DEVOIRSURVEILL´EN 4SujetCCINP MATH´EMATIQUES

(1)

Dur´

ee : 4 heures

MATH´

EMATIQUES

DEVOIR SURVEILL´

E N

◦

4 Sujet CCINP

Si, au cours de l’épreuve, vous repérez ce qui vous semble être une erreur d’énoncé, d’une part vous le signalez au surveillant, d’autre part vous le signalez sur votre copie et vous poursuivez la composition en indiquant les raisons des initiatives que vous avez été amené à prendre.

L’usage de calculatrice, t´el´ephone portable, ordinateur est interdit

AVERTISSEMENT • Composer sur copies doubles grand carreaux uniquement.

• A la fin d’un exercice on change de page (ou de copie) obligatoirement.

• La présentation, la lisibilité, l’orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l’appréciation des copies.

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DEVOIR SURVEILL´E N◦4

PROBL`

EME - Autour de la longueur d’une courbe

CCP PSI 2014

Notations, d´

efinitions et rappels

Pour toute fonction f : [a, b] → R de classe C1, on note L(f ) =

Z b

a

p

1 + (f0_(t))2_dt

une expression int´egrale de la longueur de la courbe repr´esentative de f .

I. Quelques exemples de calculs de longueurs

I.1. Vérifier la formule donnant L(f ) pour f définie sur [0, 1] par f (t) = t. Via le calcul effectif et l’interprétation graphique.

I.2. Calculer L(f ) pour f d´efinie sur [0, 1] par f (t) = ch(t).

I.3. Un exemple de calcul de longueur d’un arc de courbe. I.3.1 Calculer L(f ) pour f d´efinie sur [0,√1

2] par f (t) =

√ 1 − t2_.

I.3.2 Retrouver le résultat de la question précédente sans calcul, par des considérations géométriques. I.4. Soit f définie sur [0, 1] par f (t) = t2.

Calculer L(f ), en utilisant une intégration par parties ou en s’inspirant de la question I.2. On pourra notamment calculer la dérivée de u 7→ ln(u +pu2_{+ 1).}

II. Un calcul approch´

e de longueur

L’objectif de cette partie est d’effectuer un calcul approché de la longueur d’un arc d’hyperbole. On considère, pour ce faire, la fonction f définie sur [1₂, 1] par f (t) = 1_t.

II.1. Expression int´egrale de L(f )

II.1.1 Donner une expression int´egrale de L(f ).

II.1.2 Montrer que L(f ) est aussi la longueur de l’arc d’hyperbole correspondant `a la restriction de f `a l’intervalle [1, 2].

II.2. Expression de L(f ) sous forme de s´erie num´erique

II.2.1 Soit α ∈ R \ N. Rappeler le développement en série entière de la fonction u 7→ (1 + u)α_{, en}

pr´ecisant son domaine de validit´e. II.2.2 Montrer que, pour tout t ∈]0, 1[, on a :

√ 1 + t4 t2 = 1 t2 + +∞ X n=1 (−1)n−1 (2n)! (2n − 1)22n_(n!)2t 4n−2

II.2.3 On note, pour tout entier n, an=

(2n)! (2n − 1)22n_(n!)2.

Montrer que la suite (an)n∈N∗ est d´ecroissante et donner un ´equivalent de a_n quand n → +∞.

II.2.4 En déduire une expression de L(f ) comme somme d’une série numérique (on vérifiera avec soin les hypothèses du théorème utilisé).

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III. Longueur du graphe des fonctions puissances

On s’int´eresse ici, pour tout entier n > 1, aux fonctions puissances pnd´efinie sur [0, 1] par :

∀t ∈ [0, 1], p_n(t) = tn On d´esigne par (λn)n∈N∗ la suite d´efinie par :

∀n ∈ N∗, λn= L(pn) =

Z 1

0

p

1 + n2_t2n−2_dt

III.1. Conjecture sur la limite ´eventuelle de (λn)n∈N∗

III.1.1 D´eterminer λ1 et λ2.

