Examen : Introduction aux surfaces de Riemann

Examen : Introduction aux surfaces de Riemann

Exercice 1. Les cubiques de Hesse. Soit λ ∈ C et C

la courbe alg´ ebrique suivante : C

= {(x, y ) ∈ C

, x

+ y

+ 3λxy + 1 = 0}.

1. Montrer que C

est une surface de Riemann si et seulement si λ

6= −1. On se place dor´ enavant dans ce cas.

2. On plonge C

dans P

( C ) par l’application i : (x, y) 7→ [x, y, 1]. Montrer que la courbe i(C

) se compactifie en une courbe lisse ˆ C

dont on donnera l’´ equation et les points

`

a l’infini.

3. Soit ω =

= −

. Montrer que ω est une forme diff´ erentielle holomorphe sur C

.

4. Montrer que ω se prolonge en une diff´ erentielle holomorphe sur ˆ C

. 5. D´ eterminer l’ensemble des formes diff´ erentielles holomorphes sur ˆ C

. 6. Bonus : D´ ecrire ˆ C

pour λ

= −1 et λ = ∞ (le d´ efinir !). Prouver l’´ egalit´ e

P

= [

λ∈P¹

C ˆ

.

Exercice 2. Points de Weierstrass. On rappelle le th´ eor` eme de Riemann-Roch : Si S est une surface de Riemann compacte de genre g et D est un diviseur alors

dim L(D) − dim L(K − D) = deg D − g + 1, o` u K est un diviseur canonique de S.

1. On fixe p ∈ S. Montrer qu’il existe une fonction m´ eromorphe sur S avec un seul pˆ ole d’ordre au plus g + 1 en p.

2. Montrer qu’il existe une fonction m´ eromorphe avec un seul pˆ ole en p d’ordre g si et seulement si il existe une 1-forme holomorphe avec un z´ ero d’ordre au moins g en p.

Le pˆ ole d’une telle fonction m´ eromorphe est dit un point de Weierstrass.

3. Combien de points de Weierstrass poss` ede une surface de genre 1 ?

4. Montrer que si ϕ : S → S est un biholomorphisme alors ϕ est une permutation sur l’ensemble de points de Weierstrass.

5. On peut montrer, en allant plus loin, que le groupe de biholomorphismes de S est fini si g ≥ 1. Montrer que si g = 1 ce groupe est infini.

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