MPSI B Année 2018-2019. DS 1 le 21/09/18 29 juin 2019

MPSI B Année 2018-2019. DS 1 le 21/09/18 29 juin 2019

Exercice 1

Soit n un entier naturel supérieur ou égal à 2 et quatre n -uplets de nombres complexes a = (a

1

, · · · , a

n

), b = (b

1

, · · · , b

n

), x = (x

1

, · · · , x

n

), y = (y

1

, · · · , y

n

).

À partir de ces n -uplets, on dénit quatre sommes A

X

, A

Y

, B

X

, B

Y

par A

_X

= X

i∈J1,nK

a

_i

x

_i

A

_Y

= X

i∈J1,nK

a

_i

y

_i

B

X

= X

i∈J1,nK

b

i

x

i

B

Y

= X

i∈J1,nK

b

i

y

i

On introduit aussi

T = A

X

B

Y

− A

Y

B

X

. 1. Les égalités suivantes sont-elles vraies ?

A

Y

= X

j∈J1,nK

a

j

y

j

, B

Y

= X

j∈J1,nK

b

j

y

j

.

2. Quand on développe T , on obtient une somme de la forme

T = X

(i,j)∈J1,nK²

t

i,j

x

i

y

j

Pour (i, j) ∈ J 1, n K

2

, préciser l'expression de t

i,j

. 3. Montrer l'identité de Binet-Cauchy



 X

i∈J1,nK

a

i

x

i







 X

i∈J1,nK

b

i

y

i



 −



 X

i∈J1,nK

a

i

y

i







 X

i∈J1,nK

b

i

x

i





= X

(i,j)∈J1,nK

2

i<j

(a

i

b

j

− a

j

b

i

)(x

i

y

j

− x

j

y

i

). (1)

4. En utilisant x = b et y = a dans l'identité de Binet, montrer l'inégalité de Cauchy- Schwarz

∀(a

1

, · · · , a

n

) ∈ R

ⁿ

, ∀(b

1

, · · · , b

n

) ∈ R

ⁿ

|a

1

b

₁

+ · · · + a

_n

b

_n

| ≤ q

a

²₁

+ · · · + a

²_n

q

b

²₁

+ · · · + b

²_n

. (2)

5. En utilisant l'identité de Binet-Cauchy, montrer les relations

∀(a

₁

, · · · , a

_n

) ∈ C

ⁿ

, ∀(b

₁

, · · · , b

_n

) ∈ C

ⁿ

X

i∈J1,nK

a

_i

b

_i

2

+ X

(i,j)∈J1,nK

2

i<j

|a

_i

b

_j

− a

_j

b

_i

|

²

=



 X

i∈J1,nK

|a

_i

|

²







 X

i∈J1,nK

|b

_i

|

²



 (3)

∀(a

1

, · · · , a

n

) ∈ C

ⁿ

, ∀(x

1

, · · · , x

n

) ∈ C

ⁿ

X

i∈J1,nK

a

i

x

i

2

=

X

i∈J1,nK

a

i

x

i

2

+ 4 X

(i,j)∈J1,nK

2

i<j

Im(a

i

a

j

) Im(x

i

x

j

) (4)

Exercice 2

O

A

^′

A

Z

Fig. 1: Points A , A

⁰

, Z

Soit a un nombre réel strictement positif. Dans un plan muni d'un répère orthonormé d'origine notée O , on considère les points A (d'axe a ) et A

⁰

(d'axe −a ).

Pour tout nombre complexe z 6= a , on pose

m = z z − a z − a

et à tout point Z d'axe z , on associe le point M d'axe m .

Cette création est mise à disposition selon le Contrat

Paternité-Partage des Conditions Initiales à l'Identique 2.0 France disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/

1

Rémy Nicolai S1801E

MPSI B Année 2018-2019. DS 1 le 21/09/18 29 juin 2019

1. Montrer que Z et M sont sur un même cercle de centre O .

2. Soit α un argument de z − a et θ un argument de z . Préciser un argument µ de m en fonction de θ et α puis en déduire que la droite (AZ) est parallèle à la bissectrice de ( −→

OZ, −−→

OM ) . 3. Montrer que

∀z 6∈ R : m − z

z − a = i 2a Im z

|z − a|

²

, m + a

m − z = i a

²

− |z|

²

2a Im z Que peut-on en déduire pour les droites (ZM) , (AZ) et (A

⁰

M ) ?

Expliquer comment on peut construire géométriquement M à partir de la donnée de A et Z .

Problème

Ce problème présente quelques résultats autour d'équations du troisième degré.

I. Méthode de Cardan

1. Question de cours. Rappeler la dénition du nombre complexe j , l'expression de U

3

avec j ainsi que le résultat de cours sur l'ensemble des racines cubiques d'un nombre complexe non nul.

Par exemple, si p est un nombre complexe non nul, quel est l'ensemble des racines cubiques de −

^p₂₇³

?

Aucune démonstration n'est demandée dans cette question. Les valeurs de Re(j) et Im(j) ne servent à rien dans ce problème.

2. On se donne deux nombres complexes U , V non nuls et on note P = U V , S = U + V . Soit u

₀

une racine cubique de U , v

₀

une racine cubique de V et p

₀

= u

₀

v

₀

.

a. Former tous les couples (u, v) vériant les trois conditions :

u est une racine cubique de U, v est une racine cubique de V, uv = p

0

. On note C l'ensemble de ces couples.

b. Montrer que, pour (u, v) ∈ C ,

(u + v)

³

− 3p

0

(u + v) − S = 0

3. Soit p et q dans C avec p non nul. On considère l'équation d'inconnue z : z

²

+ qz − p

³

27 = 0

Justier qu'il existe des solutions U , V non nulles de cette équation et des complexes u

0

, v

0

tels que u

³₀

= U , v

₀³

= V et u

0

v

0

= −

^p₃

. On reprend alors les notations de la question précédente.

Exprimer en fonction de p et q la relation de la question 2.b. vériée par les (u, v) ∈ C . 4. Soit p et q dans C avec p non nul. On considère les équations d'inconnue z :

(1) z

³

+ pz + q = 0

(2) z

²

+ qz − p

³

27 = 0

a. Expliquer comment on peut former des solutions de l'équation (1) à partir de solutions de l'équation (2) .

b. Que se passe-t-il pour les solutions que l'on forme par cette méthode dans le cas particulier où 4p

³

+ 27q

²

= 0 ?

5. Exemple. On considère l'équation

(1) z

³

− 3z + 1 = 0

a. Former l'équation (2) associée et donner ses solutions.

b. Préciser l'ensemble C déni comme en question 2.

c. Donner trois solutions de (1) .

II. Tableau de variations

On suppose ici que p et q sont des nombres réels avec p non nul. On considère l'équation d'inconnue z

(1) z

³

+ pz + q = 0 et on dénit la fonction f dans R par :

∀x ∈ R , f (x) = x

³

+ px + q

1. En distinguant deux cas, former les tableaux de variations possibles pour f . 2. Montrer que l'équation (1) admet toujours une solution réelle.

3. Montrer que l'équation (1) admet trois solutions réelles distinctes si et seulement si 4p

³

+ 27q

²

< 0 .

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Rémy Nicolai S1801E