puisque D 6= C, δ est un r´eel positif

Texte intégral

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Universit´e Lille I 2010-2011

M2R - S4 etriques invariantes

Corrig´e du probl`eme de l’examen

Probl`eme.

Partie I

1. (a) Soit z0 ∈ D, et δ := dist(z0, ∂D) : puisque D 6= C, δ est un r´eel positif. Alors g : z 7→ z0 +δz est une fonction holomorphe de ∆ dans D, v´erifiant g(0) = z0 et g0(0) =δ.

Donc Sup{|f0(0)|/ f ∈Hol(∆, D), f(0) =z0} ≥δ, et par d´efinition de la m´etrique de Kobayashi : ρKD(z0)≤ 1

δ.

(b) On sait que, puisque Dest born´e `a bordC2 :

∃c >0/∀z∈D, c

dist(z, ∂D) ≤ρCD(z).

Or on a toujoursρCD(z)≤ρKD(z), d’o`u la conclusion.

2. Par hypoth`ese, f : D1 → D2 est biholomorphe, c’est donc une isom´etrie infinit´esimale pour la m´etrique de Kobayashi :

∀z∈D1, ρKD2(f(z))|f0(z)|=ρKD1(z).

L’in´egalit´e du 1.a) pour D1 appliqu´ee au point z et l’in´egalit´e du 1.b) pourD2 appliqu´ee au pointf(z) donnent donc une constantec2 >0 telle que

c2

dist(f(z), ∂D2)|f0(z)| ≤ρKD2(f(z))|f0(z)|=ρKD1(z)≤ 1 dist(z, ∂D1) pour toutz∈D1. Ainsic0 = 1/c2 convient.

Partie II

1. (a) Par d´efinition : ∂z = 12

∂x−i∂y

et ∂¯z = 12

∂x+i∂y . Ainsi ∂x = ∂z +∂¯z et ∂y =i ∂z∂¯z

. En utilisant l’identit´e ∂z∂¯2z = ∂¯z∂z2 , on obtient

2

∂x2 = ∂z +∂¯z

∂z +∂¯z

= ∂z22 + 2∂¯z∂z2 +z¯22

2

∂y2 = (i)2 ∂z∂¯z

∂zz¯

=−∂z22 + 2∂¯z∂z2∂¯z22 et donc ∂x22 +∂y22 = 4∂¯z∂z2 .

1

(2)

(b) Soitfholomorphe `a valeurs dansU, autrement dit ∂fz¯ = 0 (et donc∂zf¯ = 0). Alorsu◦f est de classeC2et ∂(u◦f)∂z (z0) = ∂u∂z(f(z0))∂f∂z(z0)+∂u∂¯z(f(z0))∂zf¯(z0) = ∂u∂z(f(z0))∂f∂z(z0), et puisque f0 est holomorphe :

∆(u◦f)z0 = 4 ∂

∂¯z ∂u

∂z ◦f

×f0

(z0)

= 4 ∂

∂¯z ∂u

∂z ◦f

(z0)×f0(z0) + 4 ∂u

∂z ◦f

(z0)×∂f0

∂z¯(z0)

= 4 ∂

∂¯z ∂u

∂z ◦f

(z0)×f0(z0)

= 4 ∂

∂z ∂u

∂z

(f(z0))∂f

∂¯z(z0) + ∂

∂z¯ ∂u

∂z

(f(z0))∂f¯

∂¯z(z0)

×f0(z0)

= 4 ∂2u

∂¯z∂z(f(z0))×∂f¯

∂¯z(z0)f0(z0).

Puisque ∂¯fz¯ = ∂f∂z =f0, il vient :

∆(u◦f)z0 = ∆uf(z0)× |f0(z0)|2 donc si ∆u est positif, ∆(u◦f) est aussi positif.

2. (a) Calculons : ∂u∂x = ∂Φ∂x + 2kΦ∂Φ∂x et ∂x2u2 = ∂x2Φ2 + 2k ∂Φ∂x2

+ 2kΦ∂x2Φ2 et de mˆeme pour les d´eriv´ees par rapport `ay. Ainsi, en toutz∈U,





duz = ∂u∂x(z)dx+∂u∂y(z)dy= (1 +kΦ(z))

∂Φ

∂x(z)dx+ ∂Φ∂y(z)dy

= (1 + 2kΦ(z))dΦz

∆uz = ∂x2u2(z) +∂y2u2(z) = (1 + 2kΦ(z))∆Φz+ 2k

∂Φ

∂x(z)2

+

∂Φ

∂y(z)2 Remarquons que ∂Φ∂x(z)2

+ ∂Φ

∂y(z) 2

=kdΦzk2 o`u la norme de l’application lin´eaire dΦz est la norme euclidienne dans la base (dx, dy). Donc

∆uz = (1 + 2kΦ(z))∆Φz+ 2kkdΦzk2. En un pointp tel que Φ(p) = 0 :

u(p) = 0, dup=dΦp et ∆up= ∆Φp+ 2kkdΦpk2.

