Mod `eles de biologistes

(1)

Quelques mod `eles math ´ematiques

Mod èles de croissance Mod èles à compartiments

La Th éorie Le probl ème de Cauchy Sch émas num ériques

Corde ´elastique Proie- Pr ´edateurs

EDO mon amour

Olivier GUIB ´E

Laboratoire de Math ématiques Rapha ël Salem CNRS-Universit é de Rouen

25 octobre 2009

(2)

Mod `ele de croissance 1

Hypoth èse 1 : À chaque instant, la croissance de la population est proportionnelle à son effectif.

dq dt =αq

C’est l’hypoth `ese Malthusienne.

Thomas Robert MALTHUS (1766-1834)

La d ésint égration atomique est un cas de (d é-)croissante r égi par la m ême équation mais avecα <0.

(3)

Mod `ele de croissance 2

Hypoth èse 2 : À chaque instant, la croissance de la population est proportionnelle à son effectif, mais inhib ée par des ressources limit ées.

dq

dt =αq(m−q)

C’est l’hypoth `ese de Verhulst.

Pierre F. VERHULST (1804-1849)

Il est clair quemsera un point d’ équilibre, car la d ériv ée deqest nulle quandq=m.

(4)

Mod `ele de croissance 2b

Hypoth èse 2b : À chaque instant, la croissance de la population est proportionnelle à son effectif, mais inhib ée par des ressources limit ées.

dq

dt =αq(ln(k)−ln(q))

C’est l’hypoth `ese de Gompertz.

Benjamin GOMPERTZ (1779-1865)

Il est clair quek sera un point d’ équilibre, car la d ériv ée deq est nulle quandq=k.

(5)

Mod èles de croissance Mod èles à compartiments La Th éorie

Le probl ème de Cauchy Sch émas num ériques

Mod `eles de biologistes

Diffusion de 2 virus avec interaction : VIF : Virus Immuno-d éficidaire F élin VLF : Virus de la Leucose F éline

dX dt

= b(X+Y+W+U)−mX−rNX K

−σX(Y+U+Z) N

−γX(V+Z) N dY

dt =

σX(Y+U+Z) N

−mY−rNY K

−αY−γY(V+Z) N dV

dt = γX(V+Z)

N π−mV−rNV K

−µV−σ(Y+U+Z)V N dW

dt

= γX(V+Z) N

(1−π)−mW−rNW K

−µV−σ(Y+U+Z)W N dZ

dt

= γY(V+Z) N

π−mZ−rNZ K

−δZ+σ(Y+U+Z)V N dU

dt

= γY(V+Z) N

(1−π)−mU−rNU K

−αU+σ(Y+U+Z)W N

CommeN=X+Y+V+W+Z+Uetr=b−m, nous avons :dN dt

=rN(1−N K

)−αY−(b+µ)V−(b+δ)Z−αU

Sur un tel syst `eme, nous pouvons calculer les points d’ ´equilibre et

´etudier leur stabilit ´e.

(6)

Mod èles de croissance Mod èles à compartiments La Th éorie

Le probl ème de Cauchy Sch émas num ériques

Questions de math ´ematicien(ne) :

• Nos ´equations ont-elles une solution ?

• Si oui, cette solution est-elle unique ?

• Pouvons-nous encalculerla, une, toutes les ... solution(s) ?

• Sinon, que savons-nous de la (ou des) solutions(s) ?

• Pouvons-nouscalculerune forme approximative de la solution ?

• Si oui, quelle est la qualit ´e de l’approximation ?

• Pouvons-nous am ´eliorer l’approximation ? `A quel prix ?

• Nos r ´esultats sont-ils conformes aux observations ?

• Si non, changeons les ´equations et recommenc¸ons !

(7)

Seau perc ´e et datation au carbone 14

Face `a un seau perc ´e il est impossible de savoir s’il a contenu de l’eau eta fortioriquand !

Face aux restes de mati ère organique, la d ésint égration du carbone radio-actif C¹⁴permet de dater (approximativement) l’origine de cette mati ère.

Dans la seconde situation nous pouvons remonter dans le pass ´e, alors que pour la premi `ere c’est impossible !

Pourquoi ?

