Samedi 11 Janvier 2020
Dur´
ee : 3 heures
MATH´
EMATIQUES
DEVOIR SURVEILL´
E N
◦4
Si, au cours de l’´epreuve, vous rep´erez ce qui vous semble ˆetre une erreur d’´enonc´e, d’une part vous le signalez au surveillant, d’autre part vous le signalez sur votre copie et vous poursuivez la composition en indiquant les raisons des initiatives que vous avez ´et´e amen´e `a prendre.
L’usage de calculatrice, t´el´ephone portable, ordinateur est interdit
AVERTISSEMENT • Composer sur copies doubles grand carreaux uniquement.
• A la fin d’un exercice on change de page (ou de copie) obligatoirement.
• La pr´esentation, la lisibilit´e, l’orthographe, la qualit´e de la r´edaction, la clart´e et la pr´ecision des raisonnements entreront pour une part importante dans l’appr´eciation des copies.
• En particulier, les r´esultats non encadr´es et non-justifi´es ne seront pas pris en compte.
DEVOIR SURVEILL´E N◦4
EXERCICE 1
(45min-1h )Une suite de puissances de matrice
On pose M = 3 −2 −1 1 0 −1 0 0 2 et I = 1 0 0 0 1 0 0 0 1 la matrice identit´e de M3(R).
On posera par convention M0 = I.
1. (a) Calculer M2 et l’exprimer comme combinaison lin´eaire de M et I. (b) En d´eduire que M est une matrice inversible, et pr´eciser M−1.
(c) Sans la calculer, montrer que M3 est ´egalement combinaison lin´eaire de I et de M . 2. Montrer par r´ecurrence que, pour tout n dans N, il existe un couple de r´eels (an, bn) tel que :
Mn= anI + bnM.
Pr´eciser les valeurs de a0, b0, a1, b1, et justifier que, ∀n ∈ N, an+1= −2bn et bn+1 = an+ 3bn.
3. Montrer que la suite (cn)n>0 d´efinie par cn= an+ bn est constante.
4. Montrer que la suite (bn)n>0 v´erifie pour tout n dans N, bn+2= 3bn+1− 2bn.
5. En d´eduire bnpuis an en fonction de n et enfin montrer que :
Mn= 2n+1− 1 2 − 2n+1 1 − 2n 2n− 1 2 − 2n 1 − 2n 0 0 2n 6. L’expression pr´ec´edente est-elle valable pour n = −1 ?
EXERCICE 2
(45min-1h )`
A l’Essouriau, on sait factoriser des polynˆomes de degr´e 6 L’exercice pr´esente une m´ethode de factorisation de certains polynˆomes de degr´e 6. 1. Un polynˆome auxiliaire
Soit µ ∈ R, on note Pµ= X3+ µX2+ µX + 1.
(a) Effectuer la division euclidienne de Pµ par X2+ 3X + 2.
Existe-t-il une valeur de µ telle que X2+ 3X + 2 divise Pµ?
(b) Quel peut-ˆetre le nombre de racines r´eelles de Pµ? Expliquer.
(c) Montrer que −1 est toujours racine de Pµ.
(d) Prouver que −1 est racine multiple de Pµsi, et seulement si µ = 3.
Dans ce cas, quelle est la multiplicit´e de −1 ?
(e) Factoriser Pµ et pr´eciser les valeur de µ pour lequel Pµ est scind´e dans R.
2. D’un polynˆome de degr´e 6 `a un polynˆome de degr´e 3
Soit Q = X6+ αX5+ βX4+ γX3+ βX2+ αX + 1 avec (α, β, γ) ∈ R3. (a) Le polynˆome Q est-il irr´eductible dans R ?
(b) Justifier que les racines de Q sont non nulles et que si z est racine de Q alors 1z est racine de Q. (c) Soit z ∈ C.
Montrer que z est racine de Q si et seulement si z +1z est racine de X3+ αX2+ (β − 3)X + γ − 2α. 3. Application : Factorisation d’un polynˆome de F
Soit Q = X6+ X5+ 4X4+ 3X3+ 4X2+ X + 1.
(a) D´eterminer les racines complexes de Q `a l’aide des questions 1. et 2. (b) En d´eduire la factorisation de Q dans R[X].
DEVOIR SURVEILL´E N◦4
PROBL`
EME
UNE PREUVE DE L’IRRATIONALIT ´E DE e (1h-1h15 )
Le but de ce probl`eme est de prouver que e est irrationnel. Des r´esultats ´etablis au A seront utiles pour la partie B.
PARTIE A - Une suite d’int´
egrales
On pose pour n ∈ N : un= Z e 1 lnn(t) t2 dt
1. (a) Justifier que un existe pour tout n ∈ N.
(b) Calculer u0.
2. (a) Calculer la d´eriv´ee de g(t) = lnp(t) o`u p ∈ N∗. En d´eduire une primitive de t 7→ ln
n(t)
t pour n ∈ N. (b) Soit n ∈ N, en remarquant que pour tout t ∈ [1, e],ln
n(t) t × 1 t, d´emontrer que : un= 1 (n + 1)e + 1 n + 1un+1. (c) En d´eduire les valeurs de u1 et u2.
3. (a) Soit n ∈ N, `a l’aide du changement de variable x = ln(t), montrer que un=
Z b
a
xng(x) dx o`u a, b sont des r´eels et g une fonction que l’on pr´ecisera.
(b) En majorant g, en d´eduire que pour tout n ∈ N, 0 6 un6
1 n + 1. (c) Conclure quand `a la convergence de la suite (un)n∈N.
(d) Montrer par r´ecurrence qu’il existe une suite (bn)n∈N d’entiers naturels tels que un= n! −
bn
e . (on pourra utiliser la question 2.(b))
4. D´eterminer les limites des suites (bn)n∈N et
n! bn
n∈N
.
PARTIE B - Une preuve de l’irrationalit´
e de e
Le but des questions suivantes est de prouver que e est irrationnel. 5. Prouver que ∀n ∈ N∗, 0 6 n!e − bn6
e n + 1 .
6. Prouver par l’absurde que e est irrationnel. (Question plus difficile)
