Samedi 28 Mars 2020
Dur´
ee : 4 heures
MATH´
EMATIQUES
DEVOIR SURVEILL´
E N
◦4
Sujet MINES-PONTS
Si, au cours de l’´epreuve, vous rep´erez ce qui vous semble ˆetre une erreur d’´enonc´e, d’une part vous le signalez au surveillant, d’autre part vous le signalez sur votre copie et vous poursuivez la composition en indiquant les raisons des initiatives que vous avez ´et´e amen´e `a prendre.
L’usage de calculatrice, t´el´ephone portable, ordinateur est interdit
AVERTISSEMENT
• Composer sur copies doubles grand carreaux uniquement.
• A la fin d’un exercice on change de page (ou de copie) obligatoirement.
• La pr´esentation, la lisibilit´e, l’orthographe, la qualit´e de la r´edaction, la clart´e et la pr´ecision des raisonnements entreront pour une part importante dans l’appr´eciation des copies.
• En particulier, les r´esultats non encadr´es et non-justifi´es ne seront pas pris en compte.
DEVOIR SURVEILL´E N◦6
EXERCICE
´
Etude d’une solution d’une ´
equation diff´
erentielle
Soit λ un r´eel. On ´etudie sur R+∗ l’´equation diff´erentielle :
x2y00+ xy0− (x2+ λ2)y = 0 (E) On rappelle que ch(t) = 1
2(e
t+ e−t) et on consid`ere la fonction f
λ de R dans R qui `a x associe :
fλ(x) =
Z +∞
0
ch(λt)e−x ch(t) dt
1. (a) Que peut-on dire de la structure de l’ensemble des solutions de l’´equation (E) ?
(b) On suppose λ /∈ N. Prouver qu’il existe une unique solution de (E) d´eveloppable en s´erie enti`ere. 2. (a) Montrer que fλ est d´efinie sur R+∗ et de classe C2 sur R+∗.
(b) Montrer fλ est solution de l’´equation (E).
3. Soit gλ la fonction de R dans R qui `a x associe gλ(x) =
Z +∞
0
t−λ−1e−t−x24t dt.
(a) D´eterminer suivant la valeur de λ le domaine de d´efinition de gλ.
(b) Montrer que fλ(x) = 1 2 Z +∞ −∞ eλte−x ch(t) dt.
En faisant les changements de variable successifs : u = et puis v = 2ux , montrer que pour tout x > 0 : fλ(x) = aλ(x)gλ(x) o`u aλ est une fonction `a d´eterminer.
(c) Montrer que pour λ < 0, gλ est continue en 0.
En d´eduire un ´equivalent pour λ < 0 de fλ(x) quand x tend vers 0 par valeurs sup´erieures, puis
un ´equivalent de fλ(x) (pour λ 6= 0) quand x tend vers 0 par valeurs sup´erieures.
PROBL`
EME
Matrices positives et ordre de L¨
owner
On d´esignera dans tout le probl`eme par :
- Mn,p l’espace des matrices r´eelles `a n lignes et p colonnes. On note 0n,p la matrice nulle.
- Mn l’ensemble des matrices r´eelles carr´ees d’ordre n. On note 0n la matrice nulle.
- tM la transpos´ee d’une matrice M .
- Sn le sous-ensemble de Mn constitu´e des matrices sym´etriques d’ordre n, c’est `a dire les matrices A
qui satisfonttA = A.
- In la matrice identit´e d’ordre n.
- (X|Y ) le produit scalaire de deux matrices colonnes.
On rappelle que pour toute matrice A de Mn,pet tout couple de matrices colonnes (X, Y ) o`u X ∈ Mn,1 et
Y ∈ Mp,1, l’identit´e suivante est satisfaite :
(AX|Y ) = (X|tAY ) D´efinition 1.
Une matrice A ∈ Sn est dite positive lorsque pour tout X de Mn,1, (AX|X) ≥ 0.
Une matrice A ∈ Sn est dite d´efinie positive lorsque pour tout X de Mn,1\ {0n,1}, (AX|X) > 0.
D´efinition 2.
Si A et B sont deux matrices de Sn, on dit que A est plus petite que B pour l’ordre de L¨owner, et on
note A B, si la matrice B − A est positive. On notera A ≺ B si B − A est d´efinie positive.
DEVOIR SURVEILL´E N◦6
On suppose dor´enavant que A est une matrice sym´etrique r´eelle d’ordre n.
I. Matrices positives
1. Montrer que si A est positive, alors pour toute matrice r´eelle M ∈ Mn,p, la matrice tM AM est
sym´etrique positive.
2. Montrer que toutes les puissances enti`eres d’une matrice sym´etrique positive A sont positives.
3. Montrer que A ∈ Sn est positive, respectivement d´efinie positive, si et seulement si les valeurs propres
de A sont toutes positives, respectivement strictement positives.
