Universit´e Paris-Dauphine Ann´ee universitaire 2016-2017 Deuxi`eme ann´ee du DE MI2E Probabilit´es multidimensionnelles et th´eor`emes limite
1. Vous ˆetes vivement invit´e `a lire le sujet dans son int´egralit´e avant de commencer `a composer.
2. Si, au cours de l’´epreuve, vous rep´erez ce qui vous semble ˆetre une erreur d’´enonc´e, vous le signalez sur la copie et poursuivez l’examen en expliquant les raisons des initiatives que vous ˆetes amen´e `a prendre.
3. Seules les r´eponses soigneusement justifi´ees seront prises en compte.
4. Un point pourra ˆetre attribu´e en plus ou en moins suivant la qualit´e de la r´edaction et de la pr´esentation.
5. Les notes de cours, les calculatrices ainsi que tous autres documents ou dispositifs ´electroniques sont interdits.
Exercice 1.On lancenfois (n >0) une pi`ece de monnaie dont le probabilit´e de tomber surPileest p∈]0,1[. On suppose que les r´esultats de cesntirages sont ind´ependants les uns des autres et on noteX le nombre dePileetY le nombre de Faceobserv´es.
1. Quelles sont les lois deX et Y?
Les r´esultats des tirages ´etant ind´ependants X est de loi binomiale de param`etresnet petY est de loi binomiale de param`etresnet1−p.
2. Montrer queX etY ne sont pas ind´ependantes.
Il d´ecoule de la d´efinition deX etY que l’on a toujoursX+Y =n. En particulierP((X, Y) = (n, n)) = 0tandis que P(X =n) =pn6= 0et P(Y =n) = (1−p)n 6= 0doncX et Y ne sont pas ind´ependantes.
On suppose `a pr´esent que la pi`ece est lanc´ee N fois o`u N est une variable al´eatoire de loi de Poisson de param`etreλ > 0. On suppose que les r´esultats des N tirages sont ind´ependants les uns des autres et ind´ependants de la valeur deN. On noteU le nombre dePileetV le nombre de Faceobserv´es.
3. Quelle est la loi jointe de (U, N) ?
Le couple (U, N) est `a valeurs dans N×N. En fixant N =n le nombre de Pile compte le nombre de succ`es dans n tirages ind´ependants, la probabilit´e d’observer un succ`es `a chaque tirage ´etantp. Ainsi, la loi deU sachant queN =nest la loi binomiale de param`etresnetpet pour tout (u, n)∈N×Non a
P((U, N) = (u, n)) =P(U =u|N =n)P(N =n) =
Cnupu(1−p)n−ue−λ λn!n siu≤n
0 sinon.
4. Quelle est la loi deU et celle deV ?
Pour tout (u, v) ∈ N×N on a l’´egalit´e entre ´ev´enements suivante : {(U, V) = (u, v)} = {(U, N) = (u, u+v)} donc pour toutu∈Non a
P(U =u) = X
v≥0
P((U, V) = (u, v))
= X
v≥0
Cu+vu pu(1−p)u+v−ue−λ λu+v (u+v)!
= X
v≥0
(u+v)!
u!v! pu(1−p)u+v−ue−λ λu+v (u+v)!
= e−λ(λp)u u!
X
v≥0
(λ(1−p))v v!
= e−λ(λp)u u! eλ(1−p)
= e−λp(λp)u u! .
U est donc une variable al´eatoire de loi de Poisson de param`etreλp et on montre de la mˆeme mani`ere queV est donc une variable al´eatoire de loi de Poisson de param`etreλ(1−p).
5. Montrer queU etV sont ind´ependantes.
De la question pr´ec´edente il vient que pour tout(u, v)∈N×Non a P(U =u)P(V =v) = e−λp(λp)u
u! e−λ(1−p)(λ(1−p))v v!
= Cu+vu pu(1−p)ve−λ λu+v (u+v)!
= P((U, V) = (u, v)) doncU etV sont ind´ependantes.
Exercice 2.SoientX, Y etZ trois variables al´eatoires ind´ependantes de lois Γ(α1, β), Γ(α2, β) et Γ(α3, β) respectivement. On rappelle que la densit´e de la loi Γ(α, β) (α, β >0) est donn´ee par
f(x) = βα
Γ(α)xα−1e−βx1R∗+(x) et que la densit´e de la loiB(a, b) (a, b >0) est donn´ee par
g(x) = Γ(a+b)
Γ(a)Γ(b)xa−1(1−x)b−11]0,1[(x).
1. Quelle est la loi du couple (S, T) o`uS=X+Y etT =X/(X+Y) ?
Soitϕ:R×R→Rune application continue born´ee. Les v.a.X et Y ´etant ind´ependantes on a E[ϕ(X+Y, X
X+Y)] = Z
R∗+×R∗+
ϕ(x+y, x
x+y) βα1
Γ(α1)xα1−1e−βx βα2
Γ(α2)yα2−1e−βy dx dy.
