DS n°6 : Concours blanc - PCSI-PSI AUX ULIS

Dur´

ee : 4 heures

MATH´

EMATIQUES

CONCOURS BLANC PCSI

Si, au cours de l’´epreuve, vous rep´erez ce qui vous semble ˆetre une erreur d’´enonc´e, d’une part vous le signalez au surveillant, d’autre part vous le signalez sur votre copie et vous poursuivez la composition en indiquant les raisons des initiatives que vous avez ´et´e amen´e `a prendre.

L’usage de calculatrice est interdit

AVERTISSEMENT

La pr´esentation, la lisibilit´e, l’orthographe, la qualit´e de la r´edaction, la clart´e et la pr´ eci-sion des raisonnements entreront pour une part importante dans l’appr´eciation des copies. En particulier, les r´esultats non encadr´es et non-justifi´es ne seront pas pris en compte.

PARTIE 1 - QCM

Dans les exercices 1 `a 3, vous devez pour chaque question dire quelles sont les propositions qui sont vraies et celles qui sont fausses en justifiant vos r´eponses.

Notations : On rappelle que eix = cos(x) + i sin(x) o`u i est le nombre complexe tel que i2 = −1 et x un nombre r´eel.

Exercice 1:

Soient x et y deux r´eels tels que 0 < x ≤ y. On pose m = x+y₂ , g =√xy et 1_h = 1_{2 x}1 +1_y
. 1. La quantit´e m v´erifie (a) m − x ≤ 0 (b) m − x ≥ 0 (c) m − y ≤ 0 (d) m − y ≥ 0 2. La quantit´e g v´erifie (a) g − x ≥ 0 (b) g − y ≥ 0 (c) g − x ≤ 0 (d) g − y ≤ 0 3. La quantit´e h v´erifie (a) h − x ≤ 0 (b) h − y ≥ 0 (c) h − x ≥ 0 (d) h − y ≤ 0 Exercice 2:

Soit z = e2iπ5 . On pose α = z + z4 et β = z2+ z3.

1. On montre que (a) α + β = 1 (b) α + β = −1

(c) αβ = 1 (d) αβ = −1

2. Les nombres α et β sont les racines du trinˆome du second degr´e (a) X2+ X − 1

(b) X2− X − 1 (c) X2+ X + 1 (d) X2− X + 1

3. On d´eduit des r´esultats pr´ec´edents (a) cos2π₅ = √ 5−1 2 et sin 2π 5 = q√ 5−1 2 (b) cos4π₅ = − √ 5−1 4 et sin 4π 5 = 1 4 p 10 + 2√5 (c) cos6π₅ = √ 5−1 4 et sin 6π 5 = 1 4 p 10 − 2√5 (d) cos8π₅ = √ 5−1 4 et sin 4π 5 = − 1 4 p 10 − 2√5

Exercice 3:

On consid`ere le syst`eme lin´eaire (S) :    3x + y = 8 −2x + y − 2z = −1 x − 2y + 3z = −3 1. Ce syst`eme s’´ecrit de fa¸con matricielle AX = B avec

(a) A =   3 1 0 −2 1 −2 1 −2 3  , X = x y z
et B = 8 −1 −3
(b) A =   3 1 0 −2 1 −2 1 −2 3  , X =   x y z   et B =   8 −1 −3   (c) A =   3 −2 1 1 1 −2 0 −2 3  , X = x y z
et B = 8 −1 −3
(d) A =   3 −2 1 1 1 −2 0 −2 3  , X =   x y z  et B =   8 −1 −3   2. Le syst`eme (S)

(a) poss`ede une infinit´e de solutions

(b) admet pour unique solution (x, y, z) = (1, 5, 2). (c) n’admet pas de solution dans R3.

(d) admet pour unique solution (x, y, z) = (2, 2, −1₂).

Probl`

eme 1 - Etude de fonctions

PARTIE 1 : Etude de deux fonctions

On consid`ere dans tout ce probl`eme des deux fonctions F et G d´efinies sur R∗+ par

F (x) = sin(x)

x et G(x) =

1 − cos(x) x 1. (a) Montrer que les fonction F et G sont continues sur R∗+.

(b) Montrer que F et G sont prolongeables par continuit´e en 0. On notera encore F et G ces prolon-gements.

2. Montrer que les fonctions F et G sont d´erivables sur R∗+ et calculer leur d´eriv´ee.

3. (a) Montrer que les r´eels strictement positifs x tels que F (x) = 0 constituent une suite (ak)k≥1

strictement croissante. On donnera explicitement la valeur de ak.

(b) Montrer que les r´eels strictement positifs x tels que G(x) = 0 constituent une suite (bk)k≥1

strictement croissante. Y a-t-il un lien entre les suites (ak)k≥1 et (bk)k≥1?

4. (a) Soit k ∈ N∗. Montrer sans calcul qu’il existe un r´eel xk ∈]ak; ak+1[ tel que F0(xk) = 0.

(b) Montrer que la fonction h : x 7→ x cos(x) − sin(x) est strictement monotone sur [ak; ak+1].

(c) En d´eduire l’unicit´e du r´eel xk d´efini dans la question 4.(a).

(d) Etablir que : ∀k ∈ N∗, xk∈]ak; ak+π₂[.

