1 Premiers exemples de surfaces de Riemann
1.1 D´ efinitions
D´ efinition 1. Une surface de Riemann est un espace topologique s´ epar´ e et ` a base d´ enombrable X muni d’un atlas maximal (U i , ϕ i ) i∈I dont les applications de transition sont holomorphes, cf [2] Section 3.1.
D´ efinition 2. Fonctions holomorphes entre deux surfaces de Riemann.
Exemple de la sph` ere de Riemann P 1 . D´ efinition de M X , ensemble des fonctions m´ eromorphes sur X.
Exercice 1. – Montrer que M X est un corps et que si X et Y sont deux surfaces de Riemann biholomorphes alors M X et M Y sont isomorphes.
– Montrer qu’une fonction f : X → C ∪ {∞} est m´ eromorphe ssi la mˆ eme fonction vue comme f : X → P 1 est holomorphe.
– Montrer que toute fonction holomorphe f : P 1 → P 1 est une fraction rationnelle.
– Montrer que tout biholomorphisme f : P 1 → P 1 est de la forme f(z) = az+b cz+d avec a, b, c, d ∈ C v´ erifiant ad − bc 6= 0.
1.2 L’origine des surfaces de Riemann, le prolongement analytique Notion de prolongement analytique, exemple des fonctions 1−z 1 , Γ(z), ζ (z), √
z, ln(z).
D´ efinition 3. Soit p ∈ C . Soit (U, f ) et (V, g) deux couples o` u U (resp. V ) est un ouvert de C contenant p et f (resp. g) est holomorphe sur U (resp. V ). On dit que (U, f ) et (V, g) ont le mˆ eme germe en p et on note (U, f ) p ∼ (V, g) p s’il existe W ⊂ U ∩ V un ouvert tel que f | U = g| V . La classe d’´ equivalence de (U, f ) est not´ ee f p .
On note F l’ensemble de tous les germes. Il est muni de la topologie engendr´ ee par les ouverts
U U,f = {f p , p ∈ U }
Proposition 1. Soit x ∈ F et F x la composante connexe de F contenant x. Alors F x est une surface de Riemann et les applications f p 7→ p et f p 7→ f (p) sont holomorphes.
Exercice 2. Monter que si f : U → C satisfait une ´ equation diff´ erentielle de la forme P(z, f(z), f 0 (z)) = 0 pour tout z ∈ U , alors la fonction obtenue par prolongement analytique satisfait la mˆ eme ´ equation (formaliser).
1.3 Courbes alg´ ebriques
Proposition 2. Si P ∈ C [x, y] est tel que les ´ equations P (x, y) = ∂ x P(x, y) =
∂ y P(x, y) = 0 n’ont pas de solution, l’ensemble
X P = {(x, y) ∈ C 2 /P (x, y) = 0}
est muni d’une structure de surface de Riemann telle que les applications (x, y) 7→ x
et (x, y) 7→ y sont holomorphes.
Plus g´ en´ eralement, si on se donne U un ouvert de C n et n − 1 fonctions f 1 , . . . , f n holomorphes (i.e. d´ eveloppables en s´ erie enti` ere) telles que pour tout z = (z 1 , . . . , z n ) ∈ U tel que f 1 (z) = · · · = f n−1 (z) = 0 on a
rk ∂f i
∂z j (z) = n − 1.
Alors le sous-ensemble de U o` u les fonctions f i s’annulent simultan´ ement est une surface de Riemann et les applications coordonn´ ees sont holomorphes.
Soit P 1 , . . . , P k ∈ C [x 1 , . . . , x n ] des polynˆ omes et posons X P = {z ∈ C n /P 1 (z) = · · · = P k (z) = 0}.
On l’appelle la vari´ et´ e alg´ ebrique affine d´ efinie par le syst` eme d’´ equations P.
Notons P 1 = P
i
1,...,i
na i
1,...,i
nx i 1
1· · · x i n
n. En posant d 1 = max{ P
i j /a i
1,...,i
n= 0} on d´ efinit
P 1 h = X
i
1,...,i
na i
1,...,i
nx d
1−
P i
j0 x i 1
1· · · x i n
n.
On pose ˆ X P = {z = [z 0 , . . . , z n ] ∈ P n /P 1 h (z) = · · · = P k h (z) = 0} et on l’appelle vari´ et´ e alg´ ebrique projective associ´ ee ` a P .