III.1.2 En tra¸cant, sur un mˆeme graphe, les courbes repr´esentatives de quelques fonctions pn avec n de

plus en plus grand, conjecturer la convergence de la suite (λn)n∈N∗ ainsi que la valeur de sa limite

´eventuelle.

III.2. Convergence et limite de la suite (λn)n∈N∗

III.2.1 Montrer que, pour tout entier n ∈ N∗, on a λn− n Z 1 0 tn−1dt = µn o`u µn= Z 1 0 dt √ 1 + n2_t2n−2_{+ nt}n−1

III.2.2 Montrer que λn< 2 pour n ∈ N∗.

III.2.3 Déterminer la limite de la suite (µn)n∈N∗ (on citera avec précision le théorème utilisé).

III.2.4 En d´eduire la convergence de la suite (λn)n∈N∗ ainsi que la valeur de sa limite.

III.3. Plus g´en´eralement, montrer que si f : [0, 1] → R est une fonction de classe C1_{, croissante et telle que}

f (0) = 0 et f (1) = 1, on a alors L(f ) < 2.

IV. Un r´

esultat inattendu

IV.1. Étude de l’intégrale généralisée Z 1

0

sin(t) t dt IV.1.1 Montrer que l’intégrale généralisée

Z 1

0

sin(t)

t dt est convergente. IV.1.2 Montrer que pour tout x > 1, on a

Z x 1 sin(t) t dt = cos(1) − cos(x) x − Z x 1 cos(t) t2 dt

En déduire que l’intégrale généralisée Z +∞

1

sin(t)

t dt est convergente. IV.1.3 Montrer que l’intégrale généralisée

Z +∞ 1 cos(2t) t dt est convergente. Z +∞ sin2(t)

(4)

IV.2. On désigne par g la fonction définie sur ]0, 1] par g(t) = 1_tsin 1_t et par f la fonction définie sur le même intervalle par f (x) =

Z 1

x

g(t) dt.

IV.2.1 Montrer que la fonction f se prolonge par continuité en 0. On notera encore f ce prolongement. IV.2.2 Montrer que f est continue sur [0, 1] et indéfiniment dérivable sur ]0, 1].

IV.2.3 Montrer que

lim

x→0+

Z 1

x

|g(t)| dt = +∞

IV.3. Pour tout réel x ∈]0, 1], on désigne par λ(x) la longueur de la courbe représentative de la restriction de la fonction f au segment [x, 1]. Donner une expression intégrale de λ(x) pour x ∈]0, 1], puis montrer que lim

x→0+λ(x) = +∞. Donner une interpr´etation de ce r´esultat.

V. Continuit´

e de la fonction longueur

On rappelle que l’application

f 7→ kf k∞= sup t∈[0,1]

|f (t)|

d´efinit une norme sur l’espace E = C0_{([0, 1], R) des fonctions continues de [0, 1] dans R.}

On note E1 = C1([0, 1], R) l’espace des fonctions continˆument d´erivables de [0, 1] dans R et pour toute

fonction f ∈ E1, on note

kf k = |f (0)| + kf0k∞

V.1. Comparaison des normes k.k et k.k∞

V.1.1 Montrer que l’application f 7→ kf k d´efinit une norme sur E1.

V.1.2 Montrer que

∀f ∈ E1, kf k∞6 kf k

V.1.3 Les normes k.k et k.k∞ sont-elles ´equivalentes sur E1?

On dit que deux normes k.k et k.k∞ sont ´equivalentes sur E1 lorsque :

∃(α, β) ∈ (R+)2, ∀f ∈ E1, αkf k∞6 kf k 6 βkf k∞

V.2. On d´esigne par (fn)n∈N∗ la suite de fonctions d´efinie sur [0, 1] par

∀n ∈ N∗, ∀t ∈ [0, 1], fn(t) =

sin(nπt) √

n

V.2.1 Montrer que la suite (fn) converge uniform´ement vers la fonction nulle sur [0, 1].

