, d’où les importantes formules ρ =

ds

d α

RRRR

₌

α d

ds

ρ =

R

1 indique la vitesse de rotation de la tangente par rapport à la variation de la longueur de l’arc.

Plus la tangente tourne, plus grande est la courbure de la courbe.

Le rayon de courbure sera interprété plus tard, en § 2.

1.4. Effet d’un changement d’orientation de l’arc.

Cet effet est résumé dans le tableau suivant :

Orientation initiale s

T

α N RRRR Orientation opposée −s −

T

^{α + π} ₋N ⁻RRRR

1.5. Cas limite.

Si M est non birégulier (point d’inflexion),

ds

M d

_et

²

²

ds

M

d

sont liés.

Donc

²

²

ds

M

d

_{= 0}, puisqu’il est à la fois parallèle et perpendiculaire à

ds

M d

_.

ρ = 0, on convient que RRRR = ∞ : en un point régulier d’inflexion, le rayon de courbure est infini.

2. Centre et cercle de courbure.

2.1. Centre de courbure.

Définition 1 : Soit AAAA un arc géométrique orienté de classe C², M un point birégulier de AAAA_.

On appelle − centre de courbure de AAAA en M le point I situé sur la normale et tel que

MI

= RRRR_.N . − cercle de courbure de AAAA en M le cercle de centre I et de rayon |RRRR|, i.e. passant par M.

Propriétés du centre de courbure :

1) Il est indépendant de l’orientation de l’arc, en vertu de 1.4.

2) Il est toujours situé dans la concavité de l’arc. En effet

MI

= RRRRN= RRRR²

²

²

ds

M d

Or ²

²

ds

M

d

est toujours orienté dans la concavité, par Taylor-Young :

M

(

s

)

M

(

s

+

h

) ^{= h}

ds dM

+

2

² h

²

²

ds

M

d

+ o(h²) . 3) Coordonnées du centre de courbure.

I : X = x − RRRR.sin α = x − α d

dy Y = y + RRRR.cos α = y + α d

dx .

En complexes : z(I) = z(M) + i.

α d

M dz( )

(formule utile pour les courbes cycloïdales).

2.2. Cercle osculateur et cercle de courbure.

Parmi tous les cercles tangents en M, le cercle de courbure est celui qui « épouse » le plus la courbe en ce point. Pour montrer ce résultat, encore faut-il une définition précise du contact entre deux courbes. Attention ! ce qui suit, d’un érotisme torride, est réservé aux initiés !

Définition 2 : Soient Γ1 et Γ2 deux arcs simples et réguliers de classe C^k, k ≥ 2, tangents en M₀ et orientés de telle sorte qu’ils aient en M₀ même tangente orientée.

Soient s₁ et s₂ les abscisses curvilignes de Γ1 et Γ2 resp., d’origine M₀. On dit que Γ1 et Γ2 ont en M₀ un contact d’ordre p ∈ { 1, …, k−1 } si : M₁(0) = M₂(0) = M₀ , (0)

1 1 r r

ds M

d = (0)

1 2 r r

ds M

d (1 ≤ r ≤ p) , ₁ (0)

1 1 1

+ +

p p

ds M

d

≠ ₁ (0)

1 1 1

+ +

p p

ds M

d

.

Les deux courbes sont dites tangentes, resp. osculatrices², resp. surosculatrices si elles ont un contact d’ordre ≥ 1, resp. ≥ 2, resp. ≥ 3.

A noter qu’en vertu de Taylor-Young, les conditions ci-dessus équivalent à M₁(s)M₂(s) = o(s^p) et M₁(s)M₂(s) _∉ o(s^p+1),

s étant une abscisse curviligne sur chacun des arcs.

Théorème : Soient AAAA un arc géométrique orienté de classe C³, simple et régulier, et M₀ un point birégulier de AAAA. Les quatre cercles suivants existent, et coïncident :

2 De osculare : baiser (au sens chaste d’embrasser), donner un baiser, osculum : baiser, osculatio : action de baiser, osculabundus : qui couvre de baisers, dixit le très-sérieux Félix Gaffiot. « Ad osculum parata » est une expression favorite du moins sérieux Gabriel Matzneff. En 1975, Roland Barthes a remis à l’honneur le sens étymologique de la série en employant l’adjectif osculaire, pour « qui concerne le baiser, l’action d’embrasser ». Le terme a été introduit dans la langue mathématique par Gottfried Wilhelm Leibniz en 1686.