(b) La fonction Φ v´erifie par hypoth`ese les trois premi`eres conditions. Par contre, on n’a a priori aucune information sur ∆Φ. L’id´ee est donc de perturber Φ `a l’ordre 2. Or si u= Φ +kΦ2, pour tout p∈∂D1, on a Φ(p) = 0 et dΦp 6= 0, donc u(p) = 0, dup 6= 0 et

∆up = ∆Φp+ 2kkdΦpk2>0⇔k >− ∆Φp

2kdΦpk2. La fonction p 7→ −2kdΦ∆Φp

pk2 est bien d´efinie et continue sur le compact ∂D1 : en particulier elle est major´ee. Soit doncM son maximum, choisissons k > M.

Alors pour tout p ∈ ∂D1, on a : ∆up > 0, dup 6= 0, et 1 +kΦ(p) = 1. Puisque les fonctions ∆u,duet 1 +kΦ sont continues surC, on en d´eduit qu’il existe un voisinage U1 de ∂D1 dansCtel que pour tout z∈U1, ∆uz >0,duz 6= 0, et 1 +kΦ(p)>0. En

2

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particulier, u(z) = Φ(z)(1 +kΦ(z)) a le mˆeme signe que Φ(z), c’est-`a-dire u(z) <0 siz∈U∩D1,u(z) = 0 siz∈∂D1 etu(z)>0 siz∈U∩ cD1.

Quitte `a restreindre U en U1, on peut supposer que c’est un voisinage tubulaire de

∂D1.

(c) Soit z ∈U1∩D1 : puisque U1 est un voisinage tubulaire de ∂D1, le projet´e p(z) de z sur ∂D1 est bien d´efini, et et le segment entre z et p(z) est inclus dans U1∩D1. Puisque u(p(z)) = 0, l’in´egalit´e des accroissements finis donne

|u(z)|=|u(z)−u(p(z))| ≤ Max

w∈[z;p(z)]kduwk × |z−p(z)| ≤ Max

w∈D1

kduwk × |z−p(z)|.

On peut donc poserM1 = Max

w∈D1

kduwk(qui est fini puisque duest continue etD1 est compact, et strictement positif puisqueun’est pas identiquement nulle surU1∩D1).

Partie III

1. Par hypoth`ese f−1 :D2 → D1 est bien d´efinie, etu est d´efinie sur C, donc v := u◦f−1 est bien d´efinie surD2.

Puisque u est sous-harmonique et strictement n´egative sur U1∩D1, il suffit de montrer qu’il existe un voisinage U2 de ∂D2 tel que f−1(U2∩D2) =U1∩D1. En effet, pour tout w∈U2∩D2, on aura alorsf−1(w)∈U1∩D1 et doncv(w) =u(f−1(w))<0 ; d’autre part, vu la question II.1.b), ∆vw = ∆uf−1(w)× |(f−1)0(w)|2 >0 puisque f−1 est biholomorphe (en particulier, sa d´eriv´ee ne s’annule pas).

Soit V1 :=U1∩D1 etK1=D1\V1 : alorsK1 est un compact de D1, et K2:=f(K1) est un compact de D2 puisque f :D1 → D2 est continue. Donc on peut d´efinir U2 comme le compl´ementaire de K2 dansC, c’est bien un voisinage de∂D2 et par construction

f−1(U2∩D2) =f−1(D2\K2) =f−1(D2)\f−1(K2) =D1\K1=V1 =U1∩D1

(on vient en fait de montrer qu’un hom´eomorphisme entre deux domaines born´es “envoie le bord sur le bord”).

2. Soit z∈U1∩D1, etw:=f(z)∈U2∩D2 d’apr`es la question pr´ec´edente. Alors v(w)≤ −M2dist(w, ∂D2)

et d’apr`es II.2.c),

v(w) =v(f(z)) =u(z) =−|u(z)| ≥ −M1dist(z, ∂D1)

car p(z) est le projet´e de z sur le bord et donc dist(z, ∂D1) = |z−p(z)|. Finalement

−M1dist(z, ∂D1)≤ −M2dist(f(z), ∂D2), d’o`u l’in´egalit´e voulue.

Vu I.2. et III.2., on a montr´e que ∀z ∈ U1 ∩D1, |f0(z)| ≤ c0MM1

2, autrement dit |f0| est uniform´ement born´ee pr`es du bord. De plus |f0| est continue, K1 = D1\(U1 ∩D1) est compact donc c00 := Max

z∈K1|f0(z)| est bien d´efini. On vient donc de montrer que |f0| est born´ee parC := Max(c00, c0M1/M2) surD1.

