(d’après Otto Forster)
FrançoisDEMARÇAY
Département de Mathématiques d’Orsay Université Paris-Sud, France
i
Table des matières
Introduction très sommaire aux surfaces de Riemann . . . 1.
1. Définition des surfaces de Riemann . . . 2.
2. Propriétés élémentaires des applications holomorphes . . . 10.
3. Homotopies entre courbes continues et groupe fondamental . . . 15.
4. Revêtements purs et revêtements ramifiés . . . 23.
5. Revêtement universel et automorphismes de revêtements . . . 39.
6. Faisceaux . . . 56.
7. Prolongement analytique . . . 66.
8. Fonctions algébriques . . . 73.
9. Formes différentielles complexes . . . 88.
10. Triangulation des surfaces compactes orientables . . . 99.
11. Topologie des surfaces différentiables compactes orientables . . . 123.
12. Intégration des formes différentielles et primitives . . . 141.
13.2-formes différentielles . . . 152.
14. Cohomologie de ˇCech . . . 158.
15. Théorème de Dolbeault à une variable . . . 169.
16. Théorème de finitude deH1(X,OX) . . . 176.
17. Longue suite exacte de cohomologie . . . 191.
18. Théorème de Riemann-Roch . . . 208.
19. Dualité de Brill-Noether-Serre . . . 215.
20. Fonctions et formes différentielles à parties principales prescrites . . . 239.
21. Formes différentielles harmoniques . . . 248.
22. Théorème d’Abel . . . 254.
23. Bibliographie . . . 262.
Introduction très sommaire aux surfaces de Riemann
En analyse complexe, les surfaces de Riemann sont nées au moment où il a fallu donner un sens géométrique et topologique aux fonctions qui prennent plusieurs valeurs, comme les racines√
z, √3
z, . . ., m√ z.
0
+√ z
C z
−√ z
De telles fonctions multivaluées apparaissent incontournablement : les différentsprolonge- ments analytiquesd’une fonction holomorphe représentée par une série convergente en un point peuvent fort bien ne pas coïncider et faire aboutir à diversesbranchesde la fonction.
Dans sa thèse, Riemann eut l’idée d’étendre le domaine d’existence de ces fonctions en imaginant qu’un système defeuillets infiniment finsrecouvrirait l’espace du plan complexe en nombre suffisant pour correspondre aux différentes valeurs du prolongement. Ainsi, si le recouvrement par feuillets est construit de telle sorte qu’il y ait exactement le bon nombre de points au-dessus d’un point donné, alors sur cette « surface de recouvrement », la fonc- tion holomorphe qui était multivaluée à l’origine devientunivalente.
Par un mouvement d’abstraction supérieure et en ‘oubliant’ l’origine fonctionnelle de ces systèmes de feuillets au-dessus deC, on peut alors s’engager dans l’édification d’une théorie abstraitedessurfaces de Riemann, c’est-à-dire des variétés de dimension réelle2 qui sont localement équivalentes à un morceau du plan complexeC— une théorie abstraite des feuillets, en quelque sorte. Ensuite, par retour vers le ‘concret’ des motivations origi- nales, on peut espérer que ces surfaces de Riemann fournissent alors les domaines d’exis- tence naturels maximaux des fonctions holomorphes multivaluées d’une variable complexe.
1. Définition des surfaces de Riemann
Dans ce chapitre, on définit les surfaces de Riemann, les fonctions holomorphes et méromorphes, ainsi que les applications holomorphes entre les surfaces de Riemann.
Les surfaces sont des variétés différentielles (abstraites) de dimension 2munies d’une structure additionnelle, diteholomorphe, que nous allons introduire dans un instant. Rappe- lons qu’unevariété topologique réellede dimensionn>1est un espace topologique séparé Xtel que tout pointa ∈ Xpossède un voisinage ouvertUadansX qui est homéomorphe à un sous-ensemble ouvert deRn.
Définition.SoitX une variété topologique de dimension2. Unecarte complexesurX est un homéomorphismeϕ: U → Vd’un ouvertU ⊂ X sur un ouvertV =ϕ(U) ⊂ C. Deux cartes complexes ϕi: Ui → Vi, i = 1,2, sont dites holomorphiquement compatibles si l’application de transfert :
ϕ2◦ϕ−11 : ϕ1 U1∩U2
−→ϕ2 U1∩U2
estbiholomorphe, c’est-à-dire holomorphe, bijective, et d’inverseϕ1◦ϕ−21 qui est lui aussi holomorphe.
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X
U1
U2 V1 V2
ϕ1
ϕ2
ϕ1◦ϕ−21
Un atlas complexesur X est un système A = {ϕi: Ui → Vi: i ∈ I} de telles cartes qui sont holomorphiquement compatibles et qui recouvrent X, i.e. dont les domaines Ui satisfontS
i∈I Ui =X. Deux atlas complexesAetA0 sont ditanalytiquement équivalents si toute carte deAest holomorphiquement compatible avec toute carte deA0.
Par simple restriction, si ϕ: U → V est une carte complexe, et si U1 ⊂ Uest ouvert, en posantV1 := ϕ(U1), on obtient une carteϕ|U1: U1 → V1 qui est holomorphiquement compatible avec ϕ: U → V. Les applications biholomorphes étant stables par composi- tion, on voit que la notion d’équivalence analytique entre atlas complexes est une notion d’équivalence, ce qui justifie la :
Définition. Une structure complexe sur une variété 2-dimensionnelle X est une classe d’équivalence d’atlas complexes surX.