Sur cette invention-là, nulle controverse avec ce puceau de Newton…

i) Le cercle de courbure en M₀ ; ii) Le cercle osculateur à AAAA _{en M0 ;}

iii) Le cercle d’équation f(M) ≡ x² + y²− 2ax − 2by + c = 0 tel que f(M(t)) = o(t − t₀)² quand t → t₀, pour toute paramétrisation admissible de AAAA par t telle que M₀ = M(t₀).

iv) Le cercle limite des cercles tangents en M₀ à AAAA et passant par un point voisin M quand M → M₀. Preuve : 1) Coïncidence du cercle de courbure et du cercle osculateur.

Etudions AAAA au voisinage de M₀, en prenant s comme abscisse curviligne d’origine M₀.

Si l’on se place dans le repère local de Frénet en M₀, ( M₀,

T

₀ ,

N

₀ ) il vient, par Taylor-Young :

M

₀

M

= s

ds dM

(0) +

2

² s

²

²

ds

M d

(0) +

6

s

3

3 3

ds M

d (0) + o(s³) .

=

(

s − ₂

0 3

. 6 R

s ) T

₀ +

(

0 2

2R

s

− ₂

0 3

. 6

) 0 ( ' .

R R

s ) N

₀ + o(s³) .

Le point courant M = M₁(s) a pour coordonnées locales : x(s) = s − ₂

0 3

. 6 R

s

+ o(s³) y(s) =

0 2

2R

s

− ₂

0 3

. 6

) 0 ( ' .

R R

s

+ o(s³) .

Les cercles tangents en M₀ à AAAA ont pour centre P(0, a) et pour équation x² + y² − 2ax = 0, et par paramétrisation normale. Le point courant M₂(s) a pour coordonnées locales :

X(s) = a.sin a

s = s − ₃

3

. 6 a

s + o(s³) Y(s) = a

(

1 − cos a s

)

=

a s

2

2

+ o(s³) . Il est osculateur à AAAA _ssi M1(s)M2(s) = o(s²) , i.e. a = RRRR_.

Alors x(s) – X(s) = o(s³) et y(s) – X(s) = − ₂

0 3

. 6

) 0 ( ' .

R R

s

+ o(s³).

• Si ₂

0

) 0 ( ' R

R ≠ 0, y(s) – X(s) change de signe avec s, ce qui signifie que l’arc traverse localement le cercle osculateur.

• Si R’(0) = 0, il y a surosculation. C’est le cas lorsque RRRR est extremum en M₀ (genou ou sommet).

En particulier si A admet un axe de symétrie passant par M₀, cet axe est la normale ; y(s) n’a que des termes d’ordre pair il y a surosculation, et l’arc est situé d’un même côté du cercle osculateur.

2) Coïncidence avec les cercles limites.

Soit F(x, y) ≡ x² + y² − 2ax −2by = 0 l’équation d’un cercle passant par M0. On a F(M(s)) = 2as + s² ( 1−

R

b ) + o(s²) , donc F(M(s)) = o(s²) ⇔ a = 0 et b = RRRR_.

Si l’on revient à la paramétrisation initiale (en t) et à l’ancien repère, cela équivaut à F(M(t)) = o(t²).

Enfin, le cercle de centre P(0, a) passe par M(s) ssi x² + (y − a)² = a² : On en déduit a =

) ( 2

)

²(

s y

s

x + o(1) = RRRR + o(1).

Cas particulier : rayon de courbure en O.

1) En cartésiennes, si AAAA est l’arc y = f(x) , où f est de classe C^k, f(0) = f’(0) = 0, le rayon de courbure en O est donné par : RRRR _{= limx→0}

y x 2

² _.

2) En polaires, si AAAA est l’arc r = f(θ), où f est de classe C^k, et f(θ0) = 0, le rayon de courbure correspondant en O est donné par : RRRR ₌

2 1_f’(θ

0) .

