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Exercice 1.On lancenfois (n >0) une pi`ece de monnaie dont le probabilit´e de tomber surPileest p∈]0,1[

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Academic year: 2022

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Texte intégral

(1)

Universit´e Paris-Dauphine Ann´ee universitaire 2016-2017 Deuxi`eme ann´ee du DE MI2E Probabilit´es multidimensionnelles et th´eor`emes limite

1. Vous ˆetes vivement invit´e `a lire le sujet dans son int´egralit´e avant de commencer `a composer.

2. Si, au cours de l’´epreuve, vous rep´erez ce qui vous semble ˆetre une erreur d’´enonc´e, vous le signalez sur la copie et poursuivez l’examen en expliquant les raisons des initiatives que vous ˆetes amen´e `a prendre.

3. Seules les r´eponses soigneusement justifi´ees seront prises en compte.

4. Un point pourra ˆetre attribu´e en plus ou en moins suivant la qualit´e de la r´edaction et de la pr´esentation.

5. Les notes de cours, les calculatrices ainsi que tous autres documents ou dispositifs ´electroniques sont interdits.

Exercice 1.On lancenfois (n >0) une pi`ece de monnaie dont le probabilit´e de tomber surPileest p∈]0,1[. On suppose que les r´esultats de cesntirages sont ind´ependants les uns des autres et on noteX le nombre dePileetY le nombre de Faceobserv´es.

1. Quelles sont les lois deX et Y?

Les r´esultats des tirages ´etant ind´ependants X est de loi binomiale de param`etresnet petY est de loi binomiale de param`etresnet1−p.

2. Montrer queX etY ne sont pas ind´ependantes.

Il d´ecoule de la d´efinition deX etY que l’on a toujoursX+Y =n. En particulierP((X, Y) = (n, n)) = 0tandis que P(X =n) =pn6= 0et P(Y =n) = (1−p)n 6= 0doncX et Y ne sont pas ind´ependantes.

On suppose `a pr´esent que la pi`ece est lanc´ee N fois o`u N est une variable al´eatoire de loi de Poisson de param`etreλ > 0. On suppose que les r´esultats des N tirages sont ind´ependants les uns des autres et ind´ependants de la valeur deN. On noteU le nombre dePileetV le nombre de Faceobserv´es.

3. Quelle est la loi jointe de (U, N) ?

Le couple (U, N) est `a valeurs dans N×N. En fixant N =n le nombre de Pile compte le nombre de succ`es dans n tirages ind´ependants, la probabilit´e d’observer un succ`es `a chaque tirage ´etantp. Ainsi, la loi deU sachant queN =nest la loi binomiale de param`etresnetpet pour tout (u, n)∈N×Non a

P((U, N) = (u, n)) =P(U =u|N =n)P(N =n) =

Cnupu(1−p)n−ue−λ λn!n siu≤n

0 sinon.

4. Quelle est la loi deU et celle deV ?

Pour tout (u, v) ∈ N×N on a l’´egalit´e entre ´ev´enements suivante : {(U, V) = (u, v)} = {(U, N) = (u, u+v)} donc pour toutu∈Non a

P(U =u) = X

v≥0

P((U, V) = (u, v))

= X

v≥0

Cu+vu pu(1−p)u+v−ue−λ λu+v (u+v)!

= X

v≥0

(u+v)!

u!v! pu(1−p)u+v−ue−λ λu+v (u+v)!

= e−λ(λp)u u!

X

v≥0

(λ(1−p))v v!

= e−λ(λp)u u! eλ(1−p)

= e−λp(λp)u u! .

U est donc une variable al´eatoire de loi de Poisson de param`etreλp et on montre de la mˆeme mani`ere queV est donc une variable al´eatoire de loi de Poisson de param`etreλ(1−p).

(2)

5. Montrer queU etV sont ind´ependantes.

De la question pr´ec´edente il vient que pour tout(u, v)∈N×Non a P(U =u)P(V =v) = e−λp(λp)u

u! e−λ(1−p)(λ(1−p))v v!

= Cu+vu pu(1−p)ve−λ λu+v (u+v)!

= P((U, V) = (u, v)) doncU etV sont ind´ependantes.

Exercice 2.SoientX, Y etZ trois variables al´eatoires ind´ependantes de lois Γ(α1, β), Γ(α2, β) et Γ(α3, β) respectivement. On rappelle que la densit´e de la loi Γ(α, β) (α, β >0) est donn´ee par

f(x) = βα

Γ(α)xα−1e−βx1R+(x) et que la densit´e de la loiB(a, b) (a, b >0) est donn´ee par

g(x) = Γ(a+b)

Γ(a)Γ(b)xa−1(1−x)b−11]0,1[(x).

