DEVOIRSURVEILL´EN 2 MATH´EMATIQUES

Samedi 12 Octobre 2019

Dur´

ee : 4 heures

MATH´

EMATIQUES

DEVOIR SURVEILL´

E N

2

Si, au cours de l’´epreuve, vous rep´erez ce qui vous semble ˆetre une erreur d’´enonc´e, d’une part vous le signalez au surveillant, d’autre part vous le signalez sur votre copie et vous poursuivez la composition en indiquant les raisons des initiatives que vous avez ´et´e amen´e `a prendre.

L’usage de calculatrice, t´el´ephone portable, ordinateur est interdit

AVERTISSEMENT

• Composer sur copies doubles grand carreaux uniquement.

• A la fin d’un exercice on change de page (ou de copie) obligatoirement.

• La pr´esentation, la lisibilit´e, l’orthographe, la qualit´e de la r´edaction, la clart´e et la pr´ecision des raisonnements entreront pour une part importante dans l’appr´eciation des copies.

• En particulier, les r´esultats non encadr´es et non-justifi´es ne seront pas pris en compte.

DEVOIR SURVEILL´E N◦2

EXERCICE 1

LE COURS ¸CA SERT AU CONCOURS

1. Compl´eter les d´eriv´ees et tableaux de variation suivants (limites et valeurs des bornes incluses) : f : x 7→ arccos x f0(x) = . . . . x f0(x) f f : x 7→ arctan x f0(x) = . . . . x f0(x) f f : x 7→ ch x f0(x) = . . . . x f0(x) f

2. Soit a ∈ R+∗. Ensemble de d´efinition et d´eriv´ee de f : x 7→ ax?

3. • Rappeler la formule liant un nombre complexe z, son conjugu´e et son module : . . . . • Rappeler la formule liant le nombre complexe z, ¯z et Re(z) : . . . .

• Rappeler l’in´egalit´e triangulaire ainsi que le cas d’´egalit´e dans cette in´egalit´e.

• Rappeler la d´efinition de l’ensemble U : U = {. . . .} • Comment tout nombre complexe de U peut-il s’´ecrire ? . . . . • Compl´eter (pour θ, θ0 ∈ R) :

Im(eiθ) = . . . eiθ _{= . . . . |e}iθ_{| = . . . . e}iθ _{= e}iθ0

⇔ . . . . • Rappeler les formules d’Euler.

• Rappeler la formule de Moivre.

• Donner l’expression des racines n-i`emes de l’unit´e. Que vaut leur somme ?

4. • Rappeler les primitives suivantes (α ∈ R, α 6= −1 et a ∈ R∗_{) :}

Z xα dx = . . . . Z ₋₁ √ 1 − x2 dx = . . . . Z 1 x2_{+ a}2 dx = . . . .

• Soit u une fonction d´erivable et strictement positive, rappeler : Z _u0_(x) u(x) dx = . . . . Z u0(x)u(x) dx = . . . . Z _u0_(x) pu(x) dx = . . . .

DEVOIR SURVEILL´E N◦2

EXERCICE 2

LES COMPLEXES C’EST SIMPLE 1. D´eterminer le module et l’argument principal (entre 0 et 2π) de1 + eiπ3

2019 . 2. D´eterminer les solutions complexes de z5_{= 1 − i.}

3. (a) D´eterminer les racines carr´ees de −5 − 12i.

(b) D´eterminer l’unique racine imaginaire pure de z3+ (2 + 3i)z − 3 + i = 0.

(c) En d´eduire une factorisation de z3+ (2 + 3i)z − 3 + i puis r´esoudre z3+ (2 + 3i)z − 3 + i = 0.

EXERCICE 3

L’INT ´EGRALE EN PLUSIEURS VOLUMES 1. D´eterminer Z _t 1 + t2 dt, Z _t2 t2_{+ 1} dt et Z _{ln t}

t dt (pr´eciser l’intervalle de validit´e des calculs) 2. Soit n ∈ N∗, A l’aide d’une int´egration par partie, calculer

Z e

1

xnln x dx. 3. A l’aide des formules d’Euler, lin´eariser sin4(t) puis en d´eduire la valeur de

Z π

0

sin4(t) dt 4. D´eterminer une primitive de : f : x 7→ 1

x2_{− x − 2}, en d´eduire une primitive de g : x 7→

x x2_{− x − 2}.

5. D´eterminer une primitive de : t 7→ 1 t2_{− 2t + 4}.

6. Calculer Z e

2

1

x ln(x)3 dx via le changement de variable u = ln(x).

7. Calculer Z π

0

e−tsin(2t) dt

EXERCICE 4

UN PEU COMPLEXE CETTE HISTOIRE DE TRIGONOM ´ETRIE Soit n ∈ N et x ∈ R, on se propose de calculer les sommes An=

n X k=0 cos2(kx) et Bn= n X k=0 sin2(kx). 1. Calculer An+ Bn.

2. (a) Montrer que An− Bn= n

X

k=0

cos(2kx).

(b) Soit θ ∈]0, 2π[, prouver que

n X k=0 cos(kθ) = sin(n+1)θ₂ cos nθ₂
sin θ₂
.

(c) En d´eduire une expression simplifi´ee de An− Bn. (On distinguera certaines valeurs de x.)

3. En d´eduire les expressions simplifi´ees de An et Bn.

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EXERCICE 5

RENCONTRE AVEC UN CLASSIQUE : LES INT ´EGRALES DE WALLIS On pose pour n ∈ N, In=

Z 1

0

(1 − x2)n dx. 1. Calculer la valeur des int´egrales I0, I1 et I2.

2. D´emontrer, `a l’aide d’une int´egration par partie, que pour tout n dans N∗, In=

2n

2n + 1In−1. 3. En d´eduire que pour tout n dans N, In=

22n(n!)2 (2n + 1)!. 4. On pose Wn= Z π 2 0

cosn(t) dt. Prouver que pour tout n ∈ N, In= W2n+1.

(La suite (Wn)n∈N est appel´ee la suite des int´egrales de Wallis et son ´etude est abord´ee dans de

nombreux sujets de concours. Vous venez d’´etablir l’expression de ses termes impairs.) 5. Prouver que la suite (Wn)n∈N est d´ecroissante, puis qu’elle converge.

(On ne cherchera pas `a d´eterminer sa limite.)

EXERCICE 6 (Bonus)

A N’ABORDER QUE SI TOUT LE RESTE A ´ET ´E TRAIT ´E ! Soit z ∈ C tel que |z| 6= 1. Montrer que pour tout n ∈ N∗,

    1 − zn 1 − z    6 1 − |z|n 1 − |z| .