Universit´e Paris 7-Denis Diderot Alg`ebre
Maˆıtrise de math´ematiques et informatique Ann´ee 2003-04
L. Merel - P. Perrin
EXAMEN du 29 janvier 2004 Dur´ee : 3 h
L’usage des calculatrices, t´el´ephones et de tout document est interdit.
Soitkun corps. On consid`ere le corpsk(X) form´e par les fractions rationnelles enX. PourF =U/V ∈ k(X), o`u U et V sont des polynˆomes non nuls et premiers entre eux de k[X], on appelle degr´e de F le maximum des degr´es deU et V.
I
1. L’extension k(X)|k est-elle alg´ebrique ? Est-elle finie ? Montrer que les automorphismes de corps de k(X) au dessus dekforment un groupe, qu’on notera G.
2. SoitY ∈k(X). Montrer que l’applicationσY : k(X)→k(X) qui `aFassocieF(Y) est un homomorphisme d’anneaux, dont l’image not´ee k(Y) est un sous-corps dek(X) qui contientk.
3. Supposons que Y = U/V /∈ k, de degr´e d, avec U, V ∈ k[X] polynˆomes premiers entre eux. Posons S=U(T)−V(T)Y)∈k(Y)[T] (c’est un polynˆome enT `a coefficients dans le corpsk(Y)). Quel est le degr´e deS(comme polynˆome enT) ? Montrer queX est un z´ero deS. En d´eduire que l’extension k(X)|k(Y) est finie de degr´e≤d.
4. Supposons que le degr´e deY soit>1. Montrer queX /∈k(Y). (Sugg´erons la m´ethode suivante : montrer que K(Y) = K(1/Y), ce qui permet de poserY =U/V avec degr´e de U sup´erieur ou ´egal au degr´e de V, poserX =F(U/V)avecF ∈k(X), et consid´erer les z´eros du polynˆomeX−F(0)dans une clˆoture alg´ebrique
¯k dek.) En d´eduire que l’extensionk(X)|k(Y) est de degr´e>1.
5. Supposons quek =R et posons Y = X2+ 1. Quel est le degr´e de l’extension k(X)|k(Y) ? Est-elle galoisienne ? L’extensionk(X)|k(Y) est-elle galoisienne lorsquek=Ret Y =X3+ 1 ?
6. Montrer queσY est un automorphisme dek(X) si et seulement si le degr´e deY vaut 1. Montrer qu’alors σY est au-dessusk.
7. Montrer qu’on a un homomorphisme surjectif de groupes φ : GL2(k) 7→ G qui `a la matrice
a c
b d
associe l’automorphismeσ(aX+b)/(cX+d). Quel est le noyau de cet homomorphisme ? 8. Montrer queG0={σX+b/b∈k}est un sous-groupe deG.
II
On reprend les notations de Ien supposant que kest un corps fini, dont on noteraqle nombre d’´el´ements etpla caract´eristique. Posonsq=pn et k=Fq.
1. Rappeler quel est l’ordre du groupeGL2(k). En d´eduire l’ordre deG.
2. Quel est l’ordre desp-sous-groupes de Sylow deG? Donner explicitement un tel sous-groupe.
3. Quel est le groupe de GaloisH de l’extensionFq|Fp ?
4. SoitG0le groupe des automorphismes dek(X) au dessus deFp. D´emontrer que la restriction `aFqd´efinit un homomorphisme de groupesG0→H de noyauG.
5. Quelles sont les relations d’inclusion entrek(X),k(X)G0 et k(X)G ?
6. D´emontrer que pour tout F∈k(X), on aF(X)q =F(Xq) et queXq−X∈k(X)G0. 7. PosonsY1= (Xq2−X)q+1/(Xq−X)q2+1∈k(X). D´emontrer queY1∈k(X)G.