V.2.2 On d´esigne, pour tout entier n ∈ N∗, par In = L(fn) la longueur de la courbe repr´esentative de

fn. Montrer que

∀n ∈ N∗, In>

√ nπ

2 V.2.3 L’application L : f 7→ L(f ) est-elle continue sur (E1, k.k∞) ?

V.2.4 L’application L : f 7→ L(f ) est-elle continue sur (E1, k.k) ?

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Dur´

ee : 4 heures

MATH´

EMATIQUES

DEVOIR SURVEILL´

E N

◦

4 Sujet MINES-PONTS

Si, au cours de l’épreuve, vous repérez ce qui vous semble être une erreur d’énoncé, d’une part vous le signalez au surveillant, d’autre part vous le signalez sur votre copie et vous poursuivez la composition en indiquant les raisons des initiatives que vous avez été amené à prendre.

L’usage de calculatrice, t´el´ephone portable, ordinateur est interdit

AVERTISSEMENT • Composer sur copies doubles grand carreaux uniquement.

• A la fin d’un exercice on change de page (ou de copie) obligatoirement.

• La présentation, la lisibilité, l’orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l’appréciation des copies.

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EXERCICE

Comportement asymptotique de sommes de s´

eries enti`

eres

Extrait Mines-Ponts PSI 2019

Soit p un entier naturel non nul et r un nombre r´eel strictement positif. On consid`ere la fonction Sr,p : z ∈ C 7→ +∞ X n=1 (pn)r (pn)!z pn_.

L’objectif du problème initial était d’établir la validité de l’énoncé suivant : Sr,p(x) ∼ x→+∞ 1 px r_ex _(H r,p).

Dans cet exercice nous nous contenterons de l’établir pour certaines valeurs de r et p et d’étudier une application de ce résultat au comportement asymptotique d’une solution particulière d’une certaine équation différentielle d’ordre 2.

1. Soit r ∈ R∗+et p ∈ N∗. Justifier que la s´erie enti`ere

P

n≥1 (pn)r

(pn)!z

n_{a pour rayon de convergence +∞, et}

faire de même pour la série entière P

n≥1 (pn)r

(pn)!z np_.

2. Pour x réel, expliciter S0,1(x) et S0,2(x), et en déduire la validité des énoncés H0,1 et H0,2.

Pour la question 3. on admet que l’´enonc´e Hr,p est vrai pour tout r strictement positif et pour p ∈ N∗.

3. On s’intéresse ici à l’équation différentielle :

(E) : tx00(t) − x(t) = 0.

(a) Montrer que, parmi les solutions de (E) sur R à valeurs réelles, il en existe une et une seule, notée f, qui soit la somme d’une série entière et vérifie f0(0) = 1.

Expliciter la suite (cn)n∈N telle que

∀t ∈ R, f (t) = +∞ X n=0 cntn. (b) D´emontrer que cn ∼ n→+∞ 1 √ π √ n (2n)!4 n_.

Pour la dernière question, on admet le résultat suivant : Lemme de comparaison asymptotique des séries entières. Soit (an)n∈N et (bn)n∈N deux suites à termes réels. On suppose que

(i) La s´erie P

nbnzn a pour rayon de convergence +∞.

(ii) Il existe un rang n0 ∈ N tel que ∀n ≥ n0, bn> 0.

(iii) Les suites (an)n∈N et (bn)n∈N sont ´equivalentes.

Alors la s´erie enti`ere P

nanzn a pour rayon de convergence +∞ et +∞ X n=0 anxn ∼ x→+∞ +∞ X n=0 bnxn.

3. (c) En exploitant la validité de Hr,p pour un couple (r, p) bien choisi, démontrer l’équivalent

f (t) ∼

t→+∞

t1/4 2√πe

2√t_.

