Dur´
ee : 4 heures
MATHEMATIQUES
DEVOIR SURVEILLE N
◦10
Si, au cours de l’´epreuve, vous rep´erez ce qui vous semble ˆetre une erreur d’´enonc´e, d’une part vous le signalez au surveillant, d’autre part vous le signalez sur votre copie et vous poursuivez la composition en indiquant les raisons des initiatives que vous avez ´et´e amen´e `a prendre.
L’usage de calculatrice est interdit
AVERTISSEMENT
La pr´esentation, la lisibilit´e, l’orthographe, la qualit´e de la r´edaction, la clart´e et la pr´ eci-sion des raisonnements entreront pour une part importante dans l’appr´eciation des copies. En particulier, les r´esultats non encadr´es et non-justifi´es ne seront pas pris en compte.
Partie 1 - Questions de cours
1. Citer la formule des probabilit´es totales.
2. Enoncer la d´efinition d’´ev´enements ind´ependants.
3. Rappeler la d´efinition des lois suivantes ainsi que leur esp´erance et leur variance. (a) Loi de Bernoulli de param`etre p ∈]0; 1[.
(b) Loi binomiale de param`etre n et p.
(c) Loi uniforme sur l’ensemble {1, 2, 3, 4, 5, 6}.
Partie 2 - Exercices d’applications
Exercice 1: Une piste rectiligne est divis´ee en cases num´erot´ees 0, 1, 2, . . . , n, de gauche `a droite. Une puce se d´eplace vers la droite de une ou deux cases au hasard `a chaque saut. Au d´epart, elle est sur la case 0. Soit Xn le num´ero de la case occup´ee par la puce apr`es n sauts et Yn le nombre de fois o`u la puce a saut´e
d’une case au cours des n premiers sauts Donner la loi de Yn, E(Yn) et V (Yn).
Exprimer Xn en fonction de Yn et n. En d´eduire E(Xn) et V (Xn) puis la loi de Xn.
Probl`
eme 1 - Probabilit´
es
Soit a, b deux entiers naturels non nuls et s leur somme.
Une urne contient initialement a boules noires et b boules blanches indiscernables au toucher.
On effectue dans cette urne une suite infinie de tirages au hasard d’une boule selon le protocole suivant : — si la boule tir´ee est blanche, elle est remise dans l’urne ;
— si la boule tir´ee est noire, elle est remplac´ee dans l’urne par une boule blanche prise dans une r´eserve annexe.
Avant chaque tirage, l’urne contient donc toujours s boules.
On d´esigne par (Ω, B, P) un espace probabilis´e qui mod´elise cette exp´erience et, pour tout entier naturel n non nul, on note :
— Bn l’´ev´enement ”la n-i`eme boule tir´ee est blanche ”;
— Xn la variable al´eatoire d´esignant le nombre de boules blanches tir´ees au cours des n premiers tirages ;
— un l’esp´erance de la variable al´eatoire Xn, c’est-`a-dire un= E(Xn).
1. ´Etude d’un ensemble de suites
Soit A l’ensemble des suites (xn)n>1 de r´eels qui v´erifient :
∀n ∈ N∗, s xn+1 = (s − 1) xn+ b + n
(a) Soit α et β deux r´eels et (vn)n>1 la suite d´efinie par : ∀n ∈ N∗, vn= α n + β .
D´eterminer en fonction de b et de s les valeurs de α et β pour que la suite (vn)n>1 appartienne `a
A.
(b) Soit (xn)n>1 une suite appartenant `a A, (vn)n>1 la suite d´etermin´ee `a la question pr´ec´edente et
(yn)n>1 la suite d´efinie par : ∀n ∈ N∗, yn= xn− vn.
Montrer que la suite (yn)n>1 est une suite g´eom´etrique et expliciter, pour tout entier naturel n
non nul, yn puis xnen fonction de x1, b, s et n.
2. Expression de la probabilit´e P(Bn+1) `a l’aide de un
(a) Donner, en fonction de b et de s, les valeurs respectives de la probabilit´e P(B1) et du nombre u1.
(b) Calculer la probabilit´e P(B2) et v´erifier l’´egalit´e : P(B2) =
b + 1 − u1
s .
(c) Soit n un entier naturel v´erifiant 1 6 n 6 a. Montrer que, pour tout entier k de l’intervalle [0, n], la probabilit´e conditionnelle PXn=k(Bn+1) est ´egale `a
b + n − k s En d´eduire l’´egalit´e : P(Bn+1) =
b + n − un
s (d) Soit n un entier naturel v´erifiant n > a.