(8)

Seau perc ´e

h(t)

La loi de Torricelli, dans des conditions id ´eales, dit que

h⁰(t) =−C√

h, C= a A

p2g. Par int ´egration la fonction

h(t) = (_C2

4 (t−α)² t ≤α

0 t > α

avecαquelconque est solution. Il y a une in- finit ´e de solutions.

(9)

Seau perc ´e

h(t)

−5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5

−5 0 5 10 15

Un seau vide restera vide mais il est impossible de connaˆıtre le pass ´e du seau.

(10)

Datation au carbone 14

La proportion de C¹⁴est à peu pr ès constante chez un être vivant. Apr ès sa mort, la proportion de C¹⁴perd 1/8000 de sa valeur chaque ann ée. Six(t)d ésigne la quantit é de C¹⁴au cours du tempst en ann ée,

x⁰(t) =− 1 8000x(t)

Six(t0)est connue alors il existe uneunique solution: x(t) =x(t0)exp(−(t−t0)/8000)

Connaˆıtrex(t₀)permet donc de connaˆıtre (approximativement) x(t)tel quex(t)soit la proportion de C¹⁴chez un ˆetre vivant.

(11)

Quelle diff ´erence ?

Les deux ´equations (1) h⁰(t) =Cp

h(t) (2) x⁰(t) =−Cx(t) ne sont pas tr ès compliqu ées et n’ont pas l’air d’ être tr ès diff érentes l’une de l’autre.

Pourtant nous devons ´eviter les probl `emes de type (1).

En effet avant toute simulation num ´erique il est utile (voire crucial) de savoir si cette solution existe et est unique, car sinon que calcule-t-on ?

Quel crit `ere pour savoir `a l’avance si une solution existe et est unique ?

(12)

Equation du 1er ordre ´

Soitf une fonction d ´efinie de l’intervalle[a,b]dansR. On cherche une fonction inconnuey : t7−→y(t),t ∈[a,b]v ´erifiant

y⁰(t) =f(t,y(t)) t ∈[a,b], (3)

y(a) =y0. (4)

La condition (4) est dite condition initiale ou condition de Cauchy.

Th éor ème (Th éor ème de Cauchy–Lipschitz)

1 f est continue dans[a,b]×R,

2 il existe L>0tel que∀(t,y₁,y₂)∈[a,b]×R×R,

|f(t,y1)−f(t,y2)| ≤L|y₁−y2|

alors le probl `eme de Cauchy admet une unique solution.

(13)

Equation du 1er ordre ´

y⁰(t) =f(t,y(t)) t ∈[a,b], (3)

y(a) =y0. (4)

|f(t,y1)−f(t,y2)| ≤L|y₁−y2|

(14)

Equation du 1er ordre ´

y⁰(t) =f(t,y(t)) t ∈[a,b], (3)

y(a) =y0. (4)

|f(t,y1)−f(t,y2)| ≤L|y₁−y2|

(15)

Equation du 1er ordre ´

y⁰(t) =f(t,y(t)) t ∈[a,b], (3)

y(a) =y0. (4)

|f(t,y1)−f(t,y2)| ≤L|y₁−y2|

(16)

Equation du 1er ordre ´

y⁰(t) =f(t,y(t)) t ∈[a,b], (3)

y(a) =y0. (4)

|f(t,y1)−f(t,y2)| ≤L|y₁−y2|

(17)

Seau perc ´e et datation

La fonctiony 7→√

y ne v érifie pas le crit ère du th éor ème de Cauchy-Lipschitz. Il suffit que constater que lim_y→0

√y/y = +∞.

Clairement la fonctiony 7→y v érifie le crit ére du th éor ème de Cauchy-Lipschitz, d’o ù l’existence et l’unicit é de la solution de l’ équation diff érentielle.

(18)

G ´en ´eralisation

• En dimension sup ´erieure (fonction de plusieurs variables) on a ´evidemment une version de Cauchy-Lipschitz

• Une équation diff érentielle d’ordren≥2 se ram ène à une

équation diff érentielle d’ordre 1 en dimension sup érieure.

(19)

G ´en ´eralisation

• En dimension sup ´erieure (fonction de plusieurs variables) on a ´evidemment une version de Cauchy-Lipschitz

• Une équation diff érentielle d’ordren≥2 se ram ène à une

équation diff érentielle d’ordre 1 en dimension sup érieure.