1. Quelle est la loi du couple (S, T) o`uS=X+Y etT =X/(X+Y) ?

Soitϕ:R×RRune application continue born´ee. Les v.a.X et Y ´etant ind´ependantes on a E[ϕ(X+Y, X

X+Y)] = Z

R+×R+

ϕ(x+y, x

x+y) βα1

Γ(α1)xα1−1e−βx βα2

Γ(α2)yα2−1e−βy dx dy.

On va utiliser la formule du changement de variable en reprenant les notations du cours. L’ap- plication

g: G=R+×R+ → H =R+×]0,1[

(x, y) 7→ (u, v) = (x+y,x+yx ) est une bijection de classe C1 de r´eciproque

g−1: H=R+×]0,1[ → G=R+×R+

(u, v) 7→ (x, y) = (uv, u(1−v)).

Il faut faire attention `a prendre le bon ensemble H! Le jacobien degest donn´e par

Jg(x, y) =

1 1

y

(x+y)2(x+y)x 2

=− x+y

(x+y)2 =− 1

x+y, donc|Jg(x, y)|= 1 x+y. Le jacobien de g ne s’annule jamais surG. Il d´ecoule de la formule du changement de variable que

Z

R+×R+

ϕ(x+y, x

x+y) βα1

Γ(α1)xα1−1e−βx βα2

Γ(α2)yα2−1e−βy dx dy

= Z

R+×R+

ϕ(x+y, x

x+y) βα12

Γ(α1)Γ(α2)e−β(x+y)xα1−1yα2−1x+y x+y dx dy

= Z

R+×]0,1[

ϕ(u, v) βα12

Γ(α1)Γ(α2)e−βuuα12−1vα1−1(1−v)α2−1du dv.

Ceci ´etant vrai pour toute applicationϕ:R×RRcontinue et born´ee, on en d´eduit que(S, T) admet

f(S,T)(u, v) = βα12

Γ(α1)Γ(α2)e−βuuα12−1vα1−1(1−v)α2−11R

+(u)1]0,1[(v).

pour densit´e.

2. Calculer les lois deS et T. Ces variables sont elles ind´ependantes ?

(3)

La densit´e marginale deS est donn´ee par fS(u) =

Z

R

f(S,T)(u, v)dv

= βα12

Γ(α1)Γ(α2)e−βuuα12−11R+(u) Z 1

0

vα1−1(1−v)α2−1 dv

= βα12

Γ(α12)e−βuuα12−11R+(u).

En effet

Z 1

0

vα1−1(1−v)α2−1dv= Γ(α1)Γ(α2) Γ(α12) puisque pour tousa, b >0

x7→ Γ(a+b)

Γ(a)Γ(b)xa−1(1−x)b−11]0,1[(x) est une densit´e. La densit´e marginale deT v´erifie

fT(v) = Z

R

f(S,T)(u, v)du

= βα12

Γ(α1)Γ(α2)vα1−1(1−v)α2−11]0,1[(v) Z

R+

e−βuuα12−1 du

= Γ(α12)

Γ(α1)Γ(α2)vα1−1(1−v)α2−11]0,1[(v) car

Z

R+

e−βuuα12−1 du= Γ(α12) βα12 puisque pour tousα, β >0

x7→ βα

Γ(α)xα−1e−βx1R

+(x)

est une densit´e. Par cons´equentfS×fT est une densit´e pour le couple(S, T)doncS et T sont ind´ependantes.

3. Quelle est la loi deX+Y +Z?

On commence par montrer que Z est ind´ependant de X +Y. Soient ϕ, ψ : RR deux applications mesurables born´ees quelconques. On a d’apr`es le th´eor`eme de Fubini

E[ϕ(X+Y)ψ(Z)] = Z

R3

ϕ(x+y)ψ(z)P(X,Y,Z)(dx, dy, dz)

= Z

R3

ϕ(x+y)ψ(z)PX(dx)⊗PY(dy)⊗PZ(dz)

= Z

R2

ϕ(x+y) Z

R

ψ(z)PZ(dz)

PX(dx)⊗PY(dy)

= Z

R

ψ(z)PZ(dz) Z

R2

ϕ(x+y)PX(dx)⊗PY(dy)

= Z

R

ψ(z)PZ(dz) Z

R2

ϕ(x+y)PX,Y(dx, dy)

= E[ϕ(X+Y)]E[ψ(Z)]

ce qui ´etablit bien queZ est ind´ependant deX+Y. Par ailleurs, d’apr`es la question pr´ec´edente la somme de deux variables al´eatoires ind´ependantes de lois Γ(γ1, β) et Γ(γ2, β) est de loi Γ(γ12, β). Or, toujours d’apr`es la question pr´ec´edente,X+Y est de loiΓ(α12, β). On d´eduit de tout cela que X+Y +Z est de loiΓ(α123, β).

4. SoientU etV deux variables al´eatoires ind´ependantes, toutes deux de loiN(0,1). On rappelle que la densit´e de la loiN(m, σ2) (m∈R, σ >0) est donn´ee par

h(x) = 1

√ 2πσe

(x−m)2 2 .