Proposition 3. Crit` ere pour que X ˆ P soit une surface de Riemann compacte.
Exemple de la courbe y 2 = x 3 − x dans C 2 et P 2 .
Exercice 3. – Soit V un espace vectoriel de dimension 3 et [v] ∈ P (V ) un point qui ne rencontre pas une courbe alg´ ebrique X ⊂ P (V ). Montrer que la projection X → P (V / C v) est holomorphe.
– Montrer que l’application ϕ : P 1 → P n d´ efinie par ϕ[x, y] = [x n , x n−1 y, . . . , y n ] est un plongement, montrer que l’image est une courbe alg´ ebrique projective.
– Soit E un C -espace vectoriel de dimension 3 et q : E → C une forme qua- dratique non-d´ eg´ en´ er´ ee. Montrer que X q ⊂ P (E) est une surface de Riemann biholomorphe ` a P 1 .
1.4 Quotients
Proposition 4. Si un groupe G discret agit proprement, librement et holomorphique- ment sur une surface de Riemann X alors le quotient X/G est muni d’une unique structure de surface de Riemann telle que l’application X → X/G soit holomorphe.
R´ eciproquement, si π : X → Y est une revˆ etement avec Y une surface de Riemann, alors il existe une unique structure de surface de Riemann sur X telle que l’application π est holomorphe. En particulier, toute surface de Riemann est le quotient d’une surface de Riemann simplement connexe et on a le
Th´ eor` eme 1 (Uniformisation). Toute surface de Riemann connexe et simplement
connexe est biholomorphe ` a C , D ou P 1 o` u D = {z ∈ C , |z| < 1}.
Exemples de quotients, C / Z , C /Λ o` u Λ est un r´ eseau, C ∗ /(z ∼ qz).
Proposition 5. Les surfaces de Riemann D et H = {z ∈ C / Im(z) > 0} sont biholo- morphes. Leurs groupes d’automorphismes sont respectivement
PU(1, 1) = { a b
b a
, a, b ∈ C , |a| 2 − |b| 2 = 1}/{±I } et PSL 2 ( R ). De plus, le groupe PU(1, 1) agit proprement sur D .
Exercice 4. – Montrer que le groupe d’automorphismes de P 1 est PGL 2 ( C ) et qu’aucun sous-groupe n’agit librement.
– Montrer que le groupe d’automorphismes de C est {z 7→ az + b, a ∈ C ∗ , b ∈ C }.
Trouver tous les quotients.
– Montrer que tout sous-groupe de PSL 2 ( R ) sans torsion agit proprement et libre- ment sur H.
Soit N > 3. On d´ efinit Γ N = {A ∈ SL 2 ( Z )/A ≡ I mod N } et on l’appelle sous- groupe de congruence de niveau N.
Proposition 6. Le groupe Γ N agit librement sur H .
On note le quotient X N : c’est la vari´ et´ e de congruence. La vari´ et´ e X 7 a pour groupe d’automorphismes PSL 2 ( F 7 ). Elle est isomorphe ` a la courbe alg´ ebrique {[x, y, z] ∈ P 2 /x 3 y + y 3 z + z 3 x = 0} et s’appelle la courbe de Klein (admis).
2 Topologie des surfaces de Riemann
2.1 Propri´ et´ e locale des morphismes
Th´ eor` eme 2 (Inversion locale). Si f : X → Y est holomorphe entre deux surfaces de Riemann et que pour une carte (U, ϕ) autour de p et une carte (V, ψ) autour de f (p) on a
(ψ ◦ f ◦ ϕ −1 ) 0 (ϕ(p)) 6= 0 Alors f est un biholomorphisme local autour de p.
Dans le cas contraire, on a (ψ ◦ f ◦ ϕ −1 ) 0 (ϕ(p)) = 0 et ce ind´ ependamment du choix de cartes. On dit que p est un point critique. Le point f (p) est dit valeur critique.
Proposition 7. Soit f : X → Y une application holomorphe non constante entre deux surfaces de Riemann connexes. Pour tout p ∈ X il existe un unique entier k p > 0 tel que dans un syst` eme de cartes adapt´ ees f s’´ ecrive f (z) = z k
p.
L’entier k p s’appelle l’indice de ramification de f en p. Il v´ erifie k p > 1 ssi p est un
point critique. On d´ eduit de la proposition pr´ ec´ edente que f est ouverte (l’image d’un
ouvert est ouverte).
