Point mobile sans frottement sur une sphère Un point

Brunot-Le Magoariec André

Point mobile sans frottement sur une sphère

Un point M de masse m est placé à l’instant initial sur le sommet A d’une sphère sur laquelle il glisse sans frottement ; On lui communique une vitesse horizontale v₀. Soit O le centre de la sphère et R son rayon, déterminer la réaction N de la sphère sur M en fonction de l’angle

θ

. Quelle est la valeur maximale

θ

_m de

θ

? Quel est le mouvement ultérieur ?

Réponse

Le point M est soumis à son poids et à la réaction de la surface. Ecrivons le principe fondamental de la dynamique dans un référentiel galiléen lié à la sphère, mais en utilisant un repère mobile :

(Distinction entre référentiel et repère)

( cos ) sin

mγ = N −mg

θ

u+mg

θ

u′

Pour exprimer γ on peut soit utiliser l’expression générale

2

d

d

v v

R t

   

=   +  

 

 

γ N T

Qui s’écrit ici

R

θ

2 R

θ

′

= − +

γ

&

u

&&

u

Soit utiliser l’expression de l’accélération en coordonnées polaires qui donne directement la relation ci-dessous ; finalement, en identifiant sur u et u’ :

cos

2

sin

N = m g ^  θ − R θ & ^  g θ = R θ &&

O mg

u A

M u’

Fig. 1

Pour obtenir N en fonction de

θ

, il faut connaître

θ ^&

; deux méthodes sont possibles : ou bien multiplier la seconde relation par

θ ^&

et l’intégrer, ou, ce qui est absolument équivalent, écrire le théorème de l’énergie cinétique :

( )

0

(à déterminé)

sin en intégrant :

^t

sin d 1 cos

g R g

^θ

g

θθ ^& = θθ &&& ∫

θ

θθ θ & = − θ

( )

0 0

(à déterminé)

2 2 2

0

et d 1

2 2

t R

R ^{θ θ} R R

θ

θθ θ

= ^

θ

^θ =

θ

−

θ

∫ &&& & & &

(

^{2 02}

) ^{( )}

²

^{( )}

⁰²

on obtient : 1 1 cos 2 1 cos

2

R R g R g v

θ & − θ & = − θ ⇒ θ & = − θ + R

( )

2 2 2

1/ 2 mR θ & = mgR 1 cos − θ + 1/ 2 mv

0

D’où

[ 3cos 2 ]

0²

/

N = mg θ − − mv R

La liaison étant unilatérale, N ≥

0

, soit :

2

cos θ

≥

cos θ

_m =

2 / 3

+v0

/ 3

Rg

Pour

θ

≥

θ

_m le point quitte la sphère et suit un mouvement de chute libre. Le problème change de nature, et il faut recommencer la mise en équation ; la trajectoire est parabolique.

Remarquons que la condition

cos θ

_m ≤

1

entraîne

0

.

v < Rg

Si cette condition n’est pas remplie, le point quitte la sphère dès le sommet A ; on interprète facilement cette condition en faisant appel à la force centrifuge.