(20)

Ce que l’on peut r ´esoudre

En r éalit é on peut r ésoudre dans le sensdonner une formuleassez peu d’ équations diff érentielles. À un calcul de primitive pr ès :

• ´equation lin ´eaire d’ordre 1, 2, 3, 4.

• ´equation de Bernoulli, de Clairaut, de Riccati

• variables s ´epar ´ees

• (presque) les syst èmes diff érentielles. En dimension 5 ou plus on est ramen é à chercher les racines d’un polyn ôme de degr é 5 ou plus, donc seule une approximation num érique de ces racines est disponible en g én éral

(21)

Les ´equations dont on peut donner explicitement la solution exacte sont rares.

L’ ´etude qualitative d’une EDO est souvent complexe et les outils simples d’analyse ne permettent pas d’avoir

une m ´ethode unifi ´ee (chaque EDO est un cas particulier ou presque)

Avant toute simulation num érique il est d’usage de v érifier l’existence et l’unicit é de la solution.

Nous le supposerons dans toute la suite.

(22)

M ´ethode d’Euler principe

Soit le probl `eme de Cauchy

(1) y⁰(t) =f(t,y(t)),t ∈[t₀,t₀+T], (2) y(t0) =y0.

Id ´ee

Sur un petit intervalle[t,t+h]

• confondre courbe et tangente

• utiliser l’edo (y⁰(t)donn ´ee part ety(t))

⇒ y(t+h)≈y(t) +hf(t,y(t))

• continuer sur[t+h,t+2h]en prenant poury(t+h)

l’approximation trouv ´ee

• . . .

t t+h

C

∆_t

(23)

M ´ethode d’Euler principe

(1) y⁰(t) =f(t,y(t)),t ∈[t₀,t₀+T], (2) y(t0) =y0.

Id ´ee

• . . .

t t+h

C

∆_t

(24)

M ´ethode d’Euler principe

(1) y⁰(t) =f(t,y(t)),t ∈[t₀,t₀+T], (2) y(t0) =y0.

Id ´ee

• . . .

t t+h

C

∆_t

(25)

M ´ethode d’Euler principe

(1) y⁰(t) =f(t,y(t)),t ∈[t₀,t₀+T], (2) y(t0) =y0.

Id ´ee

• . . .

t t+h

C

∆_t

(26)

M ´ethode d’Euler principe

(1) y⁰(t) =f(t,y(t)),t ∈[t₀,t₀+T], (2) y(t0) =y0.

Id ´ee

• . . .

t t+h

C

∆_t

(27)

M ´ethode d’Euler principe

(1) y⁰(t) =f(t,y(t)),t ∈[t₀,t₀+T], (2) y(t0) =y0.

Id ´ee

• . . .

t t+h

C

∆_t

(28)

M ´ethode d’Euler un graphique

0 h 2h 3h

y(t)

by(t) y(t)

L ´egende :y(t)solution exacte

by(t)solution exacte partant de la valeur approch ´ee enh y(t)solution exacte partant de la valeur approch ´ee en 2h

(29)

M ´ethode d’Euler un exemple

y⁰(t) =−y(t), t ∈[0,1], y(0) =1

1 discr ´etisation ´equidistante de l’intervalle[0,1], (t0=0, . . . ,tN=1 eth=1/N)

2 calculs successifs dey1,y2. . . par la relationyn+1=yn−hyn

t₀ t₁ t₂ t₃ tN−1t_N

− exp(−x)

− Euler

N=10,h=0.1

(30)

M ´ethode d’Euler un exemple

y⁰(t) =−y(t), t ∈[0,1], y(0) =1

− exp(−x)

− Euler

N=10,h=0.1

(31)

M ´ethode d’Euler un exemple

y⁰(t) =−y(t), t ∈[0,1], y(0) =1

− exp(−x)

− Euler

N=10,h=0.1

(32)

M ´ethode d’Euler un exemple

y⁰(t) =−y(t), t ∈[0,1], y(0) =1

− exp(−x)

− Euler

N=10,h=0.1

(33)

M éthode d’Euler cas g én éral

(1) y⁰(t) =f(t,y(t)) t∈[t0,t0+T], (2) y(t₀) =y₀.

o `uf est une application de[t0,t0+T]×RdansRety0la donn ´ee initiale.