4. Si A est d´efinie positive, montrer qu’il existe une matrice C, sym´etrique d´efinie positive telle que C2= A.
5. Si A et C sont sym´etriques d´efinies positives et C2 = A, montrer que, pour toute valeur propre λ de A, on a :
ker(A − λIn) = ker(C −
√ λIn)
6. En d´eduire que si A est d´efinie positive, il existe une unique matrice sym´etrique d´efinie positive C telle que C2 = A et que dans toute base orthonormale de vecteurs propres de A, la matrice C est diagonale. On notera d´esormais C = A1/2.
7. On suppose A d´efinie positive. Montrer que A est inversible et qu’il existe une unique matrice, not´ee A−1/2, sym´etrique d´efinie positive telle que A−1/2A−1/2= A−1.
8. Prouver que (A1/2)−1 = A−1/2.
II. Ordre de L¨
owner.
9. Montrer que l’ordre de L¨owner est une relation d’ordre sur Sn.
On rappelle que R est une relation d’ordre sur E lorsque R est r´eflexive, antisym´etrique et transitive : • R est une relation r´eflexive lorsque : ∀x ∈ E, xRx.
• R est une relation antisym´etrique lorsque : ∀(x, y) ∈ E2, (xRy et yRx) ⇒ x = y. • R est une relation transitive lorsque : ∀(x, y, z) ∈ E3, (xRy et yRz) ⇒ xRz.
10. Soit B ∈ Sn avec A B.
Montrer que pour toute matrice r´eelle C ∈ Mn,p, la relationtCAC tCBC est v´erifi´ee.
11. Montrer que si In A alors A est inversible et A−1 In.
12. En d´eduire que si 0n≺ A B alors B est inversible et B−1 A−1.
13. Donner un syst`eme de conditions n´ecessaires et suffisantes portant sur les r´eels a, b et c pour que la matrice D = a b b c soit positive. 14. On consid`ere les deux matrices suivantes :
D = a b b 1 et B = 2a 0 0 2
Montrer qu’il existe des r´eels a et b de sorte que 0n A B mais que D2 6 B2.
DEVOIR SURVEILL´E N◦6
III. Fonctions matriciellement croissantes.
Soit n un entier non nul et M une matrice diagonalisable `a valeurs propres positives. Il existe donc une ma-trice diagonale ∆ et une mama-trice inversible P telles que M = P ∆P−1. Notons (λi, i = 1, . . . , n) les valeurs
propres de M r´ep´et´ees suivant leur multiplicit´e, qui sont les coefficients diagonaux de ∆. D´efinition 3.
Si f est une fonction de R+ dans R et ∆ une matrice diagonale positive, on note f (∆) la matrice diagonale dont les coefficients diagonaux sont donn´es par f (∆)i,i = f (λi) pour i = 1, . . . , n.
15. On consid`ere f une fonction de R+ dans R et l’on note R = P f (∆)P−1. Soit X ∈ Mn,1 et λ un r´eel
positif tels que M X = λX. Calculer RX.
16. Montrer que, pour toutes matrices P et Q inversibles et toutes matrices diagonales ∆P et ∆Q de Mn
telles que M = P ∆PP−1 = Q∆QQ−1, on a :
P f (∆P)P−1= Qf (∆Q)Q−1
D´esormais, si M est une matrice diagonalisable `a valeurs propres positives et M = P ∆P−1 est une diago-nalisation de M , on d´efinit f (M ) par
f (M ) = P f (∆)P−1 D´efinition 4.
Une fonction f est dite matriciellement croissante sur R+ si pour tout n ≥ 1 et tout couple (A, B) de matrices sym´etriques, l’implication suivante est satisfaite :
0 A B ⇒ f (A) f (B)
Soit E l’ensemble des fonctions ϕ continues sur ]0, +∞[, `a valeurs dans R+, telles que (s 7→ sϕ(s)) soit int´egrable sur [0, 1] et ϕ soit int´egrable sur [1, +∞[. On d´efinit une fonction Lϕ : R+:→ R par :
Lϕ(t) =
Z +∞
0
st
1 + stϕ(s) ds
17. Pour r ∈ R, on pose ϕr(s) = s−r−1. Pour quelles valeurs de r a-t-on ϕr ∈ E ? Exprimer alors, pour
tout t > 0, Lϕr(t) en fonction de Lϕr(1).
18. Soit s ≥ 0. On pose pour tout t ≥ 0, fs(t) = 1 −
1 1 + st.
Exprimer fs(A) lorsque A est une matrice sym´etrique positive.
19. Montrer que fs est matriciellement croissante sur R+.
20. Pour toute matrice A ∈ Sn positive et toute matrice colonne X ∈ Mn,1, ´etablir l’identit´e :
(Lϕ(A)X|X) =
Z +∞
0
ϕ(s)(fs(A)X|X) ds
21. Montrer que, pour toute ϕ ∈ E, l’application Lϕ est matriciellement croissante sur R+.
22. Soient A et B deux matrices sym´etriques telles que 0 A B. Compte-tenu des questions pr´ec´edentes, pour quelles valeurs du r´eel positif r pouvez-vous montrer que Ar Br?