Ainsi, une structure complexe surXest donnée par le choix d’un atlas complexe. Toute structure complexeΣsurXcontient un uniqueatlas complexe maximalA∗ définit comme
suit : siAest un atlas arbitraire dansΣ, alorsA∗consiste en toutes les cartes complexes sur Xqui sont holomorphiquement compatibles avec chaque carte deA.
Définition.Unesurface de Riemannest une paire(X,Σ), oùX est une variétéconnexede dimension2et oùΣest une structure complexe surX.
Usuellement, on écrit X au lieu de (X,Σ) toutes les fois que la structure complexe est connue sans ambiguïté. Parfois aussi, on écrit aussi(X,A), où A est un représentant de Σ. Par convention, et sans perte de généralité, toute carte sur X sera conçue comme appartenant d’emblée à l’atlas maximal de la structure complexe deX.
Ainsi, d’un point de vue local, une surface de Riemann n’est autre qu’un ouvert dans le plan complexe, puisque siϕ: U → V ⊂ Cest une carte surX, alorsϕapplique l’ouvert U ⊂ C bijectivement sur son image V = ϕ(U) (toutefois, chaque point donné de X est contenu dans plusieurs telles cartes, et aucune d’entre elles ne se distingue par rapport aux autres). C’est pour cette raison que l’on peut transférer aux surfaces de Riemann toutes les notions de l’analyse complexe surCqui demeurent invariantes à travers toute application biholomorphe,i.e.les notions qui ne dépendent pas du choix d’une carte particulière.
Exemples de surfaces de Riemann.
(a) Le plan complexeC. Sa structure complexe est définie par l’atlas dont la carte unique est l’application identitéC→C.
(b) Sous-domaines d’une surface. SiX est une surface de Riemann et si Y ⊂ X est un sous-domaine, i.e. un sous-ensemble ouvert connexe, alors Y hérite d’une structure complexe naturelle qui en fait une surface de Riemann, à savoir on prend comme atlas toutes les cartes complexes ϕ: U → V sur X pour lesquelles U est un ouvert de Y. En particulier, tout sous-domaineY ⊂Cest une surface de Riemann.
(c) La sphère de RiemannP1.SoitP1 :=C∪ {∞}, où∞est le symbole d’un élément non contenu dansC. On introduit la topologie suivante sur cet objet P1. Ses ouverts sont tout d’abord les ouverts usuelsU ⊂ Cet ensuite les ensembles de la formeV∪ {∞}, où V ⊂ C est le complémentaire d’un compact quelconque K ⊂ C. Avec cette topologie, P1 devient un espace topologique compact séparé, homéomorphe à la sphère S2. Posons maintenant :
U1 :=P1\{∞}=C,
U2 :=P1\{0}=C∗∪ {∞},
et définissons deux applicationsϕi: Ui → C, i = 1,2, comme suit : ϕ1 est l’application identité, et :
ϕ2(z) :=
1/z pour z ∈C∗, 0 pour z =∞.
Alors chacune de ces deux applications est un homéomorphisme, doncP1 est une variété de dimension 2. Puisque U1 et U2 sont connexes et sont d’intersection C∗\{0} non vide, P1 est aussi connexe. La structure complexe surP1 est alors définie par l’atlas constitué de ces deux cartes ϕi: Ui → C, i = 1,2, mais il reste encore à vérifier qu’elles sont holomorphiquement compatibles : on aϕ1(U1∩U2) =ϕ2(U1∩U2) =C∗ et l’application de transfert :
ϕ2◦ϕ−11: C∗ →C∗, z 7→1/z,
est en effet clairement biholomorphe (c’est une involution !). Ici, la notationP1 provient du fait que l’on peut considérerP1 comme l’unique (à isomorphisme près) espace projectif
de dimension 1 sur le corps des nombres complexes, constitué des couples de nombres complexes[ζ0: ζ1]non tous nuls, considérés à un facteur multiplicatif près.
(d) Les tores complexes. Supposons que ω1, ω2 ∈ C sont deux nombres complexes linéairement indépendants surRet définissons leréseauqu’ils engendrent :
Γ :=Zω1+Zω2 =
nω1+mω2 ∈C: n, m∈Z .
Deux nombres complexesz, z0 ∈Csont ditséquivalentsmod Γsiz−z0 ∈Γ. L’ensemble des classes d’équivalences est alors notéC/Γ. Soitπ: C → C/Γla projection canonique, i.e.l’application qui associe à tout pointz ∈Csa classe d’équivalencemod Γ.
−ω1
0 ω2
ω1+ω2
ω1
ω1 −ω2
−ω2
On introduit la topologie suivante, dite topologie quotient, surC/Γ. Par définition, un sous-ensembleU⊂C/Γest ouvert précisément lorsqueπ−1(U)⊂Cest ouvert. Avec cette topologie, C/Γ est un espace topologique séparé et l’application quotient π: C → C/Γ est continue. PuisqueC est connexe, C/Γ est aussi connexe. De plus,C/Γ est compact, puisqu’il est recouvert par l’image à traversπdu parallélogramme compact :
λω1+µω2 ∈C: λ, µ∈[0,1] .
L’applicationπest aussi ouverte,i.e.l’image de tout ouvertV ⊂Cest aussi un ouvert, et pour se convaincre queπ(V)est ouvert, on doit, par définition, vérifier queπ−1 π(V)
est ouvert, mais cela est clair puisque l’on a :
π−1 π(V)
= [
ω∈Γ
(ω+V)
| {z }
ouvert translaté
.