Proposition 8. Soit f : X → Y une application holomorphe non constante entre deux surfaces connexes.
– L’ensemble R = {p ∈ X, k p > 1} est discret dans X.
– Si f est propre, f (R) est discret dans Y .
– Si f est propre alors pour tout y ∈ Y , l’ensemble f −1 ({y}) est fini. On pose d = P
x/f(x)=y
k x . Cette quantit´ e est ind´ ependante de y, on l’appelle degr´ e : d = deg f.
Exercice 5. – Calculer le degr´ e d’une fraction rationnelle, vue comme application holomorphe P 1 → P 1 .
– Montrer que si f est m´ eromorphe sur X, elle a autant de pˆ oles que de z´ eros, compt´ es avec multiplicit´ e.
– Montrer que si f : X 1 → X 2 et g : X 2 → X 3 sont propres, alors deg g ◦ f = deg g + deg f .
On a l’application suivante : si f est une fonction m´ eromorphe sur X qui n’a qu’un pˆ ole simple, alors X ' P 1 .
On verra plus tard que le degr´ e de f est aussi celui de l’extension de corps f ∗ : M Y → M X .
Exemple de la courbe y 2 − x 3 + x = 0 projectivis´ ee, munie de la projection sur x.
2.2 Triangulations
Notons ∆ n = {(x 0 , . . . , x n ) ∈ [0, 1] n , P
i x i = 1}. On utilisera seulement ∆ 0 , ∆ 1 , ∆ 2 qui sont respectivement hom´ eomorphes ` a un point, un segment et un triangle.
Rappelons la d´ efinition formelle d’un graphe : on se donne deux ensembles (ici finis) E (arˆ etes) et V (sommets) et deux applications s 0 , s 1 : E → V qui sont respective- ment la source et le but de l’arˆ ete correspondante. Il s’agit de donn´ ees combinatoires permettant de construire le graphe de la fa¸ con suivante :
G = V × ∆ 0 q E × ∆ 1 / ∼
o` u ∼ est la relation d’´ equivalence la plus fine qui v´ erifie (e, 1, 0) ∼ (s 0 (e), 1) et (e, 0, 1) ∼ (s 1 (e), 1). On construit de mˆ eme un 2-complexe simplicial ` a partir de trois ensembles I 0 , I 1 , I 2 param´ etrisant respectivement les sommets, les arˆ etes et les tri- angles et d’applications de recollement s 0 , s 1 : I 1 → I 0 et t 0 , t 1 , t 2 : I 2 → I 1 v´ erifiant : s 1 ◦ t 0 = s 0 ◦ t 2 , s 0 ◦ t 0 = s 0 ◦ t 1 et s 1 ◦ t 2 = s 1 ◦ t 1 .
On a alors
T = I 0 × ∆ 0 q I 1 × ∆ 1 q I 2 × ∆ 2 / ∼ .
o` u ∼ est la relation d’´ equivalence la plus fine qui v´ erifie pour tout e ∈ I 1 , f ∈ I 2 , x, y ∈ [0, 1] v´ erifiant x + y = 1 :
(e, 1, 0) ∼ (s 0 (e), 1), (e, 0, 1) ∼ (s 1 (e), 1) et
(f, 0, x, y) ∼ (t 0 (f ), x, y), (f, x, 0, y) ∼ (t 1 (f ), x, y), (f, x, y, 0) ∼ (t 2 (f ), x, y)
Exemples de triangulation : un triangle, un tore, un huit.
Pour tout sommet x ∈ I 0 , on consid` ere un graphe G x dont les sommets sont les demi-arˆ etes a recoll´ ees ` a x et deux demi-arˆ etes a, a 0 sont reli´ ees s’il existe un triangle f dont un coin est recoll´ e ` a x ` a travers les demi-arˆ etes a et a 0 .
D´ efinition 4. On dit que T est r´ eguli` ere si toute arˆ ete e ∈ I 1 est recoll´ ee ` a exactement deux triangles et si pour tout x ∈ I 0 , G x est un cercle. On dit que T est orient´ ee si pour toute arˆ ete e ∈ I 1 , le recollement sur les deux triangles renverse l’orientation.