1 pas de discr ´etisation :h=T/N.tn=t0+nh

2 par la relation de r ´ecurrence,y₀donn ´ee initiale et y_n+1=y_n+hf(t_n,y_n), 0≤n<N

calculs dey₁, . . . ,y_N, sens ´es approcher respectivement y(t₁), . . . ,y(t₀+T)

G én éralisation ais ée pour la casm-dimensionnel

(34)

M ´ethode d’Euler programmation

La m éthode d’Euler est tr ès facile à programmer, il suffit d’avoir en plus une sortie graphique (librairie ou int égr ée) ou d’utiliser un logiciel tel queGnuplot. Les possibilit és sont nombreuses

• Scilab, Octave

• Python

• (Excel), OpenOffice

• etc

(35)

D ´efinitions

(1) y⁰(t) =f(t,y(t)) t∈[t₀,t₀+T], (2) y(t0) =y0.

Soitt0<t1<· · ·t_N=t0+T une subdivision ´equidistante de [t0,t0+T], i.e.tn=t0+hnavech=T/N. Le but est d’approcher les valeurs exactesy(t1), . . . ,y(tN)pary1, . . . ,yN.

D éfinition (M éthode à un pas fixe)

C’est une m éthode de r ésolution num érique de la forme y_n+1=y_n+hΦ(t_n,y_n,h) 0≤n<N,

o `uΦest une application continue d ´efinie de[t₀,t₀+T]×R×R⁺ dansR.

Pour Euler,Φ(tn,yn,h) =f(tn,yn).

(36)

D ´efinitions

D éfinition (Erreur de consistance ou erreur de troncature) Pour 0≤n<N,enmesure la diff érence entrez(tn+1)etyn+1, o ù zest la solution exacte et o ùyn+1=z(tn) +hΦ(tn,z(tn),h)

en=z(tn+1)−yn+1=z(tn+1)−z(tn)−hΦ(tn,z(tn),h).

(37)

D ´efinitions

Remarque

C’est une erreur locale entn, mesure l’erreur pour 1 seule it ´eration `a partir de la valeur exacte entn.

(38)

D ´efinitions

t_n tn+1

e_n yn+1

z(t_n+1)

y_n

z

(39)

D ´efinitions

Remarque

Un DL donne pour Euleren≈Ch².

(40)

Consistance, stabilit ´e

D ´efinition (consistance)

La m ´ethode est consistante si pour toute solution exactez la somme des erreurs de consistances relatives `az,P

0≤n<N|e_n| tend vers 0 quandhtend vers 0.

D ´efinition (stabilit ´e)

La m éthode est stable s’il existe une constanteS≥0 (constante de stabilit é) telle que pour tout suite(y_n)et(ey_n)d éfinies par

yn+1=yn+hΦ(tn,yn,h) yen+1=eyn+hΦ(tn,eyn,h) +ε_n on a max

0≤n<N|ey_n−y_n| ≤S |ye₀−y₀|+ X

0≤n<N

|ε_n|

ou encore : erreur finale contr ˆolable par (erreur initiale + erreurs d’arrondi)

(41)

Convergence

D ´efinition (convergence)

La m éthode est convergente si pour toute solution exactez, la suiteynd éfinie paryn+1=yn+hΦ(tn,yn,t)v érifie

max

0≤n≤N

y_n−z(t_n)

−→0 quandy₀→z(t₀)eth→0.

Th ´eor `eme

Consistance et stabilit ´e entraˆınent convergence.

Id ´ee

Par d ´efinition de l’erreur de consistance

z(t_n+1) =z(t_n) +hΦ(t_n,z(t_n),h) +e_n, d’o ù en posantye_n=z(t_n)et gr âce à la stabilit é

0≤n≤Nmax |y_n−z(tn)| ≤S |y₀−z(t0)|+ X

0≤n<N

|e_n|

(42)

Consistance, stabilit ´e

A quelle condition une m éthode est-elle consistante ?` La m éthode d éfinie parΦest consistante si et seulement si

Φ(t,y,0) =f(t,y).