C C/Γ
U π|V
U
ϕ V V
V
U
Maintenant, la structure complexe surC/Γest définie comme suit. SoitV⊂Cun ouvert dans lequel aucun couple de points distincts n’est équivalentmod Γ. AlorsU := π(V)est ouvert etπ|V: V → Uest un homéomorphisme (bijectif, continu, d’inverse continu). Son inverseϕ: U →Vest une carte complexe surC/Γ. SoitAl’ensemble de toutes les cartes obtenues de cette façon. On doit vérifier que deux telles cartes ϕi: Ui → Vi, i = 1,2,
appartenant àAsont holomorphiquement compatibles. Considérons donc l’application : ψ :=ϕ2◦ϕ−11: ϕ1(U1 ∩U2)−→ϕ2(U1∩U2).
Pour toutz ∈ ϕ1(U1 ∩U2), on a π ψ(z)
= ϕ−11(z) = π(z), d’où ψ(z) et z on même image par π, et donc ψ(z) −z ∈ Γ. Puisque Γ est discret et que ψ est continue, cela implique queψ(z)−zest constant sur chaque composante connexe deϕ1(U1∩U2). Ainsi, ψ est holomorphe. On vérifie de même queψ−1 est aussi holomorphe. En conclusion, on équipeC/Γde la structure complexe définie par cet atlasA.
Scholie.SoitS1 := {z ∈ C: |z| = 1}le cercle unité. L’application qui, à un point quel- conque deC/Γreprésenté parλω1+µω2 (avecλ, µ∈R), le point :
e2πiλ, e2πiµ
∈S1×S1
est un homéomorphisme (exercice) deC/Γsur le produitS1×S1. Définition.SoitX une surface de Riemann et soitY ⊂ X un sous-ensemble ouvert. Une fonctionf: Y →Cest diteholomorphesi, pour toute carte1ψ: U→VsurX, la fonction conjuguée :
f◦ψ−1: ψ(U∩Y)−→C
est holomorphe au sens usuel sur l’ouvertψ(U∩Y)⊂C. L’ensemble de toutes les fonctions holomorphes surY sera notéO(Y): c’est un anneau.
La somme et le produit de fonctions holomorphes sont à nouveau holomorphes. Toutes les fonctions constantes sont holomorphes. DoncO(Y)est uneC-algèbre.
Remarque.Toute carte localeψ: U→V=ψ(U)⊂CsurXest, en particulier, une fonc- tion à valeurs complexes surU, qui est visiblement holomorphe. Usuellement, on appelleψ unecoordonnée locale, ou unparamètre uniformisant, et(U, ψ)unsystème de coordonnées locales(au voisinage detoutpoint a ∈ U). Dans ce contexte, on utilise habituellement la lettrezet parfois aussi la lettrew(à la place deψ: U→V) pour désigner les coordonnées
dans lesquelles on travaille.
Théorème d’élimination des singularités bornées de Riemann. ([9]) Soit U un sous- ensemble ouvert d’une surface de Riemann et soita ∈ U. Si une fonctionf ∈ O U\{a} est bornée au voisinage dea, alorsf se prolonge de manière unique en une fonction holo-
morphe définie surUtout entier.
Définition.SoientXetY deux surfaces de Riemann. Une application continuef: X →Y est diteholomorphesi, pour toute paire de cartes :
ψ1: U1 →V1 =ψ1(U1)⊂C et ψ2: U2 →V2 =ψ2(U2)⊂C surXavecf(U1)⊂U2, l’application conjuguée :
ψ2◦f ◦ψ1−1: V1 −→V2 est holomorphe au sens usuel.
Dans le cas spécial oùY = C, les applications holomorphes f: X → Cs’identifient clairement aux fonctions holomorphes. On vérifie aisément que si X, Y et Z sont trois
1. Bien entendu, la condition n’a pas à être vérifiée pourtoutesles cartes d’un atlas maximal surX, il suffit juste de la vérifier pour une famille de cartes qui recouvrentY, puisqu’elle est alors automatiquement satisfaite pour toutes les autres cartes compatibles.
surfaces de Riemann, et sif: X → Y etg: Y →Z sont deux applications holomorphes, alors leur compositiong ◦f: Y →Z est aussi une application holomorphe.
Définition.Une application f: X → Y est dite biholomorphesi elle est bijective, si elle est holomorphe, et si son inversef−1: Y →Xest elle aussi holomorphe. Deux surfaces de RiemannX etY sont ditesisomorphess’il existe une application biholomorphef: X → Y.
Homomorphisme d’anneaux induit par composition.Une application continuef: X → Y entre deux surfaces de Riemann est holomorphe précisément lorsque pour tout ouvert V⊂Y et toute application holomorpheψ ∈O(V), la fonction «ψ tirée en arrière parf» :
f∗(ψ) :=ψ◦f: f−1(V)→C est contenue dansO f−1(V)
: cela découle des définitions (exercice).
X ⊃f−1(V)
f
f∗(ψ)
%%K
KK KK KK KK KK
Y ⊃V ψ //C
De cette manière-là, pour tout ouvert2V⊂Y, une telle application holomorphef: X →Y induit une application :
f∗: O(V)−→O f−1(V) , qui est unhomorphisme d’anneaux(exercice).