Pendant un siècle, les examinateurs des concours ont posé ce genre d’exercices sans grand intérêt : Exercice : Etudier les courbes Γ_λ : xy − aλ.( λx + y ) = 0. Lieu des centres de courbure en O.

Exercice : Etudier les courbes Γ_λ : x + λy + ( x −λy )² = 0. Lieu des centres de courbure en O.

Exercice : Etudier les courbes Γ_λ : x² + 2λxy − y²− ax = 0. Lieu des centres de courbure en A(a, 0) (a ≠ 0).

Exercice : Rayon de courbure en O de la courbe Γ : x⁴ + y⁴ + x³ + y³ = 0.

3. Développée d’une courbe.

Théorème 1 : Soit AAAA un arc géométrique orienté birégulier. Le point caractéristique de la normale à en M(t) est le centre de courbure de AAAA en M(t). En d’autres termes, le lieu des centres de courbure est l’enveloppe des normales à AAAA_.

Preuve : Choisissons une abscisse curviligne ou une paramétrisation normale.

Ecrivons OI = OM + RRRRN, et dérivons :

d

I

= d

M

+ R R R R _dN + NdRRRR ₌ T.ds ₋ T.ds + NdRRRR ₌ NdRRRR La tangente en I à son lieu est donc la normale en M.

Réciproquement, la normale en M(s) a pour équation OP.

T

(s)=

OM

(s).

T

(s) L’équation dérivée s’écrit OP.

ds

dT

_{= OM .}

ds dT

₊

ds

dM

.

T

, i.e. OP.N= OM .N + RRRR_. Le point caractéristique, intersection de la normale et de sa « dérivée » est :

OP = OM + RRRR_.N . On retrouve le centre de courbure.

Définition : On appelle développée de AAAA le lieu des centres de courbure, et/ou l’enveloppe de ses normales.

Théorème 2 : Si s₁ est une abscisse curviligne de la développée, on a ds₁ = dRRRR_. Le rayon de courbure et l’abscisse curviligne de la développée ont même différentielle.

Preuve : Orientons la développée AAAA₁ de façon telle que T₁ = N. On a dI = T₁ .ds₁ = N.dRRRR _{, d’où ds1 = d}RRRR_.

Conséquences géométriques.

1) La normale roule sans glisser sur la développée.

En intégrant la relation ds₁ = dRRRR entre deux points, il vient : Arc II’ = RRRR_{’ −} RRRR_. Le fil tendu MII’ se déroule en M’I’.

2) Deux cercles osculateurs en des points voisins ne se coupent pas en général.

Montrons en effet que le cercle C(I, |RRRR|) est inclus dans le cercle C(I’, |RRRR_’|).

Tracé qualitatif de la développée.

On peut obtenir un tracé « à main levée » de la développée en s’aidant des remarques suivantes : 1) Si M est un point critique, on a

dt ds =

||

dt

dM ||

= 0. Si la tangente est non stationnaire, i.e.

ds dT

_≠

0, on a dα ≠ 0 et RRRR = 0. Le centre de courbure en M est M.

2) Si M est régulier mais inflexion, dt ds ≠ 0,

ds

dT

_{= 0, dα = 0 et RRRR = ∞.}

La développée présente une branche infinie car I s’éloigne à l’infini. La direction asymptotique est la limite des normales en M.

3) Si M est à la fois point critique et point d’inflexion, R est indéterminé (c’est le cas d’un rebroussement de seconde espèce).

4) Si le rayon de courbure présente un extremum en M (sommet ou genou), on a dR = 0, donc ds₁

= 0. Le centre de courbure I est point critique (en général rebroussement de première espèce) de la développée.

Tracé informatique de la développée, comme enveloppe des normales.

On trace un réseau suffisamment dense de normales en M(t), M(t ± h), M(t ± 2h), etc.

Les intersections de deux normales voisines définissent un tracé par points approché (discrétisé) de la développée.

4. Détermination pratique de la courbure.

4.1. Arcs paramétrés.

Considérons un arc paramétré t → M(t) = (x(t), y(t)) de classe C¹, orienté dans le sens des t croissants.