Th´ eor` eme 3. Soit X une surface de Riemann compacte munie d’une fonction m´ ero- morphe. Alors X est hom´ eomorphe ` a T o` u T est une triangulation r´ eguli` ere orient´ ee, cf [1] p. 40.
Th´ eor` eme 4. Toute surface de Riemann est hom´ eomorphe ` a la sph` ere S 2 ou ` a un 4g-gˆ one recoll´ e de fa¸ con standard, cf [4] p. 23.
On appelle g le genre de la surface : la fin de la section montre qu’il s’agit d’un invariant bien d´ efini.
Pour tout groupe ab´ elien A, on d´ efinit le complexe suivant : C i = L
j∈I
iAe j avec
∂ 1 e j = e s
1(j) − e s
0(j) et ∂ 2 e j = e t
0(j) − e t
1(j) + e t
2(j) . On a le th´ eor` eme fondamental suivant :
Th´ eor` eme 5. L’homologie du complexe C 0 ← ∂
1C 1 ← ∂
2C 2 ne d´ epend que de l’espace topologique sous-jacent ` a T . En particulier pour une surface de Riemann X, on notera H i (X, A) cette homologie. On a H 0 (X, A) = H 2 (X, A) = A et H 1 (X, A) = A 2g .
On d´ efinit de mˆ eme pour tout groupe ab´ elien A la cohomologie du complexe dual C i (X, A) = hom(C i , A). On obtient des groupes H i (X, A) qui ne d´ ependent pas de la triangulation et qui co¨ıncident avec la cohomologie singuli` ere ou la cohomologie de De Rham de X si A = R .
Proposition 9. Soit X une surface de Riemann compacte triangul´ ee. La quantit´ e
|I 0 | − |I 1 | + |I 2 | ne d´ epend pas de la triangulation et vaut 2 − 2g o` u g est le genre de la surface.
2.3 Autour de Riemann-Hurwitz
Proposition 10. Si f : X → Y est une application holomorphe et sans point critique entre deux surfaces de Riemann compactes alors
χ(X) = deg(f)χ(Y ).
Proposition 11. Si f : X → Y est une application holomorphe non constante entre deux surfaces de Riemann compactes alors
χ(X) = deg(f )χ(Y ) − X
x∈X
(k x − 1)
Exemple de la courbe projective X = {[x, y, z] ∈ P 2 /x 3 − xz 2 − y 2 z = 0} munie de l’application holomorphe ϕ : X → P 1 d´ efinie par ϕ([x, y, z]) = [y, z].
Proposition 12. Soit P ∈ C [x, y] un polynˆ ome de la forme P (x, y) = P n
k=0 a k (x)y k avec deg a k (x) = n − k. Supposons que P d´ efinit une courbe lisse X P dans C 2 . Soit p 1
la premi` ere projection. Alors P
(x,y)∈X
P(k x,y − 1) = n(n − 1). On en d´ eduit que toute courbe projective de degr´ e n dans P 2 est de genre (n−1)(n−2) 2 .
Exercice 6. Soit X une courbe alg´ ebrique lisse dans P 1 × P 1 d´ efinie par un polynˆ ome F(x 1 , y 1 , x 2 , y 2 ) homog` ene de degr´ e d 1 dans les variables (x 1 , y 1 ) et d 2 dans les variables (x 2 , y 2 ). En introduisant une fonction m´ eromorphe ad´ equate, montrer que son genre est (d 1 − 1)(d 2 − 1).
2.4 Formes diff´ erentielles holomorphes
D´ efinition 5. Si (X, (U i , ϕ i ) i∈I ) est une surface de Riemann, une forme diff´ erentielle holomorphe est la donn´ ee d’une famille de fonctions g i sur ϕ i (U i ) v´ erifiant sur ϕ j (U i ∩ U j ) la formule g j (z) = g i (ϕ i ◦ ϕ −1 j (z))(ϕ i ◦ ϕ −1 j ) 0 (z).
En notant plutˆ ot ω = (g i (z)dz) on obtient la formule g j (z)dz = (ϕ i ◦ ϕ −1 j ) ∗ g i (z)dz.
Sur P 1 , toutes les diff´ erentielles holomorphes sont nulles. L’espression dz d´ efinit une diff´ erentielle holomorphe sur C /Λ qui ne s’annule jamais. Sur la courbe d’´ equation y 2 = P (x) o` u P est un polynˆ ome de degr´ e 3 ` a racines simples, l’expression ω = dx y = 2 P dy
0(x) d´ efinit une diff´ erentielle holomorphe. De plus, elle s’´ etend holomorphiquement sur la projectivisation de la courbe.
