DEVOIRSURVEILL´EN 1 MATH´EMATIQUES

Samedi 14 Septembre 2019

Dur´

ee : 3 heures (mais vous pouvez rester 4h...)

MATH´

EMATIQUES

DEVOIR SURVEILL´

E N

1

Si, au cours de l’´epreuve, vous rep´erez ce qui vous semble ˆetre une erreur d’´enonc´e, d’une part vous le signalez au surveillant, d’autre part vous le signalez sur votre copie et vous poursuivez la composition en indiquant les raisons des initiatives que vous avez ´et´e amen´e `a prendre.

L’usage de calculatrice, t´el´ephone portable, ordinateur est interdit

AVERTISSEMENT

• Composer sur copies doubles grand carreaux uniquement.

• A la fin d’un exercice on change de page (ou de copie) obligatoirement.

• La pr´esentation, la lisibilit´e, l’orthographe, la qualit´e de la r´edaction, la clart´e et la pr´ecision des raisonnements entreront pour une part importante dans l’appr´eciation des copies.

• En particulier, les r´esultats non encadr´es et non-justifi´es ne seront pas pris en compte.

DEVOIR SURVEILL´E N◦1

EXERCICE 1

RIEN NE SERT DE COURIR, IL FAUT CONNAˆITRE SON COURS 1. Soit f une fonction d´efinie sur I. Que signifie « ∃M ∈ R, ∀x ∈ I, f (x) 6 M » ?

2. ´Ecrire avec des quantificateurs la n´egation de « ∀ε > 0, ∃N ∈ N, ∀n > N ⇒ |un| < ε ».

3. L’assertion « x > 1 ⇒ ln(x) > 0 » est-elle vraie ou fausse ?

4. ´Ecrire en fran¸cais la n´egation de « Les amis de mes amis sont mes amis ».

5. ´Ecrire avec des quantificateurs la d´efinition d’une fonction impaire sur un intervalle I. 6. Rappeler l’´equation de la tangente `a la courbe d’une fonction f d´erivable en un point a. 7. Rappeler les d´eriv´ees (les fonctions g, u sont suppos´ees d´erivables, u(x) > 0 et n ∈ N) :

(a) f (x) = ln(u(x)) _{(b) f (x) =} 1

un_(x) (c) f (x) = cos(x) (d) f (x) = g ◦ u(x)

EXERCICE 2

TRAITER DES IN ´EGALIT ´ES MATH ´EMATIQUES (ET PAS SOCIALES) D´eterminer l’ensemble des solutions des ´egalit´es ou in´egalit´es suivantes :

1. 2x − 3 =√x − 1 2. |4 − x| 6 2x + 1 _3. x − 1 x + 3 > 2

EXERCICE 3

AVOIR LE SENS DE L’ANALYSE SUR LES FONCTIONS

1. Calculer les d´eriv´ees des fonctions ci-dessous en pr´ecisant leur ensemble de d´efinition au pr´ealable. (a) f (x) =√3 − 2 sin x (b) g(x) = ln(1 − ln x) (c) h(x) = (2e−x+ 1)7

2. D´eterminer les limites suivantes : (a) lim x→1₃ 1 − 4x 1 − 3x. (b) x→+∞lim ln  2x2− 1 1 + x2_{+ x}  . (c) lim x→1 x4− 1 (x − 1)2.

3. Soit f la fonction d´efinie sur R\{−1} par f (x) = −2x

2_{+ x + 1}

x + 1 .

Prouver l’existence d’une asymptote oblique `a Cf en +∞, pr´eciser son ´equation et ´etudier les positions

relatives de la courbe et son asymptote.

EXERCICE 4

ET POUR LA SUITE : DES SUITES !...

On consid`ere la suite (un)n∈N d´efinie par : u0 = 1 et ∀n ∈ N, un+1= 2un+ n − 1

1. Montrer par r´ecurrence que : _{∀n ∈ N, u}n> 1.

2. Montrer alors que : ∀n ∈ N, un> n.

3. En d´eduire la limite de la suite (un)n∈N.

4. Montrer que la suite (un)n∈N est croissante.

5. On pose, pour tout n de N, vn= un+ n.

Montrer que la suite (vn)n∈N est une suite g´eom´etrique dont on pr´ecisera le terme initial.

Donner ensuite l’expression de un en fonction de n.

DEVOIR SURVEILL´E N◦1

EXERCICE 5 : PROBL`

EME

LES RACINES SONT CARR ´EES, ET VOS RAISONNEMENTS ?

Le but de ce probl`eme est l’´etude de deux fonctions : f : x 7→r x − 1

x + 1 et g : x 7→ xf (x)

PARTIE A - ´

ETUDE DE f ET DE SA BIJECTION R ´

ECIPROQUE

1. (a) D´eterminer l’ensemble de d´efinition de f , not´e Df.

(b) La fonction f est-elle paire ? impaire ? Justifier.

2. D´eterminer les limites de f aux bornes de son ensemble de d´efinition. On pr´ecisera la pr´esence ´eventuelle d’asymptotes horizontales ou verticales. 3. (a) Prouver que : ∀x > 1, f (x) − f (1)

x − 1 = 1 √

x2_{− 1}.

(b) En d´eduire que f n’est pas d´erivable en x = 1. 4. ´Etudier les variations de la fonction f .

Dresser le tableau de variation complet de f .

5. (a) Prouver que f est une bijection de [1, +∞[ vers un intervalle que l’on d´eterminera. (b) D´eterminer l’expression de f−1.

PARTIE B - ´

ETUDE D’UNE ASYMPTOTE OBLIQUE DE g

5. Pr´eciser Dg. 6. Prouver que : ∀x ∈ Dg\{1}, g0(x) = x2+ x − 1 (x + 1)2qx−1 x+1 . 7. Dresser le tableau de variation de g.

On pr´ecisera les limites en les justifiant.

8. g est-elle major´ee, minor´ee, born´ee sur ] − ∞, −1[ ? −3 est-il un majorant de g sur ] − ∞, −1[ ?

9. (a) Prouver que : ∀(a, b) ∈ (R∗+)2,

√ a −√b = √a − b a +√b. (b) En d´eduire que : ∀x > 1, g(x) − x = −2x x + 1  1 f (x) + 1  .

(c) En d´eduire l’existence d’une asymptote oblique `a la courbe de g en +∞. Pr´eciser son ´equation.

EXERCICE 6 (Bonus)

A N’ABORDER QUE SI TOUT LE RESTE A ´ET ´E TRAIT ´E ! D´emontrer que :

∀(x, y) ∈ R2, (|x + y| < 1 et |x − y| < 1) ⇔ |x| + |y| < 1