• Aucun résultat trouvé

DS n°8 : Espaces vectoriels-Analyse asymptotique-Etude de fonctions - PCSI-PSI AUX ULIS

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2021

Partager "DS n°8 : Espaces vectoriels-Analyse asymptotique-Etude de fonctions - PCSI-PSI AUX ULIS"

Copied!
4
0
0

Texte intégral

(1)

Samedi 18 mars 2017

Dur´

ee : 4 heures

MATH´

EMATIQUES

DEVOIR SURVEILL´

E N

8

Si, au cours de l’´epreuve, vous rep´erez ce qui vous semble ˆetre une erreur d’´enonc´e, d’une part vous le signalez au surveillant, d’autre part vous le signalez sur votre copie et vous poursuivez la composition en indiquant les raisons des initiatives que vous avez ´et´e amen´e `a prendre.

L’usage de calculatrice est interdit

AVERTISSEMENT

La pr´esentation, la lisibilit´e, l’orthographe, la qualit´e de la r´edaction, la clart´e et la pr´ eci-sion des raisonnements entreront pour une part importante dans l’appr´eciation des copies. En particulier, les r´esultats non encadr´es et non-justifi´es ne seront pas pris en compte.

(2)

DS N◦8 PCSI

Partie 1 - Questions de cours

1. Donner 5 exemples d’espaces vectoriels.

2. Enoncer la caract´erisation de F est un sous-espace vectoriel de E.

3. Donner la d´efinition d’un espace vectoriel engendr´e par une famille de vecteurs (e1, ..., ep).

4. Donner la d´efinition de sous-espaces vectoriels en somme directe. 5. Donner la d´efinition de sous-espaces vectoriels suppl´ementaires dans E. 6. Donner la d´efinition de famille libre.

7. Donner la d´efinition de famille g´en´eratrice de E. 8. Donner la d´efinition de base de E.

9. D´emontrer que l’ensemble des matrices sym´etriques et l’ensemble des matrices antisym´etriques sont suppl´ementaires dans Mn(R).

10. D´eterminer une base de C vu comme R-espace vectoriel et une base de C vu comme C-espace vectoriel.

Partie 2 - Exercices d’applications

Exercice 1: Dans E = R3[X] , on s’int´eresse `a l’ensemble H = {P ∈ R3[X] | P (1) = 0}.

1. Montrer que c’est un sous-espace vectoriel de R3[X].

2. Donner une base de H.

Exercice 2: Soit F = {f ∈ C1(R, R) | f (0) = f0(0) = 0} et G = {x 7→ ax + b | (a, b) ∈ R2}. 1. Montrer que F et G sont des R-espaces vectoriels.

2. Montrer que F et G sont suppl´ementaires dans C1(R, R).

Exercice 3: Dire si les familles suivantes sont libres ou li´ees dans l’espace vectoriel E pr´ecis´e. 1. F =     1 2 3  ,   1 −1 3  ,   1 −1 2    dans E = R3. 2. F =(cos, sin, cos2, arctan) dans E = C∞(R, R). 3. F = ((X − k)k)1≤k≤n dans E = Rn[X]. 4. F = (I3, M, M2) o`u M =   3 −2 −1 1 0 −1 0 0 2   dans E = M3(R).

(3)

DS N◦8 PCSI

Probl`

eme 1 - Analyse

Dans tout ce probl`eme, on notera sh la fonction sinus hyperbolique, ch la fonction cosinus hyperbolique et th la fonction tangente hyperbolique d´efinie sur R par

∀x ∈ R, th(x) = sh(x) ch(x). PARTIE 1 : Etude d’une fonction

Soit f la fonction d´efinie sur R∗ par ∀x ∈ R∗, f (x) = x.sh 1x. 1. Etudier la parit´e de f .

2. (a) Donner un ´equivalent de la fonction sh en 0 et en d´eduire les limites de f en +∞ et en −∞. (b) D´eterminer la limite de f en 0.

3. Justifier que f est d´erivable sur R∗ et montrer que ∀x ∈ R∗, f0(x) =  th 1 x  − 1 x  × ch 1 x  4. Montrer que ∀X ∈ R∗+, th(X) < X.

5. En d´eduire le tableau de variation de f .

6. Donner le d´eveloppement `a l’ordre 4 de la fonction X 7→ sh(X)X .

7. En d´eduire qu’un voisinage de +∞ ou de −∞ la fonction f admet un d´eveloppement de la forme f (x) = a0+ a1 x + a2 x2 + a3 x3 + a4 x4 +O  1 x4 

o`u a0, a1, a2, a3 et a4 sont des r´eels `a d´eterminer.

