P (n) est vraie ⇔ u n > 1

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EXERCICE 1 1. Soit, pour tout entier naturel n, la propriété P(n) : u _n > 1.

Initialisation : u 0 = 2 et 2 > 1 donc P (0) est vraie.

Hérédité : On suppose que la propriété P _n est vraie pour un rang n donné. Démontrons qu’elle est vraie au rang n + 1.

P (n) est vraie ⇔ u _n > 1

⇔ f (u n ) > 1 ( ⋆ )

⇔ u _n+1 > 1 donc P (n + 1) est vraie.

(⋆) : On définit f, sur [1; + ∞ [ par f (x) = 1 + 3x 3 + x .

f est dérivable en tant que fonction rationnelle et ∀ x ∈ [1; + ∞ [ f ^′ (x) = 8

(3 + x) ² et f ^′ (x) > 0. f est donc strictement croissante sur [1; + ∞ [ et si x > 1 alors f (x) > f (1).

Or f (1) = 1 donc pour tout x > 1, f (x) > 1.

Conclusion : D’après le principe du raisonnement par récurrence, pour tout entier naturel n,u n > 1.

2. (a) Pour tout entier naturel n, on a : u _n+1 − u _n = 1 + 3u n

3 + u _n − u _n = 1 − u ² _n

3 + u _n = (1 − u n ) (1 + u n ) 3 + u _n . (b) ∀ n ∈ N ,

u _n > 1 ⇔ 1 − u _n < 0 u _n > 1 ⇒ 1 + u _n > 0 u _n > 1 ⇒ 3 + u _n > 0



 

 

Ainsi donc (1 − u _n ) (1 + u _n )

3 + u _n < 0 ⇔ u _n+1 − u _n ⇔ (u _n ) décrois- sante.

• • •

EXERCICE 2 f définie sur R \{ 4 } par f(x) = x ² − 7x + 14 x − 4 .

1. On peut procéder classiquement par identification des coefficients ou remarquer que :

∀ R \{ 4 } , f (x) = x ² − 7x + 14

x − 4 = x ² − 4x − 3x + 12 + 2

x − 4 = x(x − 4) − 3(x − 4) + 2

x − 4 = x − 3 + 2

x − 4 2. Variations de f sur R \{ 4 } : En utilisant la forme de f trouvée à la question précédente, on a :

f = u + 2 × 1

v de dérivée f ^′ = u ^′ + 2 ×

− v ^′ v ²

; soit, pour x 6 = 4, f ^′ (x) = 1 − 2

(x − 4) ² = (x − 4) ² − 2 (x − 4) ² Comme (x − 4) ² > 0, f ^′ (x) est du signe de (x − 4) ² − 2 = (x − 4 − √

2)(x − 4 + √

2), on peut donc réaliser le tableau de variations suivant :

x Signe de f ^′ (x)

Variations de f

−∞ 4 − √

2 4 4 + √

2 + ∞

+ 0 − − 0 +

L2 L2

f (4 − √ 2) f (4 − √

2)

L2 L2

f (4 + √ 2) f (4 + √

2)

L2 L2

L2 : leçon numéro 2

3. Immédiat grâce à la question 1 : Pour tout x de R \{ 4 } on a : f (x) − (x − 3) = 2 x − 4 . 4. Soit g : x 7→ x − 3 ; g est une fonction affine. Pour un x donné (non égal à 4),

f (x) − (x − 3) = f (x) − g(x) = 2

x − 4 représente la mesure de l’écart entre les deux images de x, l’une obtenue par f , l’autre par g. Le signe de cet écart permet de situer les deux courbes l’une par rapport à l’autre.

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x

2 x − 4

f (x) − g(x) Position relative

−∞ 4 + ∞

− +

− +

C sous ∆ ∆ sous C Dessiner les deux courbes avec GeoGebra.

• • •

EXERCICE 3 Démontrons par récurrence que OA _n B _n est équilatéral On pose, pour tout n ∈ N , P(n) :

« le triangle OA _n B _n est équilatéral ».

Initialisation : Il est précisé dans l’énoncé que OA 0 B 0 est un triangle équilatéral de côté 4. P (0) est vraie.

Hérédité : Démontrons, que pour tout n entier naturel, P (n) vraie implique que P(n + 1) est vraie.

Soit n ∈ N , supposons que P(n) est vraie : le triangle OA _n B _n est équilatéral.

Dans le triangle OA _n+1 B _n+1 , B _n+1 est le symétrique de A _n+1 par rapport à la droite OB _n donc OA _n+1 = OB _n+1 et le triangle OA _n+1 B _n+1 est isocèle.

(OA n+1 ) est la bissectrice de l’angle ( −−→ OA _n ; −−→ OB _n ), et A _n+1 milieu de [A n B _n ] implique que : ( −−−−→ OA _n+1 ; −−→ OB _n ) = ^π ₆

Par symétrie, on aura ( −−−−→ OA n+1 ; −−−−→ OB n+1 ) = 2 × π 6 = π

3 (2π). Un triangle isocèle avec un angle de π

3 est un triangle équilatéral et P (n + 1) est vérifiée.

Conclusion : D’après le principe du raisonnement par récurrence, P (n) est vraie pour tout n ∈ N . Dans un triangle équilatéral, si l’on nomme a la longueur des côtés et h la longueur de la hauteur, on a h = a

√ 3 2 .

On note (c _n ) _{n ∈} N la suite dont les termes sont les demi-côtés A _n A _n+1 des triangles successifs. Les rensei- gnements de l’énoncé et la remarque précédente permettent d’écrire que

c 0 = 2 et ∀ n ∈ N , c _n+1 = c _n ×

√ 3 2 La suite (c _n ) _{n ∈} N est visiblement géométrique de raison

√ 3

2 comprise strictement entre − 1 et 1 donc

n → lim + ∞ c _n = 0. Et pour tout n ∈ N , c _n = 2

√ 3 2

! n

On nomme (l _n ) _{n ∈} N

la suite des longueurs de la ligne brisée A 0 A 1 A 2 . . . A _n :

∀ n > 1, l _n =

n − 1

X

k=0

A _k A _k+1 =

n − 1

X

k=0

c _k =

som.term.suit.géo c 0 × 1 − ^√ 2 ³

n

1 − ^√ 2 ³

= 4

2 − √ 3

1 − ^√ 2 ³

n

Comme ^√ ₂ ^{3 n} _n −→

→ + ∞ 0, par opérations sur les limites de suites,

n → lim + ∞ l _n = 4 2 − √

3

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