Samedi 18 mars 2017
Dur´
ee : 4 heures
MATH´
EMATIQUES
DEVOIR SURVEILL´
E N
◦8
Si, au cours de l’´epreuve, vous rep´erez ce qui vous semble ˆetre une erreur d’´enonc´e, d’une part vous le signalez au surveillant, d’autre part vous le signalez sur votre copie et vous poursuivez la composition en indiquant les raisons des initiatives que vous avez ´et´e amen´e `a prendre.
L’usage de calculatrice est interdit
AVERTISSEMENT
La pr´esentation, la lisibilit´e, l’orthographe, la qualit´e de la r´edaction, la clart´e et la pr´ eci-sion des raisonnements entreront pour une part importante dans l’appr´eciation des copies. En particulier, les r´esultats non encadr´es et non-justifi´es ne seront pas pris en compte.
DS N◦8 PCSI
Partie 1 - Questions de cours
1. Donner 5 exemples d’espaces vectoriels.
2. Enoncer la caract´erisation de F est un sous-espace vectoriel de E.
3. Donner la d´efinition d’un espace vectoriel engendr´e par une famille de vecteurs (e1, ..., ep).
4. Donner la d´efinition de sous-espaces vectoriels en somme directe. 5. Donner la d´efinition de sous-espaces vectoriels suppl´ementaires dans E. 6. Donner la d´efinition de famille libre.
7. Donner la d´efinition de famille g´en´eratrice de E. 8. Donner la d´efinition de base de E.
9. D´emontrer que l’ensemble des matrices sym´etriques et l’ensemble des matrices antisym´etriques sont suppl´ementaires dans Mn(R).
10. D´eterminer une base de C vu comme R-espace vectoriel et une base de C vu comme C-espace vectoriel.
Partie 2 - Exercices d’applications
Exercice 1: Dans E = R3[X] , on s’int´eresse `a l’ensemble H = {P ∈ R3[X] | P (1) = 0}.
1. Montrer que c’est un sous-espace vectoriel de R3[X].
2. Donner une base de H.
Exercice 2: Soit F = {f ∈ C1(R, R) | f (0) = f0(0) = 0} et G = {x 7→ ax + b | (a, b) ∈ R2}. 1. Montrer que F et G sont des R-espaces vectoriels.
2. Montrer que F et G sont suppl´ementaires dans C1(R, R).
Exercice 3: Dire si les familles suivantes sont libres ou li´ees dans l’espace vectoriel E pr´ecis´e. 1. F = 1 2 3 , 1 −1 3 , 1 −1 2 dans E = R3. 2. F =(cos, sin, cos2, arctan) dans E = C∞(R, R). 3. F = ((X − k)k)1≤k≤n dans E = Rn[X]. 4. F = (I3, M, M2) o`u M = 3 −2 −1 1 0 −1 0 0 2 dans E = M3(R).
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Probl`
eme 1 - Analyse
Dans tout ce probl`eme, on notera sh la fonction sinus hyperbolique, ch la fonction cosinus hyperbolique et th la fonction tangente hyperbolique d´efinie sur R par
∀x ∈ R, th(x) = sh(x) ch(x). PARTIE 1 : Etude d’une fonction
Soit f la fonction d´efinie sur R∗ par ∀x ∈ R∗, f (x) = x.sh 1x. 1. Etudier la parit´e de f .
2. (a) Donner un ´equivalent de la fonction sh en 0 et en d´eduire les limites de f en +∞ et en −∞. (b) D´eterminer la limite de f en 0.
3. Justifier que f est d´erivable sur R∗ et montrer que ∀x ∈ R∗, f0(x) = th 1 x − 1 x × ch 1 x 4. Montrer que ∀X ∈ R∗+, th(X) < X.
5. En d´eduire le tableau de variation de f .
6. Donner le d´eveloppement `a l’ordre 4 de la fonction X 7→ sh(X)X .
7. En d´eduire qu’un voisinage de +∞ ou de −∞ la fonction f admet un d´eveloppement de la forme f (x) = a0+ a1 x + a2 x2 + a3 x3 + a4 x4 +O 1 x4
o`u a0, a1, a2, a3 et a4 sont des r´eels `a d´eterminer.
8. Montrer que la fonction x 7→ f x1 d´efinie sur R∗ est prolongeable sur R en une fonction F continue. Montrer que F est d´erivable sur R.
PARTIE 2 : Etude d’une ´equation diff´erentielle On consid`ere l’´equation diff´erentielle (E) suivante
(E) : xy0+ y = ch(x)
1. R´esoudre l’´equation (E) sur R∗+.
2. R´esoudre l’´equation (E) sur R∗−.
3. Montrer que la fonction F d´efinie dans la partie 1 est l’unique solution de (E) sur R. PARTIE 3 : Etude d’une suite
1. Montrer que, pour n ∈ N∗, l’´equation
f (x) = n + 1 n admet une unique solution dans R∗+. On la note un.
2. Montrer que la suite (un)n∈N∗ est croissante.
3. Montrer que la suite (un)n∈N∗ tend vers +∞ quand n tend vers +∞.
4. En utilisant la question 7 de la partie 1, d´eterminer un ´equivalent en +∞ de la suite (un)n∈N∗.
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Probl`
eme 2 - Alg`
ebre
Les deux parties sont enti`erement ind´ependantes. PARTIE 1 : Espace vectoriel de fonctions
On note E = C(R, R) l’ensemble des fonctions continues de R dans R. On note F le sous-ensemble de E constitu´e des fonctions f telles que
∃(a, b, c) ∈ R3, ∀x ∈ R, f (x) = a sin(x) + b sin(2x) + c sin(3x). Pour k ∈ {1, 2, 3}, on note fk: x 7→ sin(kx).
1. Montrer que la famille (f1, f2, f3) est une famille libre de F .
2. Montrer que F est un R-espace vectoriel et d´eterminer une base de F . 3. Soit g la fonction d´efinie sur R par g(x) = sin3(x).
Montrer que g ∈ F et d´eterminer ses coordonn´ees dans la base que vous avez propos´ee. 4. La fonction cos appartient-elle `a F ?
PARTIE 2 : Espace vectoriel de suites
Soit U l’ensemble des suites r´eelles (un)n∈N telles que
∀n ∈ N, un+2= un+1+ 2un
1. Montrer que U est un R-espace vectoriel. 2. Proposer une base de U .
3. Soit c la suite de U d´efinie par c0 = 1 et c1 = 0 et soit d la suite de U d´efinie par d0 = 0 et d1 = 1.
(a) Montrer que la famille (c, d) est libre.
(b) Montrer que la famille (c, d) est une base de U .
(c) Donner les coordonn´ees de la suite x d´efinie par u0= x et u1 = y dans chacune de ces bases.
PARTIE 3 : Espace vectoriel de vecteurs
Dans E = R4, on consid`ere les deux ensembles suivants
F =(x, y, z, t) ∈ R4, 2x − y − z = 0 et G =(a + b, a + b, b + c, 2a + b), (a, b, v) ∈ R3 1. D´eterminer une base de F , de G et de F ∩ G.
2. Montrer que F + G = R4. A-t-on F ⊕ G = R4?
3. Proposer un suppl´ementaire de F dans R4. (V´erifier que c’en est bien un) 4. Proposer un suppl´ementaire de G dans R4.
5. Bonus Quelle est la dimension de F ? de G ? de F ∩ G ?