Universit´e de Caen Basse-Normandie Ann´ee 2015-2016 Mercredi 18-05-2016 Christophe Chesneau Examen final
ULM6GT Probabilit´es et Statistique Dur´ee : 3h00 (de 09h00 `a 12h00)
Seuls les stylos sont autoris´es
Chaque candidat doit porter son nom dans le coin de la copie qu’il cachera par collage apr`es la signature de la feuille d’´emargement. Il devra porter son num´ero de place sur chacune de ses copies ou intercalaires.
Exercice 1. (4 pts). Soit X une var dont la loi est donn´ee par P(X =k) =Ce−k2, k ∈Z, o`u C=
∞ P
k=−∞
e−k2 −1
.
1- CalculerP(X(X+ 1)<6) et P(|X| ≥2).
2- Soitm ∈N. Calculer E(e2mX).
Exercice 2. (4 pts). Soit X une var suivant la loi normaleN(0,1), i.e. de densit´e : f(x) = 1
√2πe−x
2
2 , x∈R.
On pose
Y =X(X+ 2).
1- Montrer que Y(Ω) = [−1,∞[.
2- D´eterminer la fonction de r´epartition deY en fonction de celle deX. En d´eduire une densit´e de Y.
3- CalculerE(Y).
Exercice 3. (4 pts). Soit (X, Y) un couple de var de densit´e : f(x, y) =
(4x si x∈[0,1] et x2 ≤y≤1, 0 sinon.
1- Est-ce que X etY sont ind´ependantes ? 2- CalculerP(X ≤Y).
3- D´eterminer une densit´e de X, puis une densit´e de Y. 4- CalculerE(X), E(Y) et E(XY). En d´eduire C(X, Y).
Exercice 4. (4 pts). Soient X et Y deux var iid suivant chacune la loi exponentielle E(1), i.e.
de densit´e :
fX(x) =
(e−x si x≥0, 0 sinon.
On pose
W =X−Y.
1- D´eterminer la fonction de r´epartition de −Y, puis une densit´e de −Y. 2- Montrer que W poss`ede la densit´e :
fW(x) = 1
2e−|x|, x∈R. 3- D´eterminer une densit´e de |W|.
Exercice 5. (4 pts). Soient (Xn)n∈N∗ et (Yn)n∈N∗ deux suites devar telles que
◦ (Xn−Yn)n∈N∗ est une suite de var iid admettant un moment d’ordre 2,
◦ E(X1) = 0, E(Y1) = 0, V(X1) = 1, V(Y1) = 1 et E(X1Y1) = 12. Pour tout n∈N∗, on pose
Un= 1 n
n2
X
i=1
(Xi −Yi).
Etudier la convergence en loi de (U´ n)n∈N∗.