(4)

(a) Quelle est la loi deU2?

Soitϕ: RRune application mesurable born´ee quelconque. On a E[ϕ(U2)] =

Z

R

ϕ(u2) 1

√2πeu

2 2 du

= 2 Z

0

ϕ(u2) 1

√2πeu

2 2 du

= Z

0

ϕ(u2) 1

√2π 2u

ueu

2 2 du

= Z

0

ϕ(x) 1

√2πx12−1ex2 dx

o`u, pour la derni`ere ´egalit´e, on a proc´ed´e au changement de variable u2=x. On voit que la densit´e deU2 est ´egale `a une constante de normalisation que multipliex12−1ex2 doncU2 est de loiΓ(12,12).

(b) Quelle est la loi deU2+V2?

Les variables al´eatoiresU etV ´etant ind´ependantes les variables al´eatoiresU2 etV2le sont aussi et comme chacune de ces variables est de loi Γ(12,12) il d´ecoule du constat fait `a la premi`ere question que U2+V2est de loiΓ(1,12).

Exercice 3. SoientX et Y deux variables al´eatoires r´eelles ind´ependantes. On suppose qu’elles sont de densit´ef etg respectivement.

1. Quelle est la loi du couple (X, X+Y) ?

Soit ϕ : R×RR une application continue born´ee. Les variables al´eatoires X et Y ´etant ind´ependantes on a

E[ϕ(X, X+Y)] = Z

R2

ϕ(x, x+y)f(x)g(y)dx dy.

On va utiliser la formule du changement de variable en reprenant les notations du cours. L’ap- plication

g: G=R2 → H =R2

(x, y) 7→ (u, v) = (x, x+y) est une bijection de classe C1 de r´eciproque

g−1: H =R2 → G=R2

(u, v) 7→ (x, y) = (u, v−u).

Il faut faire attention `a prendre le bon ensemble H! Le jacobien degest donn´e par Jg(x, y) =

1 0 1 1

= 1, donc|Jg(x, y)|= 1.

Le jacobien de g ne s’annule jamais surG. Il d´ecoule de la formule du changement de variable que

E[ϕ(X, X+Y)] = Z

R2

ϕ(u, v)f(u)g(v−u)du dv.

donc la densit´e du couple(X, X+Y)est donn´ee parhX,X+Y : (u, v)7→f(u)g(v−u).

2. En d´eduire que la densit´e de X+Y est donn´ee par le produit de convolution def et g que l’on notef∗g et que l’on d´efinit par

f ∗g: RR+

x 7→ R

Rf(u)g(x−u)du.

On admettra quef∗g est mesurable.

La densit´ehX+Y deX+Y se d´eduit de la densit´e de(X, X+Y)`a l’aide du calcul de la densit´e marginale. Pour tout v∈Ron a

hX+Y(v) = Z

R

hX,X+Y(u, v)du

= Z

R

f(u)g(v−u)du.

(5)

3. On suppose que la densit´e deY est une fonction paire.

(a) Montrer que la loi deY est sym´etrique, c’est-`a-dire que pour toute partie mesurableAdeRon a P(Y ∈A) =P(−Y ∈A).

Pour toute partie mesurableAde Ron a P(Y ∈A) =

Z

A

g(y)dy

= Z

−A

g(−y)dy (1)

= Z

−A

g(y)dy (2)

= P(Y ∈ −A)

= P(−Y ∈A).

L’´egalit´e (1) d´ecoule du changement de variablex7→ −x. En effet Z

A

g(y)dy= Z

R

1A(y)g(y)dy.

On va utiliser la formule du changement de variable en reprenant les notations du cours.

L’application

γ: G=R → H=R y 7→ u=−y est une bijection de classeC1 de r´eciproque

γ−1: H=R → G=R u 7→ y=−u Le jacobien deγest donn´e par

Jγ(y) =|−1|= 1.

Le jacobien deγ ne s’annule jamais surG. Il d´ecoule donc de la formule du changement de variable que

Z

A

g(y)dy= Z

R

1A(y)g(y)dy= Z

R

1A(−u)g(−u)du= Z

R

1−A(u)g(−u)du.

L’´egalit´e (2) dans la s´erie ci-dessus d´ecoule du fait queg est paire.

(b) Montrer queX+Y et X−Y ont mˆeme loi.

On a vu plus haut que la variable al´eatoireX+Y admet pour densit´e le produit de convolution des densit´es deX etY. Par ailleurs, commeX etY sont ind´ependantes,X et−Y le sont aussi doncX−Y admet pour densit´e le produit de convolution des densit´es deX et −Y. Mais on vient de voir queY et−Y ont mˆeme loi donc mˆeme densit´e, ce qui entraˆıne donc que les produits de convolution des densit´es deX etY et des densit´es deX et−Y sont les mˆemes. Les variables al´eatoiresX+Y etX−Y ont donc mˆeme densit´e donc mˆeme loi.

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