DEVOIRSURVEILL´EN 3 MATH´EMATIQUES

Dur´

ee : 4 heures

MATH´

EMATIQUES

DEVOIR SURVEILL´

E N

3

Si, au cours de l’´epreuve, vous rep´erez ce qui vous semble ˆetre une erreur d’´enonc´e, d’une part vous le signalez au surveillant, d’autre part vous le signalez sur votre copie et vous poursuivez la composition en indiquant les raisons des initiatives que vous avez ´et´e amen´e `a prendre.

L’usage de calculatrice, t´el´ephone portable, ordinateur est interdit

AVERTISSEMENT

• Composer sur copies doubles grand carreaux uniquement.

• A la fin d’un exercice on change de page (ou de copie) obligatoirement.

• La pr´esentation, la lisibilit´e, l’orthographe, la qualit´e de la r´edaction, la clart´e et la pr´ecision des raisonnements entreront pour une part importante dans l’appr´eciation des copies.

• En particulier, les r´esultats non encadr´es et non-justifi´es ne seront pas pris en compte.

EXERCICE 1

R ´ECITER SON COURT ¸CA NE DOIT PAS ˆETRE LONG ! 1. Si A est un ensemble de cardinal n, quel est le nombre de p-listes d’´el´ements de A ? 2. Si E est un ensemble `a p ´el´ements et F une partie `a n ´el´ements.

Quel est le nombre d’injections de E dans F ? (on fera deux cas) 3. Rappeler la valeur de Sn= n X k=0 k. 4. Rappeler la valeur de S = n X k=m

uk o`u (uk)k∈N est une suite g´eom´etrique de raison q 6= 1.

5. Rappeler l’identit´e remarquable de factorisation de an− bn_.

6. Rappeler la formule sur les coefficients binomiaux permettant d’´ecrire le triangle de Pascal. 7. Donner en justifiant les valeurs de An=

n X k=0 n k  et Bn= n X k=0 (−1)kn k  . 8. Soit f : E → F , ´ecrire avec des quantificateurs la d´efinition de f injective. 9. Soit f : E → F , ´ecrire avec des quantificateurs la d´efinition de f surjective.

10. Soit A ∈ Mn,p(K) et B ∈ Mp,q(K), recopier et compl´eter C = AB ∈ . . . et ci,j = . . .

11. Soit A une matrice carr´ee de taille n inversible et λ ∈ K∗, recopier et compl´eter

(A−1)−1= . . . (λA)−1= . . . (AB)−1= . . . (tA)−1= . . . .

EXERCICE 2

D ´ENOMBREMENT

Dans cet exercice, pour les questions 1. et 2. on pourra se contenter de donner les formules math´ ema-tiques, sans donner la valeur num´erique, mais on expliquera la d´emarche.

1. (a) Combien de num´eros de t´el´ephones peut-on cr´eer avec 10 chiffres si on n’impose aucune r`egle ? (b) Sachant qu’un t´el´ephone fixe en France commence par 01, 02, 03, 04 ou 05, combien de num´eros

de t´el´ephones fixes peut-on cr´eer en France ?

(c) Si on imposait de plus que les 10 chiffres soient diff´erents, combien y-aurait-il de num´eros de t´el´ephones fixes en France ?

(d) Un ´etudiant veut appeler chez un ami. Il sait qu’il commence par 05 et que les pairs de nombres sont 49, 18, 21 et 12 mais il ne connait pas l’ordre. Combien de num´eros sont possibles ?

2. Une course en ligne de Mario Kart oppose 20 concurrents, dont Toad. Un podium est un ensemble ordonn´e compos´e de 3 personnes.

(a) Combien y a-t-il de podiums possibles ?

(b) Combien y a-t-il de podiums possibles o`u Toad est premier ? (c) Combien y a-t-il de podiums possibles dont Toad fait partie ?

(d) Reprendre les questions 2.(a) et 2.(c) en supposons qu’il n’y a pas l’ordre sur le podium. (les 3 premiers sont qualifi´es pour la course suivante).

3. Soit E un ensemble fini de cardinal n ∈ N. On appelle P(E) le nombre de parties de E. (a) Rappeler la valeur Card(P(E)).

(b) Soit k ∈ [[0, n]], combien existe-t-il de parties X de E comportant exactement k ´el´ements ? (c) En d´eduire la valeur de X

X∈P(E)

EXERCICE 3

(S)    −x1 −2x2 −x3 = −1 −x1 +(m − 2)x2 −3x3 = −m − 3 2x1 +(2m + 2)x2 +(m − 1)x3 = −2m − 1

2. En d´eduire les valeurs de m pour lesquels la matrice Am=

  −1 −2 −1 −1 (m − 2) −3 2 2m + 2 m − 1   est inversible.

EXERCICE 4

EQUATIONS DIFF ´ERENTIELLES (D’apr`es concours CCINP 2018) 1. R´esoudre sur ]0, +∞[ l’´equation diff´erentielle xy0− (2x2_{− 1)y = x.}

2. (a) Rappeler l’expression g´en´erale des solutions pour une ´equation lin´eaire homog`ene du second ordre `a coefficients r´eels et constant en fonction de la valeur de ∆ (discriminant de l’´equation caract´eristique associ´ee).

Soit a une constante r´eelle. On consid`ere l’´equation diff´erentielle : u00+ (a − 1)u0+ u = 0 (E) (b) R´esoudre l’´equation (E) pour a = 3.