Sig: Y → Z est une autre application holomorphe, siW est ouvert dansZ, en posant V:=g−1(W)etU:=f−1(V), alors l’homomorphisme :
(g◦f)∗: O(W)−→O(U) est la composition(g◦f)∗ =f∗◦g∗ des deux homomorphismes :
g∗: O(W)−→O(V) et f∗: O(V)−→O(U).
Théorème d’identité.SoientX etY deux surfaces de Riemann3et soientf1, f2: X →Y deux applications holomorphes dont les valeurs coïncident sur un sous-ensembleA ⊂ X possédant un point d’accumulationa∈X. Alorsf1etf2 sont identiquement égales.
DÉMONSTRATION. SoitGl’ensemble de tous les pointsx∈Xpossédant un voisinage ouvertWsur lequel f1|W =f2|W. Par définition,Gest ouvert. Nous allons montrer queG est aussi fermé.
En effet, soit b un point du bord de G. Alors f1(b) = f2(b), puisque f1 et f2 sont continues. Choisissons ensuite deux cartes surXet surY :
ϕ: U→V=ϕ(U)⊂C et ψ: U0 →V0 =ψ(U0)⊂C
avecb∈U, avecfi(b)∈U0, et avecfi(U)⊂U0(i= 1,2). Sans perte de généralité, on peut supposer aussi queUest connexe. Par définition, les deux applications conjuguée :
gi :=ψ◦fi◦ϕ−1: V→V0 ⊂C
2. On anticipe ainsi quelque peu ici l’utilisation du langage de la théorie des faisceaux, voir ci-dessous.
3. Rappelons que par définition,XetY sont alors connexes.
sont holomorphes. Puisque U∩G 6= ∅, le théorème d’identité pour les applications ho- lomorphes dans des domaines du plan complexe implique queg1 et g2 sont égales. Donc f1|U =f2|U. Ainsib∈GetGest fermé.
Maintenant, puisque X est connexe, on a ou bien G = ∅, ou bien G = X. Mais le premier cas est exclu, cara ∈ G (en appliquant à nouveau le théorème d’identité dans le plan complexe). En conclusion,f1etf2 coïncident surXtout entier.
Définition.Soit X une surface de Riemann et soitY un sous-ensemble ouvert deX. On appellefonction méromorphesurY toute fonction holomorphef: Y0 →C, oùY0 ⊂Y est un sous-ensemble ouvert, satisfaisant les propriétés suivantes :
(i) Y\Y0consiste seulement en des points isolés ; (ii) pour tout pointa∈Y\Y0, on a :
xlim→a |f(x)|=∞. Les points deY\Y0 sont alors appelés lespôlesdef.
Rappelons que, par définition, un point singulierapour une fonction holomorphe définie dans un disque épointé deC autour de a est unpôle silimz→a f(z) = ∞. On démontre alors ([9], p. 131) que si (U, z) est une coordonnée holomorphe locale au voisinage d’un pôleadef satisfaisantz(a) = 0, alorsf peut être développée en série de Laurent :
f = X∞ k=−ka
ckzk,
pour toutzdans un certain voisinage ouvert dea,la série étant tronquée vers les exposants négatifs. Au contraire, dès que an’est pas un pôle, c’est-à-dire lorsquea est une singula- rité diteessentielle, un théorème de Sohotsky-Casorati-Weierstrass ([9], p. 133) assure que toute constante complexec∈C∪ {∞}est valeur d’adhérence desf(zn)pour une certaine suitezn →a.
L’ensemble de toutes les applications méromorphes sur Y sera noté M(Y). En fait, M(Y)possède une structure naturelle deC-algèbre : la somme et le produit de deux fonc- tions méromorphes f, g ∈ M(Y) sont holomorphes en tous les points où f et g sont simultanément holomorphes ; grâce au théorème d’élimination des singularités bornées de Riemann, on peut par ailleurs prolongerf +g ou f gholomorphiquement là où leurs sin- gularités sont localement bornées.
Example.Supposonsn>1et soit :
F(z) :=zn+c1zn−1+· · ·+cn (ck∈C)
un polynôme de degrén. AlorsF définit une application holomorpheF: C → C. Si l’on voitCcomme un sous-ensemble de P1, alors limz→∞|F(z)| = ∞. Donc tout polynôme F ∈M(P1)définit une application méromorphe surP1.
Nous pouvons maintenant interpréter les fonctions méromorphes définies ci-dessus comme des applicationsholomorphesà valeurs dans la sphère de Riemann.
Théorème.SoitXune surface de Riemann et soitF ∈ M(X)une fonction méromorphe surX. Pour tout pôle adef, si on définitf(a) := ∞, alors l’application ainsi prolongée f: X →P1est une application holomorphe entre surfaces de Riemann.
Réciproquement, si f: X → P1 est une application holomorphe, alors ou bien f est identiquement égale à∞, ou bienf−1(∞)consiste seulement en des points isolés, et dans ce cas :
f: X
f−1(∞)−→C
est une fonction méromorphe surX au sens de la définition initiale.
Par conséquent, il est justifié (et conseillé) d’identifier dans la suite toute fonction méro- morphef ∈M(X)à l’application holomorphe correspondantef: X →P1, ce qui fournit une seconde définition équivalente mais plus naturelle.