On va utiliser la formule du changement de variable en reprenant les notations du cours. L’ap- plication
g: G=R∗+×R∗+ → H =R∗+×]0,1[
(x, y) 7→ (u, v) = (x+y,x+yx ) est une bijection de classe C1 de r´eciproque
g−1: H=R∗+×]0,1[ → G=R∗+×R∗+
(u, v) 7→ (x, y) = (uv, u(1−v)).
Il faut faire attention `a prendre le bon ensemble H! Le jacobien degest donn´e par
Jg(x, y) =
1 1
y
(x+y)2 −(x+y)x 2
=− x+y
(x+y)2 =− 1
x+y, donc|Jg(x, y)|= 1 x+y. Le jacobien de g ne s’annule jamais surG. Il d´ecoule de la formule du changement de variable que
Z
R∗+×R∗+
ϕ(x+y, x
x+y) βα1
Γ(α1)xα1−1e−βx βα2
Γ(α2)yα2−1e−βy dx dy
= Z
R∗+×R∗+
ϕ(x+y, x
x+y) βα1+α2
Γ(α1)Γ(α2)e−β(x+y)xα1−1yα2−1x+y x+y dx dy
= Z
R∗+×]0,1[
ϕ(u, v) βα1+α2
Γ(α1)Γ(α2)e−βuuα1+α2−1vα1−1(1−v)α2−1du dv.
Ceci ´etant vrai pour toute applicationϕ:R×R→Rcontinue et born´ee, on en d´eduit que(S, T) admet
f(S,T)(u, v) = βα1+α2
Γ(α1)Γ(α2)e−βuuα1+α2−1vα1−1(1−v)α2−11R∗
+(u)1]0,1[(v).
pour densit´e.
2. Calculer les lois deS et T. Ces variables sont elles ind´ependantes ?
La densit´e marginale deS est donn´ee par fS(u) =
Z
R
f(S,T)(u, v)dv
= βα1+α2
Γ(α1)Γ(α2)e−βuuα1+α2−11R∗+(u) Z 1
0
vα1−1(1−v)α2−1 dv
= βα1+α2
Γ(α1+α2)e−βuuα1+α2−11R∗+(u).
En effet
Z 1
0
vα1−1(1−v)α2−1dv= Γ(α1)Γ(α2) Γ(α1+α2) puisque pour tousa, b >0
x7→ Γ(a+b)
Γ(a)Γ(b)xa−1(1−x)b−11]0,1[(x) est une densit´e. La densit´e marginale deT v´erifie
fT(v) = Z
R
f(S,T)(u, v)du
= βα1+α2
Γ(α1)Γ(α2)vα1−1(1−v)α2−11]0,1[(v) Z
R∗+
e−βuuα1+α2−1 du
= Γ(α1+α2)
Γ(α1)Γ(α2)vα1−1(1−v)α2−11]0,1[(v) car
Z
R∗+
e−βuuα1+α2−1 du= Γ(α1+α2) βα1+α2 puisque pour tousα, β >0
x7→ βα
Γ(α)xα−1e−βx1R∗
+(x)
est une densit´e. Par cons´equentfS×fT est une densit´e pour le couple(S, T)doncS et T sont ind´ependantes.
3. Quelle est la loi deX+Y +Z?
On commence par montrer que Z est ind´ependant de X +Y. Soient ϕ, ψ : R → R deux applications mesurables born´ees quelconques. On a d’apr`es le th´eor`eme de Fubini
E[ϕ(X+Y)ψ(Z)] = Z
R3
ϕ(x+y)ψ(z)P(X,Y,Z)(dx, dy, dz)
= Z
R3
ϕ(x+y)ψ(z)PX(dx)⊗PY(dy)⊗PZ(dz)
= Z
R2
ϕ(x+y) Z
R
ψ(z)PZ(dz)
PX(dx)⊗PY(dy)
= Z
R
ψ(z)PZ(dz) Z
R2
ϕ(x+y)PX(dx)⊗PY(dy)
= Z
R
ψ(z)PZ(dz) Z
R2
ϕ(x+y)PX,Y(dx, dy)
= E[ϕ(X+Y)]E[ψ(Z)]
ce qui ´etablit bien queZ est ind´ependant deX+Y. Par ailleurs, d’apr`es la question pr´ec´edente la somme de deux variables al´eatoires ind´ependantes de lois Γ(γ1, β) et Γ(γ2, β) est de loi Γ(γ1+γ2, β). Or, toujours d’apr`es la question pr´ec´edente,X+Y est de loiΓ(α1+α2, β). On d´eduit de tout cela que X+Y +Z est de loiΓ(α1+α2+α3, β).
4. SoientU etV deux variables al´eatoires ind´ependantes, toutes deux de loiN(0,1). On rappelle que la densit´e de la loiN(m, σ2) (m∈R, σ >0) est donn´ee par
h(x) = 1
√ 2πσe−
(x−m)2 2σ2 .