Si k est un entier de l’intervalle [0, n − a − 1], quel est l’´ev´enement [Xn= k] ?
Si k est un entier de l’intervalle [n − a, n], justifier l’´egalit´e : PXn=k(Bn+1) =
b + n − k s Montrer enfin que l’´egalit´e P(Bn+1) =
b + n − un
s est encore v´erifi´ee. 3. Calcul des nombres un et P(Bn)
(a) Soit n un entier naturel non nul. ´Etablir, pour tout entier k de l’intervalle [n + 1 − a, n] l’´egalit´e : P([Xn+1= k]) =
a − n + k
s P([Xn= k]) +
b + n − k + 1
s P([Xn= k − 1])
V´erifier cette ´egalit´e pour k = n + 1, k = n − a et pour tout entier k de l’intervalle [1, n − a − 1]. (b) Calculer, pour tout entier naturel n non nul, un+1 en fonction de un et de n. En d´eduire que la
suite (un)n>1 appartient `a l’ensemble A ´etudi´e dans la question 1
(c) Donner, pour tout entier naturel n non nul, les valeurs de un et de P(Bn+1) en fonction de b, s
et n.
A traiter sur une copie `a part, au bout de 2h.
Partie 1 - Questions de cours
1. Citer les 4 propri´et´es de l’int´egrale.
2. Citer 3 m´ethodes pour calculer une int´egrale. 3. Enoncer le th´eor`eme sur les sommes de Riemman. 4. Enoncer la formule de Taylor avec reste int´egral. 5. Citer le th´eor`eme fondamental de l’analyse.
Partie 2 - Exercices d’applications
Exercice 2: Lemme de Riemann-Lebesgue
Soit f ∈ C1([a; b], R). En utilisant une int´egration par parties, montrer que lim
n→+∞
Z b
a
f (t)eintdt = 0
Quelles sont les deux autres limites qu’on en d´eduit ?
Probl`
eme 2 - Int´
egration
PARTIE 1 : Premier exemple
On ´etudie dans cette partie la fonction F d´efinie par ∀x ∈ R∗+, F (x) =
Z x
1
ln(t) 1 + t2dt
1. (a) D´eterminer le signe de F sur R∗+.
(b) Justifier la d´erivabilit´e et la continuit´e de F sur R∗+.
(c) Montrer que
∀x > 0, F0(x) = ln(x) 1 + x2
et en d´eduire les variations de F sur R∗+.
2. Montrer, par un changement de variable, que : ∀x ∈ R∗+, F (x) = F x1.
3. Soit φ la fonction d´efinie sur R∗+ par φ(x) =
arctan(x) x .
(a) Montrer que φ est prolongeable par continuit´e en 0. (b) Montrer, par une int´egration par parties, que
∀x ∈ R∗+, F (x) = arctan(x) ln(x) −
Z x
1
φ(t)dt.
(c) En d´eduire, en utilisant des ´equivalents, que la fonction F est prolongeable en 0 et donner la valeur qu’on peut lui attribuer en 0.
PARTIE 2 : Deuxi`eme exemple
Dans cette partie, on ´etudie la fonction G d´efinie par G(x) =
Z 1
0
et
t + xdt
1. (a) Justifier que la fonction G est bien d´efinie sur ]0; +∞[ et donner son signe. (b) A l’aide d’une int´egration par parties, montrer que
∀x > 0, G(x) = Z 1 0 et (t + x)2dt + e(x − 1) − 1 x(x + 1) 2. (a) A l’aide d’un changement de variable affine, montrer que
∀x > 0, G(x) = e−x Z x+1 x eu u du (b) On pose H(x) = Z x+1 x eu
u du. Montrer que cela d´efinit une fonction de classe C
1 sur ]0; +∞[ et que ∀x > 0, H0(x) = e x+1 x + 1− ex x
(c) Justifier que G est d´erivable sur ]0; +∞[ et qu’elle est solution de l’´equation diff´erentielle ∀x > 0, G0(x) + G(x) = x(e − 1) − 1
x(x + 1)
(d) En d´eduire, `a l’aide de la question 1.(b) , une expression de G0 sous forme d’int´egrale. (e) En d´eduire la monotonie de G.
3. (a) Montrer que
∀x > 0, e − 1
x + 1 ≤ G(x) ≤ e − 1
x