DÉMONSTRATION. Dans le sens direct, soit donc f ∈ M(X) une fonction méro- morphe au sens de la définition et soitP l’ensemble des pôles def. Alorsf induit une ap- plicationf: X →P1qui est clairement continue. Supposons queϕ: U→Vetψ: U0 →V0 sont deux cartes locales surXavecV0 ⊂Cun ouvert borné, et surP1avecf(U)⊂U0. On doit démontrer que l’application :
g :=ψ◦f◦ϕ−1: V−→V0
est holomorphe. Mais commef est par hypothèse holomorphe surX\P, il est clair que g est déjà holomorphe sur V\ϕ(P). De plus g est continue grâce à la continuité de f, et le théorème d’élimination des singularités bornées de Riemann achève d’établir queg est holomorphe surVtout entier.
Pour la réciproque, on utilise le théorème d’identité (exercice).
Il découle des résultats qui précèdent que le théorème d’identité est aussi satisfait par les applications méromorphesX →P1. Par conséquent, toute fonction non identiquement nullef ∈M(X)\{0}a des zéros qui sont isolés.
Corollaire.L’ensembleM(X)des fonctions méromorphes sur une surface de RiemannX
est un corps.
Exercices
Exercice 1.1. (a)Compactification d’Alexandroff deRn.Pourn> 1, soit∞le symbole d’un élément n’appar- tenant pas àRn. On introduit une topologie surX :=Rn∪ {∞}: un sous-ensembleU ⊂X est ouvert, par définition, si l’une au moins des deux conditions suivantes est satisfaite :
(i) ∞ 6∈U etUest ouvert dansRn(pour la topologie usuelle deRn) ; (ii) ∞ ∈UetX\Uest compact dansRn.
Montrer queXest un espace topologique séparé compact.
(b)Projection stéréographique.On considère la sphère unitén-dimensionnelle : Sn:=
(x1, . . . , xn+1)∈Rn+1: x11+· · ·+x2n+1= 1 , ainsi que la projection stéréographiqueσ:Sn→Rn∪ {∞}donnée par :
σ(x1, . . . , xn+1) :=
( x1
1−xn+1, . . . ,1−xxn
n+1
sixn+16= 1,
∞ sixn+1= 1.
Montrer queσest un homéomorphisme deSnsurX.
Exercice 1.2.Pour toute matrice : a b c d
∈GL2(C),
montrer que l’application fractionnelle linéaire associée :
f(z) :=az+b cz+d
est holomorphe sur{z∈C: cz+d6= 0}et qu’elle peut être prolongée en une fonction méromorphe surP1, à nouveau dénotéef. Montrer quef:P1→P1est biholomorphe,i.e.quefest un automorphisme deP1.
Exercice 1.3.On identifieP1à la sphère unitéS2⊂R3grâce à la projection stéréographique : σ: S2−→C∪ {∞} ∼=P1
définie ci-dessus. SoitSO3(R)le groupe des matrices orthogonales3×3de déterminant1, à savoir : SO3(R) :=
A∈GL3(R) : AtA=Id, detA= 1 . Pour touteA∈SO3(R), montrer que l’application conjuguée :
σ◦A◦σ−1:P1→P1
est biholomorphe ; à cette fin, on admettra ou on démontrera indépendamment que toute matriceA∈SO3(R) peut être écrite comme un produit finiA=A1· · ·Akde matrices qui sont ou bien de la forme :
0 1 0 0 0 1 1 0 0
, ou bien de la forme suivante, avecB∈SO2(R):
B 0 0 1
.
Exercice 1.4.SoientΓ = Zω1 +Zω2 etΓ0 = Zω10 +Zω20 deux réseaux dansC. Montrer queΓ = Γ0 si et seulement si il existe une matrice :
A∈SL2(Z) =
A∈GL2(Z) :detA= 1
telle que :
ω10
ω20
=A ω1
ω2
.
Exercice 1.5. (a)SoientΓ,Γ0⊂Cdeux réseaux. On suppose qu’il existeα∈C∗satisfaisantαΓ⊂Γ0. Montrer que l’applicationz7→αzdeCdans lui-même induit une application holomorphe :
C/Γ→C/Γ0 et que cette application est biholomorphe si et seulement siαΓ = Γ0.
(b)Montrer que tout tore complexeX=C/Γest isomorphe à un tore de la forme : X(τ) :=C
(Z+Zτ , oùτ ∈CsatisfaitIm(τ)>0.
(b)On suppose que a b
c d
∈SL2(Z)et queIm(τ)>0. Soit l’application associée : τ0:=aτ+b
cτ+d.
Montrer que les deux tores complexesX(τ)etX(τ0)sont isomorphes.
—————–
2. Propriétés élémentaires des applications holomorphes
Dans ce chapitre, nous énonçons et nous démontrons quelques propriétés topo- logiques simples des applications holomorphes entre surfaces de Riemann qui per- mettent de déduire aisément quelques-uns des plus fameux résultats frappants de l’analyse complexe à une variable : théorème de Liouville ; théorème fondamental de l’algèbre (D’Alembert-Gauss) ; surjectivité des applications holomorphesf:X →Y non constantes dont la sourceX est compacte.
