A568 – Avec méthode et patience [**** à la main]
On donne une paire (m,n) de deux entiers naturels premiers entre eux. Une opération sur ce couple consiste à le remplacer par (m + n,n) ou bien par (m,m + n). Démontrer que l’on peut toujours obtenir un couple de deux carrés parfaits à l’issue d’un nombre fini d’opérations.
Applications numériques (avec l’aide d’un automate) : m = 2012 et n = 2013, m = 2013 et n = 2014.
Solution
Les entiers m et n étant premiers entre eux, l’un d’eux est nécessairement impair, n par exemple.
D’après le théorème de Dirichlet sur les nombres premiers en progression arithmétique, on sait toujours trouver un nombre premier p qui est congruent à m modulo n tout en étant congruent à 3 modulo 4.
Un nombre fini d’opérations permet donc de passer du couple (m,n) au couple (p,n).
De la même manière, on sait trouver un nombre premier q > n qui est congruent à n modulo p tout en étant congruent à 3 modulo 4.
Il en résulte qu’à l’issue d’un nombre fini d’opérations, on sait passer du couple (m,n) au couple de nombres premiers (p,q), l’un et l’autre étant de la forme 4k + 3.
D’après la loi de réciprocité quadratique (1), on sait que si deux nombres premiers p et q sont l’un et l’autre de la forme 4k + 3, une et une seule des deux équations x² q modulo p et x²
p modulo q a une solution entière en x. En d’autres termes ou bien p est un carré parfait modulo q ou bien q est un carré parfait modulo p mais pas les deux à la fois. Sans perte de généralité, on suppose que p est un carré parfait modulo q.On désigne par x l’entier tel que x²
p modulo q. On désigne par r₁ et r₂ les nombres premiers congruents à x modulo q avec r₁
1 et r₂ 3 modulo 4. Toujours selon la loi de réciprocité quadratique, q est un carré parfait modulo r₁ ou modulo r₂. On sait donc trouver un nombre premier r congruent à x modulo q tel q est un carré parfait modulo r. Comme x² r² modulo q, après un nombre fini
d’opérations,on peut passer du couple (p, q) au couple (r², q). Comme q est un carré parfait modulo r, c’est aussi un carré parfait modulo r².Il existe alors un entier s qui permet de passer du couple (r²,q) au couple (r²,s²).
Application numérique 1er cas m = 2012 et n = 2013
On obtient aisément les deux nombres premiers p = 7*2013 + 2012 = 16103 et q = 16103 + 4*2012 = 24151 qui sont tous deux de la forme 4k+3.
Puis on a r = 3044 à partir de le relation 383*24151 + 16103 = 9265936 = 3 044². Enfin s = 13059 qui est obtenu à partir de la relation 10015*16103 + 9265936 = 170537481 = 13059².
2ème cas m = 2 013 et n = 2 014
On obtient p =2013 + 2014 = 4027 et q = 4027 + 6*2014 = 16111.
D’où r = 2 389 obtenu à partir de la relation 354*16111 + 4027 = 5707321 = 2 389² puis s = 5 665 obtenu à partir de la relation 6552*4027 + 5707321 = 32092225 = 5665².
(1) On peut également consulter le chapître 1 du cours donné par G. Chenevier sur la Théorie algébrique des nombres à l’Ecole Polytechnique.
