(1)TD DE MOD `ELES LIN ´EAIRES I - S ´ERIE 4 Exercice 1

TD DE MOD `ELES LIN ´EAIRES I - S ´ERIE 4

Exercice 1. Soit X de loi N(0, I_n). Soit P une projection orthogonale de rang r. Montrer que X⁰P X suit unχ²_r.

Exercice 2. Soit X de loi N(0, In) et δ un vecteur fix´e de IRⁿ. On d´efinit la variable al´eatoire r´eelle Y par

Y =||X+δ||²=

n

X

i=1

(Xi+δi)².

On dit que Y suit un χ²(n,|| δ ||²). Supposons δ 6= 0. Calculer l’esp´erance et la variance de Y.

Exercice 3. On consid`ere les trois mod`eles de r´egression suivants (1) Yk =b1+b2lnXk+εk, k= 1, ..., n,

(2) Y_k =b₁+b₂X_k+ε_k, k = 1, ..., n,

(3) Y_k =b₁+b₂X_k+b₃X_k²+ε_k, k= 1, ..., n,

o`u les ε_k sont des N(0, σ²) ind´ependantes, k = 1, ..., net les X_k ∈IR sont d´eterministes.

(1) Calculer les estimateurs lin´eaires sans biais de variance minimale (ESBVM) pour chacun des trois mod`eles.

(2) Donner des estimateurs de σ² et leurs propri´et´es (ne pas expliciter les calculs).

Exercice 4. Soit le mod`ele de r´egression lin´eaire simple Yi =θ1+θ2Xi+εi, i= 1, . . . , n,

o`uεi sont des variables al´eatoires gaussiennes ind´ependantes, de moyenne 0 et de variance σ<sup>2</sup> > 0 inconnue, X<sub>i</sub> ∈ IR sont des valeurs d´eterministes et θ<sub>1</sub> et θ<sub>2</sub> sont des param`etres r´eels inconnus. On note

X¯ = 1 n

n

X

i=1

Xi, Y¯ = 1 n

n

X

i=1

Yi,

et on suppose dans la suite que

S_X² = 1 n

n

X

i=1

(Xi−X)¯ ² >0.

1) Expliciter ˆθ1 et ˆθ2, les estimateurs des moindres carr´es de θ1 et θ2 respectivement.

Expliciter ´egalement l’estimateur ˆσ_n² de σ². 1

2) Trouver les variances de ˆθ₁, ˆθ₂, ainsi que les covariances Cov(ˆθ₁,θˆ₂) et Cov( ¯Y ,θˆ₂).

Montrer que ˆθ1 ⊥⊥θˆ2 si et seulement si ¯X = 0.

3) Donner la loi de la statistique

√n SX(ˆθ2−θ2) ˆ

σ_n .

4) Soit 0< α <1. Proposer un test de niveau (exact) α de l’hypoth`eseH₀ : θ₂ = 0 contre l’alternativeH1 : θ2 6= 0.

Probl`eme (janvier 1988). On consid`ere un vecteur al´eatoire normal X = (X1, ..., Xn)⁰ de loiN(M, I_n), o`u M = (µ₁, ..., µ_n)⁰, n≥2.

On suppose que M v´erifie les ´equations

n

X

i=1

µ_i= 0 et

n

X

i=1

(−1)ⁱµ_i = 0.

(1) D´eterminer l’ESBMV de M.

(2) Tester l’hypoth`ese M = 0 au seuil α.

(3) A.N.n= 5, X1 = 2, X2 = 0, X3 = 4, X4 =−1, X5 =−2, α= 0.05.

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