3. L’id´ee est d’utiliser le crit`ere s´equentiel de continuit´e : f a une limite en p ∈ ∂D1 si et seulement si pour toute suite (zn)n dans D1 qui converge (au sens euclidien) vers p, (f(zn))n converge. Soit donc p∈∂D1 et (zn) une suite dansD1 qui converge versp. Pour

3

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montrer que (f(zn)) converge (avec une limite dans D2), il faut montrer qu’elle est de Cauchy. Or (zn) converge donc est de Cauchy : ainsi il s’agit de transmettre le crit`ere de Cauchy de (zn) `a (f(zn)).

SiD1´etait convexe, on aurait pour tousz, z0 ∈D1, [z;z0]⊂D1 et l’in´egalit´e des accroisse- ments finis montrerait quef estC-lipischitzienne surD1 et donc que le crit`ere de Cauchy se transmet. Mais dans le cas g´en´eral, le segment [z;z0] n’est pas n´ecessairement inclus dansD1. Pour se ramener `a ce cas, on se restreint `a un voisinage convexe depdansD1, en utilisant que, localement,D1 “ressemble” au demi-plan H. Pour obtenir le r´esultat voulu, il faudra quand mˆeme s’assurer que l’application transformant localement D1 en H est lipschtzienne, de r´eciproque lipschitzienne.

Puisque D1 est `a bord C2 etp ∈ ∂D1, il existe un voisinage ouvert V de p dans C et un C2-diff´eomorphisme ϕ:V → R2 tels que ϕ(p) = 0,ϕ(∂D1∩V) = R× {0} etϕ(D1∩V) est le demi-plan inf´erieur H. Soit r0 > 0 tel que ∆(p, r0) ⊂ V, et posons V0 = ∆(p, r0).

En particulier,V0 est convexe et commedϕ est continue surV, elle est born´ee (en norme d’op´erateur) sur le compactV0par une constanteC+: d’apr`es l’in´egalit´e des accroissements finis,ϕestC+-lipschitzienne surV0. De plus, puisqueϕest un hom´eomorphisme,ϕ(V0) est un voisinage ouvert de 0 dansR2 donc il existe r >0 tel que ∆r⊂ϕ(V0). En particulier,

r∩Hest convexe, etd(ϕ−1) est born´ee par une constanteC sur le compact ∆r. Alors pour tousz, z0 ∈ϕ−1(∆r)∩D1, en posantw=ϕ(z) etw0 =ϕ(z0), on aw, w0 ∈∆r∩H, donc [w;w0]⊂∆r∩H et d’apr`es l’in´egalit´e des accroissements finis,

|f(z)−f(z0)|=|f ◦ϕ−1(w)−f ◦ϕ−1(w0)| ≤ Max

α∈[w;w0]kd(f◦ϕ−1)αk × |w−w0|.

Or kd(f ◦ ϕ−1)αk ≤ kdfϕ−1(α)k · kd(ϕ−1)αk ≤ CC puisque df est born´ee par C sur D1−1(α) et qued(ϕ−1) est born´ee parC sur ∆r⊃[w;w0]3α. Donc

∀z, z0 ∈ϕ−1(∆r)∩D1, |f(z)−f(z0)| ≤CC|ϕ(z)−ϕ(z0)| ≤CC×C+|z−z0| carϕest C+-lipschitzienne sur V0 etz, z0 ∈ϕ−1(∆r)⊂V0.

Finalement, commeϕ−1(∆r)∩D1 est un voisinage ouvert de pdansD1, on a montr´e que si p∈∂D1, f est lipschitzienne sur un voisinage de p dans D1. Puisque (zn) est de Cauchy, (f(zn)) est de Cauchy donc converge dans D2. C’est vrai pour toute suite (zn) dansD1 convergeant verspdonc, d’apr`es le crit`ere s´equentiel,f a une limite enp. Posons

f˜(z) = f(z) si z∈D1

limw→z, w∈D1f(w) siz∈∂D1

Par construction, ˜f : D1 → D2 co¨ıncide avec f sur D1. Il reste `a montrer qu’elle est continue en tout point p∈∂D1. Or on a vu qu’il existe une constanteCp et un voisinage Vp de p dansCtels que

∀z, z0 ∈Vp∩D1, |f(z)−f(z0)| ≤Cp|z−z0|.

Alors, par continuit´e, on obtient la mˆeme in´egalit´e pour ˜f sur Vp ∩D1 en passant `a la limite vu la construction de ˜f. Ainsi ˜f est lipschitzienne,a fortiori continue, en p.

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Figure

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Références

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