Exercice 1.On lancenfois (n >0) une pi`ece de monnaie dont le probabilit´e de tomber surPileest p∈]0,1[

Universit´e Paris-Dauphine Ann´ee universitaire 2016-2017 Deuxi`eme ann´ee du DE MI2E Probabilit´es multidimensionnelles et th´eor`emes limite

1. Vous ˆetes vivement invit´e `a lire le sujet dans son int´egralit´e avant de commencer `a composer.

2. Si, au cours de l’´epreuve, vous rep´erez ce qui vous semble ˆetre une erreur d’´enonc´e, vous le signalez sur la copie et poursuivez l’examen en expliquant les raisons des initiatives que vous ˆetes amen´e `a prendre.

3. Seules les r´eponses soigneusement justifi´ees seront prises en compte.

4. Un point pourra ˆetre attribu´e en plus ou en moins suivant la qualit´e de la r´edaction et de la pr´esentation.

5. Les notes de cours, les calculatrices ainsi que tous autres documents ou dispositifs ´electroniques sont interdits.

Exercice 1.On lancenfois (n >0) une pi`ece de monnaie dont le probabilit´e de tomber surPileest p∈]0,1[. On suppose que les r´esultats de cesntirages sont ind´ependants les uns des autres et on noteX le nombre dePileetY le nombre de Faceobserv´es.

1. Quelles sont les lois deX et Y?

2. Montrer queX etY ne sont pas ind´ependantes.

On suppose `a pr´esent que la pi`ece est lanc´ee N fois o`u N est une variable al´eatoire de loi de Poisson de param`etreλ > 0. On suppose que les r´esultats des N tirages sont ind´ependants les uns des autres et ind´ependants de la valeur deN. On noteU le nombre dePileetV le nombre de Faceobserv´es.

3. Quelle est la loi jointe de (U, N) ? 4. Quelle est la loi deU et celle deV ? 5. Montrer queU etV sont ind´ependantes.

Exercice 2.SoientX, Y etZ trois variables al´eatoires ind´ependantes de lois Γ(α1, β), Γ(α2, β) et Γ(α3, β) respectivement. On rappelle que la densit´e de la loi Γ(α, β) (α, β >0) est donn´ee par

f(x) = β^α

Γ(α)x^α−1e^−βx1_R^∗

+(x) et que la densit´e de la loiB(a, b) (a, b >0) est donn´ee par

g(x) = Γ(a+b)

Γ(a)Γ(b)x^a−1(1−x)^b−11_]0,1[(x).

1. Quelle est la loi du couple (S, T) o`uS=X+Y etT =X/(X+Y) ? 2. Calculer les lois deS et T. Ces variables sont elles ind´ependantes ? 3. Quelle est la loi deX+Y +Z?

4. SoientU etV deux variables al´eatoires ind´ependantes, toutes deux de loiN(0,1). On rappelle que la densit´e de la loiN(m, σ²) (m∈R, σ >0) est donn´ee par

h(x) = 1

√ 2πσe⁻

(x−m)2 2σ2 .

(a) Quelle est la loi deU²? (b) Quelle est la loi deU²+V²?

Exercice 3. SoientX et Y deux variables al´eatoires r´eelles ind´ependantes. On suppose qu’elles sont de densit´ef etg respectivement.

1. Quelle est la loi du couple (X, X+Y) ?

2. En d´eduire que la densit´e de X+Y est donn´ee par le produit de convolution def et g que l’on notef∗g et que l’on d´efinit par

f ∗g: R → R₊ x 7→ R

Rf(u)g(x−u)du.

On admettra quef∗g est mesurable.

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3. On suppose que la densit´e deY est une fonction paire.

(a) Montrer que la loi deY est sym´etrique, c’est-`a-dire que pour toute partie mesurableAdeRon a P(Y ∈A) =P(−Y ∈A).

(b) Montrer queX+Y et X−Y ont mˆeme loi.

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