Théorème (comportement local des applications holomorphes).Soient X et X0 deux surfaces de Riemann et soitf: X → X0 une application holomorphenon constante. Soit a ∈X et posonsa0 :=f(a). Alors il existe un entierk > 1 — dépendant dea — et deux cartes localesϕ: U→VsurX etϕ0: U0 →V0surY satisfaisant les propriétés suivantes :
(i) a∈U avecϕ(a) = 0eta0 ∈U0 avecϕ0(a0) = 0; (ii) f(U)⊂U0;
U⊂X f //
ϕ
U0 ⊂X0
ϕ0
V z7→zk
//V0
(iii) l’application conjuguéeϕ0 ◦f ◦ϕ−1: V → V0 est normalisée comme une simple puissancek-ème de la coordonné ambiante :
ϕ0◦f ◦ϕ−1(z) =zk pour tout z ∈V .
DÉMONSTRATION. Tout d’abord, on note qu’en partant de deux cartesϕ1: U1 → V1 surXetϕ0: U0 →V0 surX0aveca∈U1 eta0 ∈U0 qui satisfontϕ(a) = 0etϕ0(a0) = 0(il en existe évidemment toujours), quitte à restreindre le domaineU1 en un sous-domaine — toujours notéU1 — contenant encore le pointa, on peut assurer quef(U1)⊂ U0, puisque f(a) = a0 et quef est continue, ce qui donne gratuitement(i)et(ii).
Maintenant, il découle du théorème d’identité que la fonction holomorphe standard : f1 :=ϕ0 ◦f ◦ϕ−11: C⊃V1 −→V0 ⊂C
n’est pas constante, puisquef ne l’est pas. Comme f1(0) = 0, il existe un entier k > 1 tel quef1(z) = zkg(z), où g est une fonction holomorphe sur V1 satisfaisantg(0) 6= 0.
Par conséquent, il existe une racinek-èmepk
g(z)de ce resteg(z)qui est holomorphe dans un certain voisinage ouvertV2 ⊂ V1 (peut-être plus petit) de 0, par exemple la fonction e1k logg(z), oùlogwest la détermination principale du logarithme dew ∈ C\]− ∞,0]. La correspondancez 7→z pk
g(z)définit alors une application holomorphe : χ: V2 →χ(V2) =: V⊂C
fixant0et de dérivée non nulle égale àpk
g(0)en0. Donc quitte à restreindre encoreV2 — tout en conservant la même notation —, on peut supposer queχest un biholomorphisme sur son image. Soit alorsU := ϕ−11 (V2)et remplaçons la carteϕ1: U1 → V1 par la carte ϕ: U→V, oùϕ :=χ◦ϕ1et oùV=χ(V2). Alors par construction, l’application conjuguée
ϕ0◦f ◦ϕ−1(z)est égale àzk pour toutz ∈V.
Interprétation géométrique.Le nombrekdu théorème peut être caractérisé de la manière suivante. Pour tout voisinage ouvertUa dea, il existe un sous-voisinage ouvertU1,a ⊂ Ua deaet un voisinage ouvertU0dea0 :=f(a)tel que l’ensemblef−1(y)∩U1,acontient exac- tementkéléments distincts deux à deux, pour touty∈U0\{a0}, puisqu’il y a exactementk racinesk-èmes de l’unité. On appelle k lamultiplicitéavec laquelle l’applicationf prend la valeura0 au pointa, ou l’on dit simplement quef estde multiplicitékau pointa.
Exemple.Soitf(z) =zk+c1zk−1+· · ·+ckun polynôme de degrék. On sait quef peut être considéré comme une application holomorphef: P1 → P1 qui satisfaitf(∞) = ∞. En utilisant deux cartes au voisinage des deux ∞, on peut facilement voir que f est de multiplicitéken∞(exercice).
Corollaire.SoientX et Y deux surfaces de Riemann et soitf: X → Y une application holomorphe non constante. Alorsf est ouverte,i.e.l’image par f de tout sous-ensemble ouvert deX est aussi un sous-ensemble ouvert deY.
DÉMONSTRATION. Il découle directement du type de forme normale localez 7→ zka du théorème précédent que siUaest un voisinage ouvert d’un pointa∈X, alorsf(Ua)est aussi un voisinage ouvert du pointf(a). Ceci implique quef est ouverte.
Corollaire.SoientX et Y deux surfaces de Riemann et soitf: X → Y une application holomorphe injective. Alorsf est un biholomorphisme deXsur son imagef(X)⊂Y.
DÉMONSTRATION. Puisque f est injective, dans la description locale énoncée par le théorème précédent, on doit toujours avoirka = 1, d’où la différentielle def est inversible.
Donc par le théorème d’inversion locale analytique, l’application inversef−1: f(X)→X
est elle aussi holomorphe.
L’ouverture des applications holomorphes a encore d’autres conséquences fondamen- tales.
Corollaire (Principe du maximum).SoientXune surface de Riemann et soitf: X →C une fonction holomorphe non constante. Alors la valeur absolue de f n’atteint pas son maximum surX.
DÉMONSTRATION. Par l’absurde, supposons qu’il existe un pointa∈Xtel que : R :=|f(a)|= sup
|f(x)|: x∈X .
Alors immédiatement, l’image complète def est contenue dans le disque de rayonR: f(X)⊂DR:=
z ∈C: |z|6R .
Puisque l’ensemblef(X)est ouvert, il est contenu dans l’intérieur deK. Ceci contredit le
fait quef(a)∈∂DR.
Théorème.SoientX etY deux surfaces de Riemann. On suppose queXest compacte et quef: X → Y est une application holomorphe non constante. AlorsY est compacte etf est surjective.