On montrera que sur une surface de Riemann compacte de genre g, les formes diff´ e- rentielles holomorphes forment un espace vectoriel de dimension g. C’est une d´ efinition analytique du genre.
3 Autour du th´ eor` eme de Riemann-Roch
3.1 Fibr´ es en droites
Pour ce chapitre, on r´ ef` ere ` a [3].
D´ efinition 6. Un fibr´ e en droite sur une surface de Riemann X est un espace topo- logique L et une application continue π : L → X tel que pour tout x ∈ X, la ”fibre”
π −1 ({x}) est munie d’une structure d’espace vectoriel complexe de dimension 1.
On suppose qu’il existe un recouvrement (U i ) i∈I d’ouverts de X et des hom´ eomor- phismes Φ i : π −1 (U i ) → U i × C tels que p 1 ◦ Φ i = π et tel que la restriction de Φ i
`
a chaque fibre soit un isomorphisme lin´ eaire π −1 ({x}) ' C . Finalement, on suppose
que l’application de transition Φ j ◦ Φ −1 i : U i ∩ U j × C → U i ∩ U j × C est de la forme
(z, w) 7→ (z, g ij (z)w) o` u g ij : U i ∩ U j → C ∗ est holomorphe.
Les applications g ij satisfont la relation dite de cocycle g ik = g ij g jk en restriction
`
a l’ouvert U i ∩ U j ∩ U k . R´ eciproquement, si on se donne un recouvrement (U i ) i∈I de X et des applications holomorphes g ij : U i ∩ U j → C ∗ v´ erifiant la relation de cocycle alors on construit un fibr´ e en droite qui admet ces fonctions pour fonctions de transition.
Exemple du fibr´ e tautologique sur P 1 . Si V est un espace vectoriel de dimension 2, l’espace L = {(D, w)/D ∈ P V, w ∈ D} est un fibr´ e en droite sur P V appel´ e fibr´ e tautologique. Sa fonction de transition dans le syst` eme de carte usuel est z 7→ 1/z. Il est not´ e O(−1). Exemples des fibr´ es tangents et cotangents (dit canonique et not´ e K ) sur une surface de Riemann.
D´ efinition 7. Une section holomorphe (resp. lisse) d’un fibr´ e en droite π : L → X est une application continue s : X → L telle que π ◦ s = Id et telle que pour tout i ∈ I on ait : Φ i (s(z)) = (z, s i (z)) avec s i : U i → C holomorphe (resp. lisse). On note H 0 (X, L) l’espace vectoriel des sections holomorphes de L.
Exemple du fibr´ e trivial, le fibr´ e tautologique sur P 1 n’a pas de section holomorphe.
Exercice 7. – Soit V un espace vectoriel de dimension 2 et λ ∈ V ∗ . L’application s λ : P V → O(1) d´ efinie par s λ (D) = λ| D est une section holomorphe et on a l’isomorphisme
V ∗ ' H 0 ( P V, O(1)).
Montrer que K ' O(−2).
– Montrer que H 0 (X, K) s’identifie ` a l’espace des formes diff´ erentielles holomorphes.
D´ efinition 8. Fibr´ e associ´ e ` a un point x ∈ X.
On choisit un ouvert de carte U contenant x et une coordonn´ ee locale z dans cet ouvert. Le recouvrement U 0 = U, U 1 = X \ {x} et le cocycle g 0,1 : U \ {x} → C ∗ d´ efini par g 01 (z) = z d´ efinit un fibr´ e qui - ` a isomorphisme pr` es - ne d´ epend que de x. On le note L x . La donn´ ee de s 0 (z) = z et s 1 = 1 d´ efinit une section holomorphe s x de L x .
Etant donn´ e deux fibr´ es L 1 , L 2 sur X on d´ efinit les fibr´ es L ∗ 1 , L 1 ⊗ L 2 . Etant donn´ e une application holomorphe f : X → Y et un fibr´ e L sur Y , on d´ efinit le fibr´ e
f ∗ L = {(x, l)/x ∈ X, l ∈ π −1 (f (x))}
Remarque 1. – Si s 1 , s 2 ∈ H 0 (X, L) sont deux sections holomorphes non nulles, le quotient s s
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