(7)

PROBL`

EME

´

ETUDE D’UNE S´

ERIE TRIGONOM´

ETRIQUE

Mines-Ponts PC 2007

On rappelle que pour tout r´eel x > 0,

Γ(x) = Z +∞

0

tx−1e−tdt. Par ailleurs, pour tout r´eel t,

ch t = e

t_{+ e}−t

2 . On pose, pour tout r´eel x et tout α ∈]0, +∞[,

Sα(x) = +∞ X n=1 sin(nx) nα . (1)

L’objectif de ce problème est d’étudier différentes propriétés de cette fonction. Dans tout le problème, u représente un réel de ] − 1, 1[.

I Deux repr´

esentations de S

α

1. Prouver que pour tout α > 1, la fonction Sα est continue sur R.

2. Etudier, en fonction du paramètre γ ∈ R, l’intégrabilité sur ]0, +∞[, de la fonction J : t 7→ t γ−1 et_{− u} Soit t > 0. On pose, RN(t, u) = u et_{− u} − ue −t N −1 X n=0 (ue−t)n ! tα−1. 3. Simplifier l’expression de RN, en l’écrivant sous forme d’une fraction.

4. Prouver que pour tout u ∈] − 1, 1[, lim

N →+∞

Z +∞

0

RN(t, u)dt = 0.

5. Exprimer, en fonction de Γ(α), la constante K(α) ∈ R+ telle que pour tout α > 0,

Z +∞ 0 u tα−1 et_{− u} dt = K(α) +∞ X n=1 un nα, pour tout u ∈] − 1, 1[. (2)

6. On admet que l’identité (2) reste vraie aussi pour u = ei x où x ∈]0, 2π[. En déduire pour x ∈ R \ 2πZ, l’identité suivante :

Sα(x) = sin x 2Γ(α) Z +∞ 0 tα−1 ch t − cos xd t. 7. Montrer, pour tout M > 0, pour tout u ∈] − 1, 1[, l’´egalit´e suivante :

(8)

8. ´Etablir, pour tout u ∈] − 1, 1[, l’identit´e

lim M →+∞ +∞ X n=0 Z M 0 un t α−1 (ch t)n+1 dt = +∞ X n=0 un Z +∞ 0 tα−1 (ch t)n+1 dt

9. Pour x ∈ R \ πZ, exprimer Sα(x) en fonction de fonctions trigonom´etriques et de Gα o`u

Gα(u) = +∞ X n=0 anun pour u ∈] − 1, 1[ avec an= Z +∞ 0 tα−1 (ch t)n+1 dt. (3)

II Comportement asymptotique

Soit B :]0, +∞[→ R une fonction continue telle que : Z +∞

0

|B(s)| ds < +∞. (4)

B(s) = asλ−1(1 + o(1)), s → 0+, a > 0, λ ∈]0, +∞[. (5) 10. Prouver que pour tout ε > 0, il existe δ > 0 tel que, pour tout n > 1,

Z δ 0 (B(s)e−ns− asλ−1e−ns) ds < ε a nλΓ(λ).

11. Prouver que pour tout δ > 0, il existe une constante C(δ) > 0 (que vous exprimerez sous la forme d’une int´egrale ind´ependante de n) telle que pour tout n > 1

Z +∞ δ (B(s)e−ns− asλ−1e−ns) ds 6 C(δ)e −(n−1)δ_.

12. Prouver que, sous ces hypoth`eses, Z +∞

0

B(s)e−nsds = aΓ(λ)

nλ (1 + o(1)), quand n → +∞.

13. Montrer que pour tout entier naturel n, on peut ´ecrire

an= Z +∞ 0 ln(es+√e2s_{− 1)}α−1 √ e2s_{− 1} e −ns ds, o`u an est d´efini dans (3).

On pose dor´enavant, pour tout s > 0,

B(s) =

ln(es+√e2s_{− 1)}α−1

√ e2s_{− 1}

14. Donner un ´equivalent de la fonction B au voisinage de 0+. 15. D´eterminer la limite de annα/2 quand n tend vers l’infini.