DÉMONSTRATION. On sait que f(X)est un sous-ensemble ouvert deY. Puisque X est compacte, son imagef(X)est elle aussi compacte, donc fermée. Mais comme les seuls sous-ensembles d’un espace topologique connexe qui sont à la fois fermés et ouverts sont l’ensemble vide et l’espace tout entier, il en découle quef(X) =Y. Ainsif est surjective
etY est compacte.
Corollaire. Toute fonction holomorphe sur une surface de Riemann compacte est constante.
DÉMONSTRATION. En effet, partant def: X →Cholomorphe non constante, le théo- rème forcerait C à être compact, ce qui n’est pas. Une autre démonstration plus directe consisterait à observer qu’il existe un pointadu compactXen lequel|f|atteint son maxi- mum, ce qui la force à être constante, à cause du principe du maximum.
Corollaire.Toute fonction méromorphef sur P1 est rationnelle, i.e. elle peut être écrite comme quotient de deux polynômes.
DÉMONSTRATION. La fonctionfpossède seulement un nombre fini de pôles, puisque si leur nombre était infini, par compacité deP1, ils auraient un point limite, et le théorème d’identité impliquerait alors quef serait identiquement égale à∞.
Ensuite, on peut supposer que∞n’est pas un pôle def, car sinon, il suffirait de consi- dérer1/f au lieu de f (la conclusion désirée resterait inchangée). Maintenant, supposons quea1, . . . , ansont les pôles def et soient :
hν(z) =
−1
X
j=−kν
cνj(z−aν)j (ν= 1···n)
les parties principales def en ses pôlesaν pourν = 1, . . . , n. Alors la fonction : g :=f−(h1+· · ·+hn)
est holomorphe sur P1 et donc elle est constante, grâce au corollaire vu à l’instant. Par réduction au même dénominateur, il en découle quef est rationnelle.
Théorème de Liouville.Toute fonction holomorphef: C → Cdéfinie sur C tout entier qui est bornée est en fait forcément constante.
DÉMONSTRATION. Grâce au théorème d’élimination des singularités bornées de Rie- mann, l’applicationf peut alors être prolongée holomorphiquement comme une applica- tion f: P1 → C. Or P1 est compact, et le corollaire pénultième a déjà fait voir que ce
prolongement doit alors être constant.
Théorème fondamental de l’algèbre.Soitn>1un entier et soit : f(z) =zn+c1zn−1+· · ·+cn
un polynôme à coefficients complexes cν ∈ C, ν = 1, . . . , n. Alors il existe au moins un pointa∈Ctel quef(a) = 0.
DÉMONSTRATION. Le polynôme f peut être considéré comme une application holo- morphef: P1 →P1 fixant∞,i.e.f(∞) = ∞, avec la multiplicitén. D’après le théorème qui précède, cette application est alors nécessairement surjective. Donc0∈f(C).
Fonctions doublement périodiques.Supposons queω1, ω2 ∈ Csont deux nombres com- plexes linéairement indépendants surR et considérons le réseau Γ := Zω1 +Zω2 qu’ils engendrent. Une fonction méromorphe f: C → P1 est dite doublement périodique par rapport àΓsi l’on a :
f(z) =f(z+ω) pour tout z ∈C et tout ω ∈Γ.
Évidemment, il suffit pour cela que :
f(z) =f(z+ω1) = f(z+ω2) pour tout z ∈C.
Maintenant, soitπ: C → C/Γla projection canonique. Alors la fonction doublement pé- riodiquef induit une fonctionF: C/Γ→P1 satisfaisantf =F ◦π.
C
π
f //P1
C/Γ
F
=={
{{ {{ {{ {
Il découle directement de la définition de la structure complexe sur C/Γ que F est une fonction méromorphe surC/Γ.
Réciproquement, pour toute fonction méromorphe F: C/Γ → P1, la composition f := F ◦π: C → P1 est une fonction méromorphe sur Cqui est doublement périodique par rapport au réseau Γ. En définitive : les fonctions méromorphes sur le tore C/Γ sont en correspondence biunivoque avec les fonctions méromorphe surCqui sont doublement périodiques par rapport àΓ.
Des résultats qui précèdent découle l’énoncé suivant (exercice).
Théorème.Toute fonction holomorphedoublement périodique f: C → Cest constante.
Toute fonction méromorphe non constante doublement périodiquef: C→P1atteint toute
valeurc∈P1.
Exercices
Exercice 2.1.SoitΓ⊂Cun réseau. La fonction de Weierstrass℘associée àΓest définie par la série :
℘Γ(z) := 1
z2 + X
ω∈Γ\{0}
1
(z−ω)2 − 1 ω2
.
(a)Montrer que℘Γest une fonction méromorphe doublement périodique par rapport àΓqui a des pôles aux points deΓ.Indication: considérer d’abord sa dérivée terme à terme :
℘0Γ(z) =−2X
ω∈Γ
1 (z−ω)3.
(b)Soitf∈M(C)une fonction doublement périodique par rapport àΓqui a des pôles aux points deΓet qui possède le développement de Laurent suivant à l’origine :
f(z) = X∞ k=−2
ckzk, où c−2 = 1 et où c−1=c0= 0.
Montrer qu’alorsf =℘Γ.
Exercice 2.2.Soit X une surface de Riemann et soit f:X → Cune fonction holomorphe non constante.
Montrer queRe(f)n’atteint pas son maximum.
Exercice 2.3.Soitf:C→Cune fonction holomorphe dont la partie réelle est bornée supérieurement. Montrer quefest constante.
