Brunot-Le Magoariec André
Point mobile sans frottement sur une sphère
Un point M de masse m est placé à l’instant initial sur le sommet A d’une sphère sur laquelle il glisse sans frottement ; On lui communique une vitesse horizontale v0. Soit O le centre de la sphère et R son rayon, déterminer la réaction N de la sphère sur M en fonction de l’angle
θ
. Quelle est la valeur maximaleθ
m deθ
? Quel est le mouvement ultérieur ?Réponse
Le point M est soumis à son poids et à la réaction de la surface. Ecrivons le principe fondamental de la dynamique dans un référentiel galiléen lié à la sphère, mais en utilisant un repère mobile :
(Distinction entre référentiel et repère)
( cos ) sin
mγ = N −mg
θ
u+mgθ
u′Pour exprimer γ on peut soit utiliser l’expression générale
2
d
d
v v
R t
= +
γ N T
Qui s’écrit ici
R
θ
2 Rθ
′= − +
γ
&
u&&
uSoit utiliser l’expression de l’accélération en coordonnées polaires qui donne directement la relation ci-dessous ; finalement, en identifiant sur u et u’ :
cos
2sin
N = m g θ − R θ & g θ = R θ &&
O mg
u A
M u’
Fig. 1
Pour obtenir N en fonction de
θ
, il faut connaîtreθ &
; deux méthodes sont possibles : ou bien multiplier la seconde relation parθ &
et l’intégrer, ou, ce qui est absolument équivalent, écrire le théorème de l’énergie cinétique :( )
0
(à déterminé)
sin en intégrant :
tsin d 1 cos
g R g
θg
θθ & = θθ &&& ∫
θθθ θ & = − θ
( )
0 0
(à déterminé)
2 2 2
0
et d 1
2 2
t R
R θ θ R R
θ
θθ θ
= θ
θ =θ
−θ
∫ &&& & & &
(
2 02) ( ) 2 ( )
02
on obtient : 1 1 cos 2 1 cos
2
R R g R g v
θ & − θ & = − θ ⇒ θ & = − θ + R
( )
2 2 2
1/ 2 mR θ & = mgR 1 cos − θ + 1/ 2 mv
0D’où
[ 3cos 2 ]
02/
N = mg θ − − mv R
La liaison étant unilatérale, N ≥
0
, soit :2
cos θ
≥cos θ
m =2 / 3
+v0/ 3
RgPour
θ
≥θ
m le point quitte la sphère et suit un mouvement de chute libre. Le problème change de nature, et il faut recommencer la mise en équation ; la trajectoire est parabolique.Remarquons que la condition
cos θ
m ≤1
entraîne0
.
v < Rg
Si cette condition n’est pas remplie, le point quitte la sphère dès le sommet A ; on interprète facilement cette condition en faisant appel à la force centrifuge.