TD DE MOD `ELES LIN ´EAIRES I - S ´ERIE 3
Exercice 1. Le salaire d´esir´e d’un individu s’´ecritY∗=Xb+σ, o`uσ >0,b∈IR,X une variable al´eatoire admettant des moments d’ordre 2 mesurant la capacit´e de l’individu,est variable al´eatoire ind´ependante deX et de loi N(0,1). SiY∗ est plus grand que le SMIC S alors le salaire re¸cu Y est gale au salaire dsir Y∗, sinon le salaire re¸cuY vautS. CalculerE[Y /X]. Cette esp´erance est-elle lin´eaire?
Exercice 2. Soient (Xi, i),i= 1,· · ·, n, des couples de variables i.i.d. On suppose queXi eti admettent des moments d’ordre 2 finis, et que IE(1) = 0, IE(X12)>0. Pour un r´eel b, on poseYi=bXi+i, on note
ˆb= Pn
i=1YiXi
Pn i=1Xi2 . 1) En observant que
ˆb=b+ Pn
i=1iXi/n Pn
i=1Xi2/n d´eduire que ˆbconverge presque sˆurement versb.
2) Trouver la loi limite de√
n(ˆb−b).
Exercice 2. Dans de nombreux probl`emes pratiques, lorsque l’on ´etudie la relation qui peut exister entre 2 quantit´es Y et X, nous savons que siX = 0 alorsY = 0. C’est le cas, par exemple, si nous ´etudions le volume Y occup´e par un gaz en fonction tempsX, temps ´egal `a 0 au moment o`u nous avons actionn´e un vaporisateur contenant le gaz.
Le mod`ele de r´egression lin´eaire simple n’est pas adapt´e pour mod´eliser ce type de lien. En effet, nous devons ajuster une droite dont l’ordonn´ee `a l’origine est nulle. Nous consid´eronsn valeurs de X que nous notons xi. Pour chaquexi, nous observons une valeur deY not´eeYi.
Pour touti∈ {1, . . . , n}, nous proposons le mod`ele
Yi =βxi+εi
o`uβest un param`etre inconnu etεiest une variable al´eatoire appel´ee r´esidu telle que IE(εi) = 0,V ar(εi) =σ2 etCov(εi, εj) = 0 lorsquei6=j.
Il s’agit du mod`ele de r´egression lin´eaire simple sans coefficient constant. Nous consid´erons les 2 estimateurs deβ suivants :
βˆ= Pn
i=1xiYi
Pn
i=1x2i et β˜= Pn
i=1Yi
Pn i=1xi 1) D´eterminer la logique de construction de ces deux estimateurs.
2) Montrer que ˆβ et ˜β sont des estimateurs non biais´es deβ.
3) Montrer queV ar( ˆβ)< V ar( ˜β) sauf dans le cas o`u lesxi sont ´egaux. Ce r´esultat ´etait-il pr´evisible?
Exercice 4. Soient m etλdeux param`etres r´eels. Soit le mod`ele lin´eaire gaussien d´efini par les ´equations IE(X1) =m+λet∀i∈ {2, ..., n},IE(Xi) =m.
Calculer l’estimateur sans biais de variance minimale par deux m´ethodes diff´erentes.
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