(c) A quelle condition sur a les solutions de cette ´equation sont-elles born´ees sur R ? 3. On souhaite maintenant r´esoudre l’´equation diff´erentielle :

(F ) : x2y00+ axy0+ y = 0 sur I =]0, +∞[ (a) Pour t ∈ R, on pose u(t) = y(et) o`u y est une fonction deux fois d´erivable.

Prouver que u est aussi deux fois d´erivable et calculer u0 et u00 en fonction de y0 et y00. (b) Montrer que y est solution de (F ) sur I si, et seulement si, u est solution de (E) sur R.

(c) On suppose dans cette question a = 3, d´eduire du 2.(b) les solutions de (F ).

EXERCICE 5

SOMME ET PRODUITS

1. Rappeler la d´efinition de ch x et sh x et montrer que ch est paire et sh est impaire. 2. Soit x un nombre r´eel non nul.

(a) Montrer que

n X k=1 ekx= e(n+1)x2 sh nx 2
sh x₂
. (b) En d´eduire que X 16i,j6n ex(i−j)= sh nx 2
sh x₂
!2 . 3. Calculer enfin la valeur de X

06i6j6n

PROBL`

EME

Partie A

On d´efinit les applications :

f :  M_{2(R) → M2(R)} M 7→ M2 et g :    M_{2(R) → M2(R)} M 7→  3 −1 2 −2  × M 1. ´Etude de l’injectivit´e de f (a) On pose R =  1 −1 1 −1  et S =  0 1 1 0  , calculer f (R) et f (S). (b) L’application f est-elle injective ? Justifier.

2. ´Etude de la surjectivit´e de f

Soit M ∈ M2(R) une solution de l’´equation M2= D o`u D =



−1 0 0 0

 . (a) Prouver que M et D commutent.

(b) En d´eduire M est une matrice diagonale.

(c) Conclure concernant les solutions de l’´equation M2 = D. (d) L’application f est-elle surjective ? Justifier.

3. ´Etude de f−1(S2(R))

(a) Rappeler la d´efinition d’une matrice sym´etrique et antisym´etrique.

On note S2(R) l’ensemble des matrices sym´etriques et A2(R) celui des matrices antisym´etriques.

(b) Prouver que si une matrice S de M2(R) est sym´etrique alors f (S) est aussi sym´etrique.

(c) Prouver que f (A2(R)) ⊂ S2(R). A-t-on f−1(S2(R)) = A2(R) ?

4. ´Etude de la bijectivit´e de g (a) Montrer que la matrice



3 −1 2 −2



est inversible et d´eterminer son inverse. (b) Justifier que g est bijective.

Partie B

On pose N =   0 1 1 0 0 1 0 0 0   ainsi que T = 2I3+ N et A = N +tN .

5. N est-elle inversible ? Justifier. 6. Calculer Nn _{pour n ∈ N.}

7. En d´eduire la valeur de Tn pour n ∈ N∗.

8. Justifier que A est inversible et A−1 `a l’aide de l’algorithme du pivot de Gauss-Jordan.

9. On pose J = A + I3. Calculer J2, en d´eduire A2 en fonction de I3 et J , puis en fonction de I3 et A.

10. En d´eduire d’une autre fa¸con que A est inversible et retrouver la valeur de A−1 du 8. 11. (Hors-Bar`eme) Calculer An pour n ∈ N.

EXERCICE 6 (Bonus)

A N’ABORDER QUE SI TOUT LE RESTE A ´ET ´E TRAIT ´E ! On appelle matrice stochastique de Mn(R) toute matrice telle :

• tous ses coefficients soient positifs ou nuls. • la somme des coefficients de chaque ligne vaut 1.

1. ´Ecrire avec des quantificateurs la d´efinition d’une matrice M = (mi,j)16i,j6n stochastique.

2. Prouver que le produit de deux matrices stochastique est une matrice stochastique. Correction Soit x ∈ R∗. 1. On a ch x = e x_{+ e}−x 2 et sh x = ex− e−x 2 .

La fonction sh est impaire et la fonction ch est paire. 2. (a) n X k=1 ekx = n X k=1 (ex)k = ex1 − e xn 1 − ex = ex1 − e xn 1 − ex = exe xn/2_(e−xn/2_{− e}xn/2₎ ex/2_(e−x/2_{− e}x/2₎ = e(n+1)x/2− sh(xn/2) − sh(x/2) = e(n+1)x/2sh(xn/2) sh(x/2) .

(b) Avec le 2.(a) on reconnait le produit de deux sommes que l’on sait calculer : X 16i,j6n ex(i−j) = n X i=1 n X j=1 ex(i−j) = n X i=1 exi !  n X j=1 e−xj   = n X i=1 (ex)i !  n X j=1 (e−x)j   = e(n+1)x/2sh(xn/2) sh(x/2) × e −(n+1)x/2sh(−xn/2) sh(−x/2) = e(n+1)x/2.e−(n+1)x/2.sh(xn/2) sh(x/2) × − sh(xn/2) − sh(x/2) =  sh(xn/2) sh(x/2) 2

3. X 06i6j6n ex(i−j) = n X j=0 j X i=0 exi−xj = n X j=0 ejx j X i=0 e−xi = n X j=0 ejx1 − e −(j+1)x 1 − e−x = 1 1 − e−x   n X j=0 ejx− e−x   = 1 1 − e−x 1 − e(n+1)x 1 − ex − (n + 1)e −x !