(e) Calculer lim

PARTIE 2 : Deux fonctions d´efinies par des int´egrales

Dans toute cette partie, E d´esigne l’ensemble des fonctions de classe C1 _{sur [0; 1]. Pour f ∈ E, on d´efinit}

deux fonctions If et Jf sur R

∀x ∈ R, If(x) = Z 1 0 f (t) cos(xt)dt et Jf(x) = Z 1 0 f (t) sin(xt)dt Soit f appartenant `a E.

1. D´eterminer la parit´e des fonctions If et Jf.

2. On se propose de calculer dans cette question les limites de If et Jf en +∞ et en −∞.

(a) Etablir que

∀x > 0, I_f(x) + iJf(x) = f (1)eix− f (0) ix − 1 ix Z 1 0 f0(t)eixtdt

(b) Expliquer rapidement pourquoi les fonctions f et f0 sont born´ees sur [0; 1]. On pose donc M = sup

x∈[0;1]

|f (x)| et M0 = sup

x∈[0;1]

|f0(x)|.

(c) En d´eduire qu’il existe A ∈ R+ tel que ∀x > 0, |If(x) + iJf(x)| ≤ A_x.

(d) Calculer lim

x→+∞(If(x) + iJf(x)) puisx→+∞lim If(x) et x→+∞lim Jf(x).

(e) D´eterminer lim

x→−∞If(x) et x→−∞lim Jf(x).

3. L’objectif de cette fonction est de prouver que les fonctions If et Jf sont continues sur R.

(a) Soient p et q deux r´eels. Rappeler les formules liant cos(p) − cos(q) et sin(p) − sin(q) `a cos p+q₂
, cos p−q₂
, sin p+q₂
et sin p−q₂
.

(b) D´emontrer que : ∀u ∈ R, | sin(u)| ≤ |u| (on pourra utiliser l’in´egalit´e des accroissements finis). (c) Soient x et y deux r´eels. Etablir que

|I_f(x) − If(y)| ≤ |x − y| Z 1 0 t|f (t)|dt et |J_f(x) − Jf(y)| ≤ |x − y| Z 1 0 t|f (t)|dt (d) En d´eduire que les fonctions If et Jfsont continues sur R.

4. A l’aide d’une fonction f bien choisie, ´etablir un lien entre les fonctions F et G de la partie 1 et les fonctions If et Jf de la partie 2.

Probl`

eme 2 - Autour des puissances d’une matrice

On pose M =   3 −2 −1 1 0 −1 0 0 2   et I =   1 0 0 0 1 0 0 0 1   la matrice identit´e de M3(R).

On posera par convention M0 = I.

PARTIE 1 - Calcul de la puissance

1. (a) Montrer que M2 peut s’´ecrire comme une combinaison lin´eaire de I et de M . (b) En d´eduire que M est une matrice inversible, et pr´eciser M−1.

2. Montrer que, pour tout entier n ∈ N, il existe un couple de r´eels (an, bn) tel que :

Mn= anI + bnM.

3. Montrer que la suite (cn)n>0 d´efinie par cn= an+ bn est constante.

4. Montrer que la suite (bn)n>0 v´erifie ∀n ∈ N, bn+2= 3bn+1− 2bn.

5. En d´eduire bnpuis an en fonction de n et enfin montrer que :

Mn=   2n+1− 1 2 − 2n+1 _{1 − 2}n 2n− 1 2 − 2n 1 − 2n 0 0 2n  

6. L’expression pr´ec´edente est-elle valable pour n = −1 ?

PARTIE 2 - Application : Calcul de sommes

On d´efinit la matrice B = 2M − 3I, et pour tout n ∈ N, les deux sommes : rn= 1 22n+1 n X k=0 2n + 1 2k  32n+1−2k et sn= 1 22n+1 n X k=0 2n + 1 2k + 1  32n−2k 7. Calculer B0, B, B2, B3 en fonction de B. Donner l’expression de Bn en fonction de n. 8. Exprimer M `a l’aide de I et B.

A l’aide de la formule du binˆome de Newton, d´eterminer une expression de M2n+1 faisant intervenir les sommes rn, sn et les matrices I, B.

9. En comparant avec l’expression trouv´ee `a la question 5., en d´eduire des expressions simples, en fonction de n, de rn et sn.

10. Une application : On consid`ere la somme tn = n X k=0 2n + 1 2k  1

9k. Pr´eciser un ´equivalent simple de tn,

puis la limite de tn lorsque n tend vers +∞.

PARTIE 3 - Application : convergence de suites

On consid`ere deux suites (un)n∈N et (vn)n∈N d´efinies par (u0, v0) ∈ R2 et, pour tout n ∈ N :



un+1 = 3un − 2vn − 2n

vn+1 = un − 2n

11. Soit (wn)n∈N, la suite g´eom´etrique de raison 2 et de premier terme 1 : donner l’expression de wn.

12. On note Xn=   un vn wn  . Exprimer Xn+1 en fonction de Xn et M .

13. En d´eduire Xn en fonction de X0. Pr´eciser alors les expressions de un et vn.

14. Pour quels couples de r´eels (u0, v0) les deux suites (un)n∈Net (vn)n∈Nconvergent-elles simultan´ement ?

15. On fixe d´esormais u0 = −1.

(a) V´erifier qu’il existe une unique valeur de v0 pour laquelle la suite (un)n∈N est convergente.

(b) Dans cette situation, pr´eciser un ´equivalent simple de un et de n

X

k=0

vk.

(c) Calculer enfin lim

n→+∞       n X k=0 vk vn       .