• On calcule dt

ds =

x

'²(

t

)+

y

'²(

t

). Si on peut en déduire s(t), c’est-à-dire si s(t) se calcule élémen- tairement, tant mieux. Sinon, tant pis !

• On utilise les formules cos α = ds dx =

dt ds

dt dx

/

/ , sin α = ds dy =

dt ds

dt dy

/

/ , tan α = dx dy =

dt dx

dt dy

/ / . Si l’on peut en déduire une expression explicite simple de α en fonction de t, on l’obtient.

Si cela n’est pas possible, ou trop coûteux, on peut toujours écrire : αα

² cos

d = d

(

dx dy

)

= d

(

dt dx

dt dy

/

/

)

= dt

x x y x

y .

'² ' ' ' ' '

' − . D’où dα = dt

y x

x y x

y .

'² '²

' ' ' ' ' '

+

− .

Finalement : RRRR₌

α d

ds

₌

' ' ' ' ' '

'²) '²

( ^3/2

x y y x

y x

− +

Le centre de courbure I a pour coordonnées : X = x −RRRR_{.sin α = x −}

α d

dy = x − y’

' ' ' ' ' '

'² '²

x y y x

y x

− + Y = y + RRRR_{.cos α = y +}

α d

dx = y + x’

' ' ' ' ' '

'² '²

x y y x

y x

− +

Remarques :

1) Pour déterminer RRRR et I, on n’a pas besoin de s et de α, mais seulement de ds et dα.

2) Lorsque la courbe est de la forme y = f(x), M(x) = (x, f(x)) et les formules ci-dessus s’écrivent :

RRRR

₌

α d

ds

₌ ' ' '²) 1

( ^3/2

y + y

. X = x −RRRR _{sin α = x −}

α d

dy = x − y’

'' '² 1

y +y

Y = y + RRRR _{cos α = y +} α d

dx = y + ' '

'² '²

y y x +

Exercice 1 : Rectification et développée des courbes y = x^2k ( k entier > 1 ).

Exercice 2 : Rectifier et développer la courbe y = e^x . Exercice 3 : Rectifier et développer la courbe y = sin x.

Exercice 4 : Rectifier et développer la chaînette y = a.ch(x/a) ( a > 0 ). Montrer que la développante de la chaînette qui passe par son sommet A(0, a) est la tractrice X = x − a.th

a

x Y =

) / (x a ch

a .

Exercice 5 : Soient a, b, c des fonctions continues I → R, M0(x₀, y₀). Trouver le lieu des centres de courbure en M₀ des courbes intégrales de y’’ + a(x).y’ + b(x).y = c(x) passant par M₀.

4.2. Courbes implicites.

Exercice 6 : Soient Ω un ouvert de R², et F une fonction de classe C² : Ω → R. Soit C la courbe d’équation F(x, y) = 0. On la suppose non vide et régulière, i.e. ∀(x, y) ∈ C

(

x

∂

F

∂ _, y

∂F

∂

)

≠ (0, 0).

Exprimer le rayon de courbure RRRR de C en M au moyen des dérivées partielles de F.

Solution : Notant p =

x

∂

F

∂ _{, q =} y

∂F

∂ _{, r =}

²

²

x F

∂∂ _{, s =} y xF

∂

∂∂² _{, t =}

²

² yF

∂∂ , on trouve : RRRR _{= −}

² 2

²

²)

²

( ^3/2

tp spq rq

q p

+

−+

. 4.3. Courbes en polaires.

Le point mobile M entraîne avec lui deux repères orthonormés mobiles : le repère radial (O, )

(

θ

u

,

^v

(

θ

)) et le repère de Frénet (M,

T

,N).

Soit V = (OM ,

T

), de sorte que α = θ + V.

On a : OM= r.u ,

ds dM

₌

ds

dr

_{.u + r.}

ds d θ

_.v.

On obtient les formules dr = ds.cos V , r.dθ = ds.sin V , tan V = r.

dr d θ

_.

Ici encore, V se calcule souvent en fonction de θ.