A quelle condition une m ´ethode est-elle stable ?`

SiΦest lipschitizienne eny alors la m ´ethode est stable. De plus si∀t∈[t0,t0+T],∀y₁,y2∈R²

Φ(t,y1,h)−Φ(t,y2,h)

≤L|y₁−y2|

alors on peut prendre pour constante de stabilit ´eS=exp(LT).

(43)

Ordre de convergence

Le but est de pouvoir mesurer la pr ´ecision d’une m ´ethode pour

• comparer les m ´ethodes entre elles

• choisir en fonction de la pr écision demand ée le pas n écessaire

Ce qui compte dans l’erreur globale max0≤n≤N|y_n−z(t_n)| ≤S |y₀−z(t₀)|+P

0≤n<N|e_n|

est l’erreur de consistance.

D ´efinition

Une m ´ethode est d’ordrepsi|e_n| ≤Ch^p+1(Cind ´ependant det,h etn). De plus siy0=z(t0)alors

0≤n≤Nmax |y_n−z(tn)| ≤Kh^p.

(44)

Ordre de convergence

La m éthode d’Euler est d’ordre 1 et pas plus. Il suffit de faire un D.L. Ceci se v érifie exp érimentalement en faisant les simulations pour un exemple dont on connaˆıt la solution : diagramme à

´echelle logarithmique :y⁰ =y sur[0,1],y(0) =1 (z(t) =exp(t))

erreur 1/N 1 10

2 10

3 10

4 10

−4 10

−3 10

−2 10

−1 10

On obtient une droite parall `ele

à 1/N. En effet l’erreur étant en h (i.e. en 1/N) entraˆıne que le log de l’erreur d épend lin éairement de ln(N).

(45)

Euler(s)

Euler implicite On utilise les formules

• z(t+h)≈z(t) +hz⁰(t+h)

• z⁰(t+h) =f(t+h,z(t+h))(l’edo) pour d éfinir de façonimplicitela m éthode

yn+1=yn+hf(tn,yn+1).

Remarques

• compliqu ée à mettre en oeuvre caryn+1v érifie une équation non lin éaire

• s’utilise (donc) pour les probl `emes lin ´eaires

• c’est une m ´ethode d’ordre 1

(46)

Point au milieu

Point au milieu ou Euler modifi ´ee On utilise les formules

• z(t+h)≈z(t) +hz⁰(t+h/2)

• z⁰(t+h/2) =f(t+h/2,z(t+h/2))(l’edo)

• z(t+h/2)≈z(t) +h/2f(t,z(t)) pour obtenir

y_n+1=y_n+hf(t_n+h/2,y_n+h/2f(t_n,y_n))

Remarque

C’est une m éthode d’ordre 2, donc plus pr écise que la m éthode d’Euler.

(47)

Runge-Kutta

Peut-on faire des m éthodes d’ordre aussi grand que possible ? Oui, par exemple avec les m éthodes de Runge-Kutta bas ées sur l’int égration num érique (trap èze, Simpson, etc.)

M éthode de Heun bas ée sur la formule des trap èzes

z(t+h)−z(t) = Z t+h

t

z⁰(t)dt = Z t+h

t

f(t,z(t))dt

≈h

2 f(t,z(t)) +f(t+h,z(t+h))

≈h

2 f(t,z(t)) +f(t+h,z(t) +hf(t,z(t))) .

D’o `u la m ´ethode (d’ordre 2) yn+1=yn+h

2 f(tn,yn) +f(tn+1,yn+hf(tn,yn)) .

(48)

Runge-Kutta-4, dessin

Rappel : Simpson Z 1

0

g(t)dt ≈1

6 g(0) +4g(1/2) +g(1) z(t+h)≈z(t)+h

6 f(t,z(t))+4f(t+h/2,z(t+h/2))+f(t+h,z(t+h))

y

t t+h/2 t+h

y4

y3

y1 y2

−

→f(y1)

−

→f(y3)

−

→f(y2)

Pr ´ediction – Correction

(49)

Runge-Kutta-4

z(t+h)≈z(t)+h

6 f(t,z(t))+4f(t+h/2,z(t+h/2))+f(t+h,z(t+h)) p_n,1=f(t_n,y_n) t_n+1/2=t_n+h/2

yn,2=yn+hpn,1/2≈z(tn+1/2) (pr ´ediction) pn,2=f(t_n+1/2,yn,1)≈f(t_n+1/2,z(t_n+1/2)) y_n,3=y_n+hp_n,2/2≈z(t_n+1/2) (correction) pn,3=f(t_n+1/2,yn,3)≈f(t_n+1/2,z(t_n+1/2)) y_n,4=y_n+hp_n,3≈z(t_n+1) p_n,4=f(t_n+1,y_n,4)

d’o `u yn+1=yn+h

6 pn,1+2pn,2+2pn,3+pn,4 M ´ethode classique de Runge-Kutta, d’ordre 4

(50)

Comparaisons, graphe de l’erreur

Et un graphique `a ´echelle logarithmique !

