Énoncé Ce problème présente quelques résultats autour d'équations du troisième degré. I. Méthode de Cardan 1. Question de cours. Rappeler la dé nition du nombre complexe

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MPSI B 29 juin 2019

Énoncé

Ce problème présente quelques résultats autour d'équations du troisième degré.

I. Méthode de Cardan

1. Question de cours. Rappeler la dénition du nombre complexe j, l'expression de U3

avecj ainsi que le résultat de cours sur l'ensemble des racines cubiques d'un nombre complexe non nul.

Par exemple, si p est un nombre complexe non nul, quel est l'ensemble des racines cubiques de−^p₂₇³ ?

Aucune démonstration n'est demandée dans cette question. Les valeurs de Re(j) et Im(j)ne servent à rien dans ce problème.

2. On se donne deux nombres complexesU,V non nuls et on noteP =U V,S=U+V. Soitu0 une racine cubique deU,v0 une racine cubique deV etp0=u0v0.

a. Former tous les couples(u, v)vériant les trois conditions :

uest une racine cubique deU, v est une racine cubique deV, uv=p₀. On noteC l'ensemble de ces couples.

b. Montrer que, pour(u, v)∈ C,

(u+v)³−3p0(u+v)−S= 0

3. Soitpet qdansCavecpnon nul. On considère l'équation d'inconnuez : z²+qz−p³

27 = 0

Justier qu'il existe des solutionsU,V non nulles de cette équation et des complexes u₀, v₀ tels que u³₀ =U, v₀³ =V et u₀v₀ = −^p₃. On reprend alors les notations de la question précédente.

Exprimer en fonction depetqla relation de la question 2.b. vériée par les(u, v)∈ C. 4. Soitpet qdansCavecpnon nul. On considère les équations d'inconnuez:

(1) z³+pz+q= 0

(2) z²+qz−p³

27 = 0

a. Expliquer comment on peut former des solutions de l'équation (1) à partir de solutions de l'équation(2).

b. Que se passe-t-il pour les solutions que l'on forme par cette méthode dans le cas particulier où4p³+ 27q²= 0?

5. Exemple. On considère l'équation

(1) z³−3z+ 1 = 0

a. Former l'équation(2)associée et donner ses solutions.

b. Préciser l'ensembleC déni comme en question 2.

c. Donner trois solutions de(1).

II. Tableau de variations

On suppose ici quepetqsont des nombres réels avecpnon nul. On considère l'équation d'inconnuez

(1) z³+pz+q= 0 et on dénit la fonctionf dansRpar :

∀x∈R, f(x) =x³+px+q

1. En distinguant deux cas, former les tableaux de variations possibles pourf. 2. Montrer que l'équation(1)admet toujours une solution réelle.

3. Montrer que l'équation (1) admet trois solutions réelles distinctes si et seulement si 4p³+ 27q²<0.

Cette création est mise à disposition selon le Contrat

Paternité-Partage des Conditions Initiales à l'Identique 2.0 France disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/

1 Rémy Nicolai Acompcard

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Corrigé

I. Méthode de Cardan

1. Question de cours. Par dénition j est l'unique racine cubique de 1 dont la partie imaginaire est strictement positive. Il vérie1 +j+j²= 0et

U³=

1, j, j² .

Tout nombre complexe non nul admet 3 racines cubiques. Siwest l'une d'entre elles, les autres sontjwetj²w. Par exemple, l'ensemble des racines cubique de−^p₂₇³ est

n−p 3,−j p

3,−j²p 3 o

.

2. a. Les racines cubiques deU sontu₀,ju₀,j²u₀, celles de deV sontv₀,jv₀,j²v₀. On peut donc former9 couples de racines cubiques de U et V mais seulement trois de ces couples vérient la condition supplémentaire sur le produit.