Exercice 2.4.Soitf:X→Y une application holomorphe non constante et soit l’homomorphisme d’anneaux : f∗: O(Y)−→O(X)
induit par composition. Montrer qu’il est injectif.
Exercice 2.5.Soientp1, . . . , pndes points distincts deux à deux sur une surface de Riemann compacteX. On poseX0:=X\{p1, . . . , pn}et on suppose que :
f: X0→C
est une application holomorphe non constante. Montrer qu’il existe des points de son imagef(X0)qui sont arbitrairement proches de toutc∈C.
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3. Homotopies entre courbes continues et groupe fondamental d’un espace topologique
Dans ce chapitre, on présente des résultats topologiques de base concernant l’ho- motopie entre courbes continues afin de définir la notion importante de groupe fonda- mental d’un espace topologique. On donne ensuite quelques exemples de surfaces de Riemann qui sont des espaces simplement connexes,i.e.dont le groupe fondamental réduit à l’élément neutre.
Définition.Dans un espace topologiqueX, unecourbe continueest une application conti- nueu: [0,1]→X. Le pointa:=u(0)est lepoint initialetb :=u(1)lepoint final. On dira queuest unecourbe continue deaversb, ou que la courbeujointaàb.
Définition. Un espace topologique X est connexe par arcs si deux points quelconques a, b∈X peuvent toujours être joints par une courbe continue.
Proposition.Tout espace topologique connexe par arcs est connexe.
DÉMONSTRATION. Étant donné une courbe continueγ: [0,1]−→Xallant d’un point γ(0) = x ∈ X à un point γ(1) = y ∈ X, nécessairement x et y appartiennent à une même et unique composante connexe de X, d’après la définition, en topologie générale,
des composantes connexes.
Exemple.Le graphe dans]0,+∞[×Rdex 7→ sinx1 auquel on ajoute le singleton{0}est connexe, mais pas localement connexe par arcs (exercice).
Définition.Un espace topologiqueX est ditlocalement connexe par arcssi chacun de ses points possède une base de voisinages qui sont tous connexes par arcs.
Exemple.Toute variété est localement connexe par arcs.
Proposition. Tout espace topologique connexe qui est localement connexe par arcs est aussi (globalement) connexe par arcs.
DÉMONSTRATION. Il suffit de vérifier (exercice de révision) que l’ensemble des points x ∈ X qui peuvent être joints au moyen d’une courbe continue à un point a ∈ X fixé à
l’avance est à la fois ouvert et fermé.
Exemple. En modifiant l’exemple précédent, trouver (exercice géométrique) un exemple d’espace globalement connexe par arcs qui n’est pas connexe par arcs.
Définition.Soit X un espace topologique et soienta, b ∈ X deux points quelconques de X. Deux courbes continuesu, v: [0,1] → X dea versb sont dites homotopes — ce qui sera notéu∼v — s’il existe une application continue :
A: [0,1]×[0,1]−→X
qui interpole u et v en les déformant continûment l’une vers l’autre tout en maintenant fixées leurs extrémités, au sens précis où les trois propriétés suivantes sont satisfaites :
(i) A(t,0) =u(t)pour toutt∈[0,1]; (ii) A(t,1) =v(t)pour toutt ∈[0,1];
(iii) A(0, s) = aetA(1, s) =bpour touts∈[0,1].
En termes de cette définition, si l’on pose :
us(t) :=A(t, s),
alors chaque applicationus: [0,1] → X est une courbe continue dea vers b. La famille de courbes us
06s61 est appelée unedéformation continue dansX de la courbeuvers la courbev, ou unehomotopieentreuetv.
v
us
u
b
a
C’est alors la continuité de l’applicationAqui constitue l’hypothèse cruciale, car les défor- mations intermédiairesussont censées rester toutes dansX.
Théorème.SoitX un espace topologique et soient deux points a, b ∈ X. Alors la notion d’homotopie est une relation d’équivalence sur l’ensemble des courbes continues allant de aàb.
DÉMONSTRATION. La réflexivité et la symétrie de cette relation (notée∼) sont immé- diates. Pour ce qui est de la transitivité, on doit montrer que si u, v, w: [0,1] → X sont trois courbes continues deaversbtelles queuetv, ainsi quev etw, sont homotopes,i.e.
telles queu∼v etv ∼w, alorsuetwsont elles aussi homotopes,i.e.u∼w.
Par hypothèse, il existe donc deux applications continues : A et B : [0,1]×[0,1]−→X d’extrémités fixées pour touts∈[0,1]:
A(0, s) = B(0, s) =a et A(1, s) =B(1, s) = b, qui jouissent des propriétés suivantes pour toutt∈[0,1]:
A(t,0) = u(t) [départ],
A(t,1) = B(t,0) =v(t) [coïncidence intermédiaire],
B(t,1) = w(t) [arrivée].
Afin de « recoller » la seconde homotopie à la première, puisque par définition le paramètre de déformationsdoit toujours appartenir à[0,1], il suffit de le renormaliser par un facteur 2en définissant :
C(t, s) :=
( A(t,2s) pour 06s 6 12, B(t,2s−1) pour 12 6s 61.
AlorsCest continue et produit visiblement une homotopie entreuetw.
Lemme. Soit u: [0,1] → X une courbe continue dans un espace topologique X et soit ϕ: [0,1]→ [0,1]une application continue quelconque fixant les extrémités :ϕ(0) = 0et ϕ(1) = 1. Alors les deux courbesuetu◦ϕsont homotopes.