1

10

2

10

3

10

−15

10

−12

10

−9

10

−6

10

−3

10

0

10

Euler Pt milieu Heun RK4 1/N 1/N^2 1/N^4

(51)

Erreurs d’arrondi

Rien ne sert de prendre un pas trop petit car

• calculs trop longs

• pr ´ecision non n ´ecessairement meilleure Exemple

y⁰(t) =y(t)/2+exp(t)/2,y(0) =1, (solution :z(t) =exp(t), m ´ethode num ´erique : RK-4).

N erreur

800 4.88E-15 1000 3.10E-15 1400 7.10E-15 2000 3.99E-15

N erreur

5000 9.32E-15 8000 7.99E-15 10000 1.50E-14 20000 1.11E-14

PourN =10000 ou 20000 on a atteint les limites de la pr écision de Scilab. En th éorie, l’erreur serait de l’ordre de 10E-18 pour N=20000, impossible avec Scilab qui travaille avec une pr écision de l’ordre de 1E-16.

(52)

Probl `eme raide surprise num ´erique

Commençons par un exemple acad émique, le probl ème gentil

• y⁰(t) =−150y(t) +30, t∈[0,1]

• y(0) =1/5,

de solution unique ´evidentey(t) =1/5.

Influence d’une petite perturbation sur la donn ´ee initiale ? Siy(0) =1/5+εalorsy(t) =1/5+εexp(−150t), d’o `u

|y(t)−y(t)| ≤εexp(−150t)≤ε

Une petite perturbation sur la donn ée initiale entraˆıne donc une petite perturbation sur tout l’intervalle. Le probl ème est dit num ériquement bien pos é.

Pourtant. . .

(53)

Probl `eme raide surprise num ´erique

• y⁰(t) =−150y(t) +30, t∈[0,1]

• y(0) =1/5,

Influence d’une petite perturbation sur la donn ée initiale ? Simulation num érique, m éthode d’Euler

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0

−1.0

−0.5 0.0 0.5 1.0 1.5

Euler y(t)

Pash=1/70 y(0) =1/5+10⁻⁴

• pas

raisonnable

• oscillations surprenantes

(54)

Probl `eme raide surprise num ´erique

• y⁰(t) =−150y(t) +30, t∈[0,1]

• y(0) =1/5,

Influence d’une petite perturbation sur la donn ´ee initiale ? Explications :

yn−1

5 = (1−150h)ⁿ(y0−1 5),

il faut |1−150h| ≤ 1 pour que le comportement de la solution num érique soit équivalent celui de la solution th éorique.

D ´efinition

Un probl ème est dit bien conditionn é si les m éthodes num ériques usuelles peuvent en donner la solution en un temps raisonnable.

Sinon le probl `eme est ditraide.

(55)

Probl `eme raide que faire ?

1 utiliser des m ´ethodes sp ´ecifiques (hors propos)

2 utiliser des m ´ethodes implicites

Simulation num ´erique, m ´ethode d’Euler implicite

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0

1.9990e−01 1.9995e−01 2.0005e−01 2.0010e−01

Pash=1/70 y(0) =1/5+10⁻⁴

• pas

raisonnable

• absence d’oscillations surprenantes

(56)

Probl `eme raide que faire ?

1 utiliser des m ´ethodes sp ´ecifiques (hors propos)

2 utiliser des m ´ethodes implicites Explications :

yn−1

5 = 1

(1+150h)ⁿ(y0−1 5),

comme 1/|1 + 150h| < 1, le comportement de la solution num érique est identique à celui de la solution th éorique.

Ici m éthode implicite facile à impl émenter car le probl ème est lin éaire.