E689 ‒ A la manière d'un bonneteau [**** à la main et avec l'aide éventuelle d'un automate]
Sur chaque sommet d"un pentagone régulier on inscrit dans le sens horaire les entiers relatifs: ‒ 18153, ‒ 24204, 46391, ‒ 48408, 54459
Si sur trois sommets consécutifs se trouvent placés les entiers x, y et z avec y < 0, alors on peut remplacer respectivement x par x + y, y par ‒ y et z par z + y.
On poursuit le processus aussi longtemps qu'il y a au moins un nombre négatif parmi les cinq nombres.
Prouver si oui ou non le processus se termine en un nombre fini d'étapes. Si oui, quels sont les entiers finaux?
Solution proposée par Jacques Guitonneau
Tout d’abord constatons que les cinq valeurs ‒ 18153, ‒ 24204, 46391, ‒ 48408, 54459 sont toutes des multiples de 2017. On peut donc remplacer ces valeurs par -9,-12, 23,-24 ,27.
On constate également que remplacer les trois nombres consécutifs x, y, z par x + y, -y, z + y, ne modifie pas le total qui reste toujours égal à x+ y + z. La somme des 5 nombres est égale à 5.
Les nombres obtenus seront toujours de la forme : 23.p + 3.q . On peut donc obtenir des 1, les deux solutions de base pour obtenir 1 sont ; -23 +3.8, et 23.2 -3.15. On peut donc aboutir à une étape finale qui serait 1,1,1,1,1.
Le tableau ci-dessous montre qu’on arrive à cet état stable au bout de 30 étapes. (En gras les nombres consécutifs servant à passer à l’étape suivante).
