Deuxi` eme ´ epreuve de contrˆ ole continu de Maths II
8 d´ecembre 2007. Dur´ee : 1h30.
Veuillez inscrire lisiblement votre nom, votre pr´enom et le num´ero de votre groupe en tˆete de votre copie.
Tous les documents sont interdits.
Les calculatrices de poche sont autoris´ees, mais inutiles. Il s’agit d’une ´epreuve de math´ematiques : toutes les r´eponses devront donc ˆetre justifi´ees.
Exercice 1 (barˆeme : ? points)
1) ´Enum´erer et compter les couples (A, B) tels queA⊂B⊂E lorsque E=∅, lorsque E={1} et lorsqueE ={1,2}.
2) On suppose queE est un ensemble `an´el´ements.
(i) Soitk un entier tel que 0≤k ≤n. Combien y a-t-il de sous-ensemblesB ⊂E ayant k ´el´ements ?
(ii) SoitB un sous-ensemble deEayantk´el´ements. Combien y a-t-il de sous-ensembles A⊂B?
(iii) D´emontrer que le nombre des couples (A, B) tels queA⊂B ⊂E est donn´e par la
formule suivante : n
X
k=0
n k
2k.
3) (i) Rappeler la formule du binˆome de Newton donnant une expression de (a+b)n. (ii) En d´eduire l’´egalit´e :
n
X
k=0
n k
2k= 3n.
Exercice 2 (barˆeme : ? points)
Etant donn´e un r´eel´ a, on consid`ere l’application f :R→Rd´efinie par :
∀x∈R, , f(x) := aex+ 1 ex+ 1 · 1) Pour quelles valeurs deal’application f est-elle injective ? 2) Pour quelles valeurs deal’application f est-elle croissante ? 3) Pour quelles valeurs deal’application f est-elle d´ecroissante ?
Exercice 3 (barˆeme : ? points) On d´efinit les deux ensembles :
A:={x∈R∗;x+x−1 <2}, et B :={x∈R∗;x+x−1 ≤2}.
1) D´eterminer Aet B.
2) En d´eduire queAet B sont major´es et d´eterminer leurs bornes sup´erieures.
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