C=

(u₀, v₀),(ju₀, j²v₀),(j²u₀, jv₀) b. Soit(u, v)∈ C, d'après la formule du binôme

(u+v)³=u³+ 3u²v+ 3uv²+v³=U+ 3uv(u+v) +V =S+ 3p₀(u+v)

⇒(u+v)³−3p0(u+v)−S= 0 3. Toute équation du second degré dansCadmet des solutions. NotonsUetV les solutions

de l'équation proposée. On a alors U+V =−q et U V =−^p₂₇³. Ceci entraîne que les complexesU et V sont non nuls. Ils admettent chacun trois racines cubiques. Soitu0

etv1des racines cubiques deU etV. Alorsu0v1 est une racine cubique deU V donc u0v1∈n

−p 3,−jp

3,−j²p 3 o

On choisit alors v₀ égal à v₁ ou à j²v₁ ou à jv₁ pour réaliser u₀v₀ = −^p₃ = p₀. La relation de la question précédente s'écrit alors

(u+v)³+p(u+v) +q= 0

4. a. D'après les questions précédentes, on peut procéder de la manière suivante (mé- thode de Cardan).

Calculer les solutions de l'équation(2).

Choisir deux racines cubiquesuetv de ces solutions telles queuv=−^p₃. Les nombresu+v,ju+j²v,j²u+jvsont des solutions de l'équation(1). b. Lorsque 4p³+ 27q² est nul, le discriminant de l'équation (2) est nul aussi. Elle

admet donc une seule solutionU. Les calculs précédents restent valables mais les solutions obtenues ne sont pas distinctes, elle deviennent :2u,−u,−u.

5. a. Dans le cas particulier considéré,p=−3,q= 1, on forme l'équation(2)

(2) z²+z+ 1 = 0

b. Les solutions de (2) sont j =e^2iπ³ et j² = j =e⁻^2iπ³ . Les racines cubiques des solutions dont le produit vaut −^p₃ = 1 sont inverses l'une de l'autre c'est à dire conjuguées. On obtient

C=n

e^2iπ⁹ , e⁻^2iπ⁹ ,

e^8iπ⁹ , e⁻^8iπ⁹ ,

e⁻^4iπ⁹ , e^4iπ⁹ o en utilisant

2π 9 +2π

3 =8π 9 et 2π

9 −2π

3 =−4π 9 c. La méthode donne alors trois solutions pour l'équation(1) :

2 cos2π

9 , 2 cos8π

9 , 2 cos4π 9

II. Tableau de variations

1. La dérivée def estf⁰(x) = 3x²+p. On obtient deux tableaux de variations distincts suivant le signe dep.

Sip >0. Dans ce casf⁰(x)>0pour tous lesxet la fonction est strictement croissante de−∞vers+∞.

Sip <0. On peut former le tableau suivant

−∞ −p

−^p₃ −p

−^p₃ +∞

f −∞ % v₋ & v+ % +∞

2. L'équation admet toujours au moins une solution réelle à cause des limites en −∞

et+∞et du théorème des valeurs intermédiaires. Les tableaux ne sont pas utiles ici, toute argumentation les invoquant est une erreur.

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3. Calculonsv− et v+ : v−=f(−

r

−p 3) =p

3 r

−p 3 −p

r

−p

3 +q=−2p 3

r

−p 3+q de même :

v₊=f( r

−p 3) =−p

3 r

−p 3+p

r

−p

3 +q= 2p 3

r

−p 3+q On en déduit quev−v=1

3(4p³+ 27q²).

Si 4p³+ 27q² < 0. Alors p < 0 donc on est dans le cas du deuxième tableau de variations. On applique trois fois le théorème des valeurs intermédiaires. On obtient trois solutions distinctesx1,x2,x3 telles que

x₁<− r

−p

3 < x₂<

r

−p 3 < x₃ Si4p³+ 27q²>0. Deux cas sont possibles.

a. Si p > 0 alors le premier tableau de variations montre qu'il existe une seule solution réelle.

b. Si p < 0 alors on est dans le cas du deuxième tableau avec v₋ et v₊ de même signe. Dans ce cas aussi, une seule solution : soit avant−p

−^p₃ soit après −pp 3.