8. Montrer que la fonction x 7→ f x1 d´efinie sur R∗ est prolongeable sur R en une fonction F continue. Montrer que F est d´erivable sur R.

PARTIE 2 : Etude d’une ´equation diff´erentielle On consid`ere l’´equation diff´erentielle (E) suivante

(E) : xy0+ y = ch(x)

1. R´esoudre l’´equation (E) sur R∗+.

2. R´esoudre l’´equation (E) sur R∗−.

3. Montrer que la fonction F d´efinie dans la partie 1 est l’unique solution de (E) sur R. PARTIE 3 : Etude d’une suite

1. Montrer que, pour n ∈ N∗, l’´equation

f (x) = n + 1 n admet une unique solution dans R∗+. On la note un.

2. Montrer que la suite (un)n∈N∗ est croissante.

3. Montrer que la suite (un)n∈N∗ tend vers +∞ quand n tend vers +∞.

4. En utilisant la question 7 de la partie 1, d´eterminer un ´equivalent en +∞ de la suite (un)n∈N∗.

(4)

DS N◦8 PCSI

Probl`

eme 2 - Alg`

ebre

Les deux parties sont enti`erement ind´ependantes. PARTIE 1 : Espace vectoriel de fonctions

On note E = C(R, R) l’ensemble des fonctions continues de R dans R. On note F le sous-ensemble de E constitu´e des fonctions f telles que

∃(a, b, c) ∈ R3, ∀x ∈ R, f (x) = a sin(x) + b sin(2x) + c sin(3x). Pour k ∈ {1, 2, 3}, on note fk: x 7→ sin(kx).

1. Montrer que la famille (f1, f2, f3) est une famille libre de F .

2. Montrer que F est un R-espace vectoriel et d´eterminer une base de F . 3. Soit g la fonction d´efinie sur R par g(x) = sin3(x).

Montrer que g ∈ F et d´eterminer ses coordonn´ees dans la base que vous avez propos´ee. 4. La fonction cos appartient-elle `a F ?

PARTIE 2 : Espace vectoriel de suites

Soit U l’ensemble des suites r´eelles (un)n∈N telles que

∀n ∈ N, un+2= un+1+ 2un

1. Montrer que U est un R-espace vectoriel. 2. Proposer une base de U .

3. Soit c la suite de U d´efinie par c0 = 1 et c1 = 0 et soit d la suite de U d´efinie par d0 = 0 et d1 = 1.

(a) Montrer que la famille (c, d) est libre.

(b) Montrer que la famille (c, d) est une base de U .

(c) Donner les coordonn´ees de la suite x d´efinie par u0= x et u1 = y dans chacune de ces bases.

PARTIE 3 : Espace vectoriel de vecteurs

Dans E = R4, on consid`ere les deux ensembles suivants

F =(x, y, z, t) ∈ R4, 2x − y − z = 0 et G =(a + b, a + b, b + c, 2a + b), (a, b, v) ∈ R3 1. D´eterminer une base de F , de G et de F ∩ G.

2. Montrer que F + G = R4. A-t-on F ⊕ G = R4?

3. Proposer un suppl´ementaire de F dans R4. (V´erifier que c’en est bien un) 4. Proposer un suppl´ementaire de G dans R4.

5. Bonus Quelle est la dimension de F ? de G ? de F ∩ G ?

Références

Documents relatifs

Si, au cours de l’´ epreuve, vous rep´ erez ce qui vous semble ˆ etre une erreur d’´ enonc´ e, d’une part vous le signalez au surveillant, d’autre part vous le signalez sur

Cet article présente un modèle de matériaux hyperélastique pour évaluer le comportement mécanique de feuilles composites renforcées de fibres multicouches. Les paramètres du

11 An aerospace panel: (a) in free-state, and (b) constrained on its inspection fixture set.. 12 Motion of a continuum body.. 13 Test specimens.. 14 Three point bending test using

Figure 7 Comparison between numerical results and experimental data for three-point bending

The Ragone plot is one of the most conventional tools and presents the energy density versus the power density of different energy storage systems (ESSs) [4] [5] [6]. Regarding

Relation (4) can be considered as a first approximation for thin specimens. In the present study, this analytical solution is first used for comparison with

à l’élaboration d’une organisation économique de la récolte forestière effectuée principalement en sous-traitance par des PME. Les PME effectuent, au Québec, la majorité de

23 Le mouvement #YoSoy132 et la grève générale aux Antilles représentent des cas intéressants d’appropriation de l’espace et des contenus médiatiques par