(a) Quelle est la loi deU2?
Soitϕ: R→Rune application mesurable born´ee quelconque. On a E[ϕ(U2)] =
Z
R
ϕ(u2) 1
√2πe−u
2 2 du
= 2 Z ∞
0
ϕ(u2) 1
√2πe−u
2 2 du
= Z ∞
0
ϕ(u2) 1
√2π 2u
ue−u
2 2 du
= Z ∞
0
ϕ(x) 1
√2πx12−1e−x2 dx
o`u, pour la derni`ere ´egalit´e, on a proc´ed´e au changement de variable u2=x. On voit que la densit´e deU2 est ´egale `a une constante de normalisation que multipliex12−1e−x2 doncU2 est de loiΓ(12,12).
(b) Quelle est la loi deU2+V2?
Les variables al´eatoiresU etV ´etant ind´ependantes les variables al´eatoiresU2 etV2le sont aussi et comme chacune de ces variables est de loi Γ(12,12) il d´ecoule du constat fait `a la premi`ere question que U2+V2est de loiΓ(1,12).
Exercice 3. SoientX et Y deux variables al´eatoires r´eelles ind´ependantes. On suppose qu’elles sont de densit´ef etg respectivement.
1. Quelle est la loi du couple (X, X+Y) ?
Soit ϕ : R×R → R une application continue born´ee. Les variables al´eatoires X et Y ´etant ind´ependantes on a
E[ϕ(X, X+Y)] = Z
R2
ϕ(x, x+y)f(x)g(y)dx dy.
On va utiliser la formule du changement de variable en reprenant les notations du cours. L’ap- plication
g: G=R2 → H =R2
(x, y) 7→ (u, v) = (x, x+y) est une bijection de classe C1 de r´eciproque
g−1: H =R2 → G=R2
(u, v) 7→ (x, y) = (u, v−u).
Il faut faire attention `a prendre le bon ensemble H! Le jacobien degest donn´e par Jg(x, y) =
1 0 1 1
= 1, donc|Jg(x, y)|= 1.
Le jacobien de g ne s’annule jamais surG. Il d´ecoule de la formule du changement de variable que
E[ϕ(X, X+Y)] = Z
R2
ϕ(u, v)f(u)g(v−u)du dv.
donc la densit´e du couple(X, X+Y)est donn´ee parhX,X+Y : (u, v)7→f(u)g(v−u).
2. En d´eduire que la densit´e de X+Y est donn´ee par le produit de convolution def et g que l’on notef∗g et que l’on d´efinit par
f ∗g: R → R+
x 7→ R
Rf(u)g(x−u)du.
On admettra quef∗g est mesurable.
La densit´ehX+Y deX+Y se d´eduit de la densit´e de(X, X+Y)`a l’aide du calcul de la densit´e marginale. Pour tout v∈Ron a
hX+Y(v) = Z
R
hX,X+Y(u, v)du
= Z
R
f(u)g(v−u)du.
3. On suppose que la densit´e deY est une fonction paire.
(a) Montrer que la loi deY est sym´etrique, c’est-`a-dire que pour toute partie mesurableAdeRon a P(Y ∈A) =P(−Y ∈A).
Pour toute partie mesurableAde Ron a P(Y ∈A) =
Z
A
g(y)dy
= Z
−A
g(−y)dy (1)
= Z
−A
g(y)dy (2)
= P(Y ∈ −A)
= P(−Y ∈A).
L’´egalit´e (1) d´ecoule du changement de variablex7→ −x. En effet Z
A
g(y)dy= Z
R
1A(y)g(y)dy.
On va utiliser la formule du changement de variable en reprenant les notations du cours.
L’application
γ: G=R → H=R y 7→ u=−y est une bijection de classeC1 de r´eciproque
γ−1: H=R → G=R u 7→ y=−u Le jacobien deγest donn´e par
Jγ(y) =|−1|= 1.
Le jacobien deγ ne s’annule jamais surG. Il d´ecoule donc de la formule du changement de variable que
Z
A
g(y)dy= Z
R
1A(y)g(y)dy= Z
R
1A(−u)g(−u)du= Z
R
1−A(u)g(−u)du.
L’´egalit´e (2) dans la s´erie ci-dessus d´ecoule du fait queg est paire.
(b) Montrer queX+Y et X−Y ont mˆeme loi.
On a vu plus haut que la variable al´eatoireX+Y admet pour densit´e le produit de convolution des densit´es deX etY. Par ailleurs, commeX etY sont ind´ependantes,X et−Y le sont aussi doncX−Y admet pour densit´e le produit de convolution des densit´es deX et −Y. Mais on vient de voir queY et−Y ont mˆeme loi donc mˆeme densit´e, ce qui entraˆıne donc que les produits de convolution des densit´es deX etY et des densit´es deX et−Y sont les mˆemes. Les variables al´eatoiresX+Y etX−Y ont donc mˆeme densit´e donc mˆeme loi.